1 Mise en équation

Université Montpellier 2
Faculté des Sciences
2012/2013
Examen Module GLME 502 (session 1)
durée 2h00
(Documents autorisés : Feuille A4 recto-verso et calculatrice)
Dans cette étude, nous souhaitons calculer les vitesses angulaires des différents segments de la jambe d’un footballeur lors d’un coup franc. Ces paramètres contrôlent la trajectoire ultérieure du ballon ainsi que sa vitesse.
La jambe du footballeur fonctionne comme un double pendule. L’accélération transmise au ballon est maximale
lorsque les vitesses de rotation des deux articulations atteignent leurs maxima simultanément au moment de l’impact.
1
Mise en équation
On note ~uP le vecteur position du pied du joueur (= point P du pendule) et ~vP le vecteur vitesse associé dans
le repère (0, x, y, z).
1.1) Montrer que si l1 et l2 sont les longueurs des segments, nous avons alors
~uP
=
(−l1 cos(θ1 ) − l2 cos(θ2 ))~x + (−l1 sin(θ1 ) − l2 sin(θ2 ))~y
(l1 θ̇1 sin(θ1 ) + l2 θ̇2 sin(θ2 ))~x + (−l1 θ̇1 cos(θ1 ) − l2 θ̇2 cos(θ2 ))~y
√
1.2) On considère que les longueurs des segments l1 = 0, 4 m et l2 = 0, 2 3 m et que les vitesses angulaires
maximales (θ̇1 et θ̇2 ) sont atteintes lors de l’impact avec le ballon, c.à.d pour les angles θ1 = 2π
(= π2 + π6 )
3
√
~ = 14 3
et θ2 = π6 . La vitesse du ballon lors de l’impact est représenté par le vecteur V
et de norme égale
6
approximativement à 25 m/s (soit ≈ 90 km/h, vitesse moyenne pour un coup franc de Christiano Ronaldo).
~vP
=
Montrer que trouver les vitesses angulaires de la jambe au moment de l’impact revient à résoudre le système
linéaire AX=B avec :


 


0, 2 0, 1
θ̇1
14
,X =  ,B = 
,
A=
0, 2 −0, 3
6
θ̇2
1
2
Résolution
2.1
Méthodes direct
2.1) Résoudre le système en utilisant la méthode de Gauss.
2.2
Méthodes itératives
2.2) Calculer les 3 premières itérées X1 , X2 et X3 en utilisant la méthode de Jacobi en partant de X0 =
15
40
2.3) Pouvons nous savoir rapidement si la méthode de Gaus-Seidel est convergente dans notre cas ? Pourquoi ?
2.4)
les 3 premières itérées X1 , X2 et X3 en utilisant la méthode de Gauss-Seidel en partant de
Calculer
15
X0 =
40
2.5) Quelle méthode converge le plus rapidement : Jacobi ou Gauss-Seidel ?
3
Cas d’une frappe horizontale au raz du sol
Ici, nous considérons que le tireur frappe le ballon de sorte que la trajectoire du ballon soit horizontale (i.e la
projection du vecteur vitesse du point P sur l’axe des y est nulle), et nous supposons également que θ1 (t) = αt + 2π
3
de façons à obtenir une vitesse de rotation constante de la hanche et à étudier le mouvement de la jambe à partir
de l’impact avec le ballon (avec α > 0).
3.1) Montrer que nous avons l’équation différentielle suivante :
l2 θ̇2 cos(θ2 ) = −l1 α cos(αt +
2π
).
3
3.2) On note h le pas de temps, ti+1 = ti + h et θ2i = θ2 (ti ). Donner l’expression de θ2i+1 , en fonction de θ2i , obtenue pour une méthode d’Euler explicite. Pour θ20 = π6 , l1 = l2 = 0, 4 m, α = 20 rad/s et h = 0, 02 s, calculer θ21 et θ22 .
3.3) Donner l’expression de θ2i+1 , en fonction de θ2 i, obtenue pour une méthode d’Euler d’ordre 2. Pour θ20 =
l1 = l2 = 0, 4 m, α = 20 rad/s et h = 0, 02 s, calculer θ21 et θ22 .
2
π
6,