DS2 - CPGE Brizeux

DSn°2 PCSIA Lycée Brizeux
samedi 11 octobre 2014
I) Connaissance du cours (savoir)
1) Un signal périodique de période T peut être décomposé en une somme de signaux sinusoïdaux de périodes Tn
donner ces périodes (attention à ne pas confondre avec les fréquences)
2) Ecrire la décomposition de Fourier d’un créneau impair et la commenter
3) Donner la définition d’une onde
4) Expliquer pourquoi une onde dont la phase s’exprime en x-ct se propage vers la droite
5) Donner la définition d’une onde stationnaire
6 ) Comment en pratique peut-on produire une onde stationnaire ?
7) Quelle est la quantité qui varie dans le temps et dans l’espace pour une onde électromagnétique ?
8) La loi =cT a une expression équivalente qui fait intervenir la longueur d’onde. Démontrer cette expression.
9) Donner la loi de diffraction par une ouverture de largeur a pour une onde de longueur d’onde . On fera un schéma.
10) Donner la loi de Malus en précisant les grandeurs physiques concernées. On fera un schéma.
11) On ajoute les deux ondes suivantes
1 0 1 2 0 2 1 2
( ) cos( ) ( ) cos( ) avec =ck et on pose = rs t s t kr et s t s t kr r
Donner le lieu des interférences destructives
II) Flute de Pan (Exercice d’application directe du cours) (savoir faire)
La colonne d’air contenue dans un des tuyaux d’une flute de pan est ouverte en haut ( là où on souffle) et fermée en
bas. La pression acoustique qui est la grandeur vibrant spatio-temporellement est donc astreinte à posséder un ventre
en bas et un nœud en haut .
On considère un des tuyaux de la flute de pan de longueur L dans lequel la célérité des ondes sonores est celle des
ondes acoustique dans l’air c=340m/s. On écrit l’onde stationnaire qui y règne sous la forme p(x,t)=p0 sin(kx) sin ( t)
1) Montrer qu’en changeant l’origine des temps d’une façon que l’on explicitera, on pourrait passer à une description
du type p(x,t’)=p0 sin(kx) cos ( t’). On restera pour la suite avec la description p(x,t)=p0 sin(kx) sin ( t)
2) Montrer que la relation entre les fréquences de vibrations possibles
n
et un entier n et la longueur L du tuyau
ouvert fermé est :
4
(2 1) :
4 2 4 2 1
nn
c nc c L
n relation équivalente à n N
L L L n
3) Donner la fondamentale de fréquence
0
et la représenter dans le tuyau (reproduire le dessin sur votre copie)

4) Même question pour l’harmonique n=1 de fréquence 1
On admettra dans la suite que les tuyaux ne jouent que les fondamentales
5) Quelle est la longueur du tuyau qui joue le la 440 Hz
6) Les notes de la gamme sont ainsi étagées, la première ligne donne les fréquences en Hz.
261.6
277.2
293.7
311.1
329.6
349.2
370.0
392.0
415.3
440.0
466.2
493.9
523.3
554.4
587.3
Do3
do
re
re
mi
fa
fa
sol
sol
La3
la
ou
sib
si
Do4
do
re
1
1
12
2
1.059463094
21
16
12
22
1.122462048
31
12 4
2 2 =
1.189207115
1
43
12
22
1.259921050
5
12
2
1.334839854
6
12
2
1.414
7
12
2
1.498307077
8
12
2
9
12
2
10
12
2
11
12
2
12
12
2
=2
Tierce
avec
do3
Quinte
avec
do3
septiè
me
avec
do3
octave
avec
do3
neuviè
me
avec
do3
Dessiner cote à cote et à l’échelle les tuyaux qui jouent les notes de la gamme du do3 au do4 supérieur en passant
par le la3 qui sonne 440 Hz. Ne pas dessiner les tuyaux qui joueraient les

