Chocs - Jean-Marc Drocourt

Chocs
I45. Choc élastique.
Un noyau α de masse m = 6,4.10–27 kg et de vitesse u = 106 m.s–1 heurte une autre particule de masse M
primitivement immobile au point O. Après ce choc élastique, un compteur situé en un point A mesure l’intervalle de
temps t séparant les passages des deux particules par ce point A ; OA est parallèle à u et mesure d = 0,1 mètre.
1) Exprimer les vitesses après le choc en fonction de u et x = M/m.
2) Quelle est la masse de la cible si t = 2,25.10–7 s ? Quelle peut être la nature de la cible ?
3) Quelles sont les valeurs de x que ce dispositif est impuissant à mesurer ?
4) Est-il justifié d’utiliser la mécanique non relativiste ?
II21.
1) Une particule de masse m1 et de vitesse u1 heurte une particule de masse m2 et de vitesse u2 parallèle à u1. Après le
choc, la première particule a la vitesse v1 et la seconde la vitesse v2. On suppose que le choc est élastique et que ces
quatre vitesses sont parallèles. Calculer v1 et v2.
2) Deux pendules sont constitués par deux corps qu'on assimile à deux points matériels de masses m1 et m2 attachés
chacun par un fil de même longueur A à un point fixe 0. Le premier pendule est vertical ; l'on écarte le second de la
verticale d'un angle θ0 assez petit pour que l’approximation des petits angles puisse être faite et on le lâche sans lui
communiquer de vitesse. On admet que la suite du mouvement a lieu dans le plan vertical où se trouvent initialement les
pendules.
a) Calculer la vitesse avec laquelle le second pendule heurte le premier.
2
v
b) Le choc est élastique. Calculer les vitesses et après le choc en fonction de v
1
v′2 v′2.
c) Les pendules s'écartent, puis se heurtent à nouveau élastiquement. A quel endroit et après combien de temps ?
Avec quelles vitesses et ?
1
v′′ 2 v′′
d) Quelles sont leurs vitesses et après le deuxième choc ?
1
v′′′ 2 v′′′
e) Comment se poursuit le mouvement ?
D1
p
G
β
D2
α
III13. D’après ENSI 1993.
Un faisceau de protons p, d’énergie cinétique 16
MeVT= est envoyé sur une
cible en aluminium dans laquelle on se propose de mettre en évidence des
impuretés d’hydrogène. On observe des collisions élastiques proton-proton et
proton-aluminium pour lesquelles on suppose que les particules qui se heurtent s
libres. On dispose deux détecteurs D ont
1 et D2 situés dans un plan contenant le
faisceau et dans des directions faisant avec lui des angles et .L’on se
propose d’identifier les diffusions élastiques proton-proton et proton-aluminium en
observant des détections simultanées dans les deux détecteurs.
30α=° β
p
1) Quelle est la relation entre les angles et pour qu’on observe simultanément deux protons ? αβ
2) Quelles sont les énergies cinétiques et des deux protons détectés ?
1
T2 T
3) (difficile) Quel doit être l’angle si D
β2 reçoit un noyau d’aluminium, de masse atomique en même
temps que D 27M=
1 reçoit un proton ?
Réponses
I. 1) 1
1
x
vu
x
−
=+ ; 2
1
wu
x
=+ ; 2) ; ; 3) ; 4) oui. 0, 5x=2H1x≥
II. 1) 11 2 1 2 22 1 2 1
21
12 12
2( ) 2(mu m m u mu m m u)
v
mm mm
+−+−
==
++
v
G
GG G
G
G ; 2) a) 20
2(1 cos) 0 g=−≈AAθθvg ; b)
212 22
21
12 12
() 2 mmv mv
vv
mm mm
−
′′
==
++
G
G
G
G ; c) à la verticale du point d’attache et après /gπ ; vvA′′ ′
=−
11
G
G′′ ′
=− et vv
22
G
G
′′′=
;
d) v10
G
G
; v
22
v
′′′=−
G
G
π+= ==α==α
; e) mouvement périodique.
III. 1) αβ ; 2) TT ; TT ; 3) β. /2 2
1cos 12 MeV 2 2sin 4 MeV 74,5=°
DS : chocs, page 1

Corrigé
I. 1) Tout choc conserve la quantité de mouvement : mu mv Mw=+
G
G
G
.
Comme le choc est élastique, il conserve l’énergie cinétique : 22
111
222
mu mv Mw=+
2
.
Comme les particules passent par A, v
G
et w
G
sont parallèles, donc elles sont parallèles aussi à u
G
. D’où :
En prenant le rapport membre à membre et en excluant la solution , qui signifierait qu’il ne s’est pas
produit de choc :
()
()
22
mu v Mw
mu v Mw
⎧−=
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪−=
⎪
⎪
⎩
2
0vuw==
()
1
1
22
1
mM x
uv wmu mvMuv v uv u
mM x
mM m
wu u uw u
mM mM x
−−
+= = + + = =
++
−
=+ = =
++ +
2)
()
()
()
()
22 67
11 1 1 22102,25.10
4, 5
1221 1 0,1
dd x xd xd x ut
tvw x u xu x d
−
++ + + ××
=−=−===
−−− =
qui a pour racines et . Comme x est positif,
() ()
22
1 4,5 1 0 6,5 3,5 0xxxx+−−=+−=0, 5x=7x=−
0, 5x=.
La cible a une masse moitié de celle d’un α, qui compte quatre nucléons ; ce pourrait être un noyau de deutérium
.
2H
3) Le fonctionnement de ce dispositif suppose et , donc . Si , le projectile ne passe pas
dans le compteur. 0v>0w>1x<1x≥
4) Les vitesses sont de l’ordre de qui est petit devant . On peut donc utiliser la
mécanique non relativiste.
6
10 m.s−118 3.10 m.sc− =
II.
1) conservation de la quantité de mouvement :
11 22 11 22
mu mu mv mv+=+
conservation de l’énergie cinétique : 222
11 11
22 22
11 22 11 22
mu mu mv mv+=+
2
)
22 2 2
11 1 22 2
11 1 22 2
()()
()(
mu v mv u
mu v mv u
⎧−=−
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪−=−
⎪
⎪
⎩
En prenant le rapport membre à membre et en utilisant 22
ab ab
ab
−=+
− si a, ce qui est vrai s’il y a eu
effectivement choc, car alors , on obtient qu’on porte dans
, d’où
b≠
1
uv≠1111 22 1 22 uv uv v uvu+= +⇒=+−
11 22 11 22
mu mu mv mv+=+ 11 22 1 2 2 1 22 ()mu mu m u v u mv+= +−+
11 2 1 2
2
12
22 1 2 1
1
12
2( )
2(
mu m m u
vmm
mu m m u
vmm
+−
=+
+−
=+
)
G
G
G
G
G
G
(la seconde formule s’obtient en permutant les indices 1 et 2).
2) a) Le pendule est soumis à son poids qui dérive de l’énergie potentielle mg et à la tension du fil dont le travail est
nul. La conservation de l’énergie donne :
z
22
11
22
00
22 2 2
(1 cos ) 2 (1 cos )mv mgz cste m v m g v g gθθ+=⇒=−=−≈AA
0
θA.
b) 212 22
21
12 12
() 2 mmv mv
vv
mm mm
−
′′
==
++
G
G
G
G.
c) Le choc a lieu au même endroit, à la verticale du point d’attache, et après une demi-période, soit /gπA. La
conservation de l’énergie pour chaque pendule montre qu’alors les vitesses sont 11
vv
′′ ′
=−
G
G et 22
vv
′′ ′
=−
G
G.
DS : chocs, page 2

d)
212 22
212
22 1 2 1 1 2 1 2
1
12 12
() 2
2()
2( ) 0
mmv mv
mmm
mv m m v m m m m
vmm mm
−+−
′′ ′′
+−++
′′′==−=
++
G
G
GG
G
G .
La conservation de l’énergie montre qu’alors 22
vv
′′′=−
G
G.
e) Le mouvement est périodique et les chocs se succèdent semblablement.
III.
1) Soit p
G
, 1 p
G
et 2 p
G
les quantités de mouvements du proton incident et des particules passant par D1 et D2.
D’après la conservation de la quantité de mouvement : 1
pp p=+
2
G
GG
, soit en prenant le carré scalaire
222
12 1
2ppp pp=++ ⋅2
G
G.
D’après la conservation de l’énergie cinétique, 222
1222
12
222
ppp
ppp
ppp
mmm
=+⇒=+
2
.
La combinaison de ces deux relations montre que 12
20pp⋅=
G
G, soit . /2αβ π+=
2) Les trois quantités de mouvement forment un triangle rectangle, d’où :
.
2
11
2
22
cos cos 12 MeV
sin sin 4 MeV
pp TT
pp TT
αα
αα
===
===
3) La conservation de la quantité de mouvement implique que les quantités de
mouvement forment un triangle. D’après les relations entre les cotés et les angles du
triangle,
()
() ()
12
21
sin sin sin sin sin
;
sin sin
pp pp
pp p
αβ αβ β α
αβ αβ
+
== ⇒==
++
. β
α 2
p
G
1
p
G
p
G
La conservation de l’énergie cinétique s’écrit 22 2
12
222(
pp
pp p
mmmA
=+ )
l
, soit
()
22
1
sin sin sin
M
αβ β α+= + 2 .
Le plus simple est de résoudre numériquement en β l’équation 22
1
sin (30 ) sin 74, 5
108
ββ β+= + ⇒=°.
Une résolution littérale est possible : comme 21cos2
si , n2
x
x− =
()[]
()[]
2
2
2sin
1cos2 1cos2
2sin
cos 2 cos 2
M
M
α
αβ β
α
βαβ
−+=−+
−+=
Or cos cos 2 sin sin
22
pq pq
pq −+ −=−, d’où :
()
()
2
2
2sin
2sin sin 2
sin 1
sin 2 1, 85.10
54
2 1, 06 ou 178, 94
M
M
α
ααβ
α
αβ
αβ
−
+=
+= ==
+= ° °
Seule est acceptable la seconde racine, d’où 178, 94 30 74, 47
2
β− ==°
.
On peut remarquer que β ne dépend que faiblement de M ; si on fait M infini, on obtient 180 75
2
α
β− ==°
.
Par contre, on distingue bien les protons pour lesquels . 60β=°
DS : chocs, page 3