III) Grandissement d’une lentille ( application)
On a démontré en cours les formules de conjugaison des lentilles avec origine au centre et
origine au foyer, on applique les mêmes techniques pour déterminer les formules de
grandissement ; il faut exprimer des tangentes bien choisies
Démontrer à l’aide du schéma ci-dessous, les 3 formules de grandissement suivantes ;
''
' ' ' '
'
' ' ' '
grandissement
A B FO
AB FA
A B F A
AB F O
A B OA p
p
AB OA
IV) Microscope
On utilise un doublet tel que f’objectif = 5 mm, d = 10 cm et f’oculaire = 2 cm >f’obj
A’B’ est l’image intermédiaire d’un objet AB microscopique donnée par l’objectif. La construction utilise un rayon qui
passe par le centre de l’objectif et un rayon qui passe par le foyer objet.
d - f’1 - f’2 = F’objFoc = est ce que l’on nomme l’intervalle optique
L’image de A’B’ à travers l’oculaire est formée à l’infini ainsi l’œil peut l’observer sans accommoder.
1) La marche de ces deux derniers rayons après passage à travers la lentille oculaire fait appel à deux constructions
que l’on décrira toutes deux ( description , communication)
2) Calculer la puissance P du microscope définie par
'
PAB
où ’ est la taille angulaire sous laquelle l’image est vue
en sortie de l’instrument et où AB est la taille de l’objet observé en m
On exprimera cette puissance P en fonction de f’obj , f’oc et ( raisonnement)
F
F’
A
B
A’
B’
’
Foc
objectif
oculaire
F’ob
Fob
F’oc
A
B
A’
B’
d

V) Lentille de Fresnel, lentilles de phares (raisonnement)
Lentille de Fresnel.
La lentille de Fresnel est constituée au centre,
d'une lentille plan convexe C dont l'ouverture est
limitée de façon que les aberrations géométriques
soient négligeables. Autour de C, un premier
anneau A1 dit dioptrique, tel que les rayons
émergents qu'il fournit soient parallèles à l’axe
optique du système (c'est une portion de lentille
qui serait moins convergente que C pour les
rayons centraux ). Autour de A1, un deuxième
anneau A2 satisfaisant à la même condition, puis
un troisième anneau....
Mais quand l'incidence sur la face plane augmente,
il en est de même du pouvoir réflecteur de cette
face : la perte de lumière qui en résulte deviendrait
inacceptable pour de trop grands anneaux
dioptriques. On les remplace en A'1, A'2 par des
anneaux circulaires catadioptriques, qui
fonctionnent comme des prismes à réflexion totale
annulaires et dont l'orientation est encore telle que
chacun renvoie la lumière incidente parallèlement
à l'axe optique.
Nous allons étudier les propriétés optiques des
anneaux dioptriques et catadioptriques.
Les très grosses lentilles de fort
diamètre sont soumises à des
phénomènes d’aberration qui
rendent difficile la génération d’un
faisceau parallèle lorsque la source
est au foyer objet. Pour contourner ce
problème Fresnel a imaginé le
dispositif suivant

Anneau dioptrique.
On modélise chaque anneau dioptrique par un prisme d'indice n et d'angle au sommet A. Soit un rayon
lumineux arrivant sous un angle d'incidence i sur l'un des prismes de la lentille, on appelle D sa déviation.
1) Justifier les 4 relations données ci-dessous :
2) On souhaite que le rayon émergent soit parallèle à l'axe optique de la lentille.
Quelle relation existe t-il entre D et i ?
3) Montrer que :
sin
sin sin arcsin( )
A
i n A n
4) Un peu de trigonométrie montre que tan A et tan i ne sont sans doute pas proportionnels
sin
sin sin arcsin( ) et sin(a-b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)
sin i sin A sin A sin i sin A sin A sin i
= sinA. Cos(arcsin[ ]).- cosA. Sin(arcsin[ ]) = sinA. 1-sin²(arcsin[ ]) - cosA. =
n n n n n n n
A
i n A n
sin² A sin A
sinA. 1- - cosA.
n² n
Mais la connaissance de l’indice du verre n=1,7 (flint) permet d’établir le tableau suivant ( on l’admettra) :
A
15°
20°
25°
30°
35°
i
10,6 ( 11°)
14,4 (14°)
18,2 (18°)
22,3 (22°)
26,6 (27°)
tan A
0,27
0,36
0,47
0,58
0,70
tan i
0,19
0,26
0,33
0,41
0,50
Et le Tracé de la courbe tanA= f(tan i) montre que la corrélation linéaire est acceptable pour le domaine
de variation de i. Tracer la courbe et déterminer le coefficient directeur de cette droite.
5) Sachant que toutes les bases des prismes ont la même longueur e ( largeur du centre de la lentille), on
appelle h la hauteur du prisme. Exprimer h en fonction de , tan i et e.
6) Si e = 10 cm, i = 15° sur le premier disque, calculer A1 et h1.
7) Comment varient A et h quand i augmente ?