Terminale S Devoir n°4 9 Décembre 2009

Terminale S Devoir n°4 9 Décembre 2009
Exercice 1
Résoudre dans les équations suivantes :
a)
3 2 (1 ) 3z i i z   
b)
2
2 2 1 0zz  
Exercice 2
On considère la fonction f qui à tout complexe z associe le complexe u =
23 zi
iz
1) Quel est le complexe qui n’a pas d’image par f ? On donnera la réponse sous forme algébrique.
2) Déterminer les images par f de : a) i ; b) 1 + i.
3) Résoudre
( ) 2fz
.
4) Sachant que
z x iy
,
et xy
, donner la partie réelle de u en fonction de x et de y.
Exercice 3. Pour les élèves suivant la spécialité
math. Sur 3 points.
Pour les TS C : à rédiger sur une feuille à part
On considère l’équation (E) d’inconnues (x, y) :
37x + 22y = 1.
1) Démontrer que cette équation admet au moins une
solution dans
2
.
2) En utilisant l’algorithme d’Euclide, trouver un
couple d’entiers relatifs
00
;xy
solution de (E).
3) En déduire l’ensemble des solutions de (E).
Exercice 3. Pour les élèves suivant la spécialité
physique ou SVT. Sur 3 points.
Pour une fonction f, on note f(1) ou f ’la dérivée de f, f(2)
ou
f
la dérivée de f ‘ ; f (3) la dérivée de f(2), etc…
Soit f la fonction définie sur par f(x) = x ex.
Démontrer, par récurrence, que pour tout entier n ≥ 1,
on a :
()
( ) ( )
nx
f x n x e
Exercice 4.
Partie A.
Soit g la fonction définie sur [0 ; + [ par
( ) 2(1 )
xx
g x xe e
.
1) Calculer la limite de g en + .
2) Montrer que :
'( ) (3 )
x
g x e x
3) Etudier les variations de g et en déduire son signe sur [0 ; + [.
Partie B.
Soit f la fonction définie sur [0 ; + [ par :
( ) ( 1)(2 )
x
f x x e
.
1) a) Etudier la limite de f en + .
b) Montrer que la droite ∆ d’équation y = 2x – 2 est asymptote à C.
c) Etudier la position relative de C et ∆.
d) Calculer
'( )fx
puis vérifier que
'fg
. En déduire le tableau de variations de f.
2) Calculer l’abscisse du point d’intersection de la courbe C avec l’axe des abscisses.
3) Déterminer le point A de C en lequel la tangente à C est parallèle à ∆.
4) Soit F la fonction définie sur [0 ; + [ par : F(x) =
221 x
x x xe
.
Montrer que F est une primitive de f sur [0 ; + [.

Corrigé
Exercice 1
3 2 (1 ) 3z i i z   
(2-i)z=3+2i
32
2i
zi
(3 2 )(2 )
(2 )(2 )
ii
zii
47
5i
z
Conclusion :
47
{}
55
Si
b)
2
2 2 1 0zz  
est une équation du second degré de discriminant  = –4=(2i)²
Elle a deux solutions complexes conjuguées :
12
2 2 2 2
44
ii
z et z
d’où
1 1 1 1
;
2 2 2 2
S i i
Exercice 2
On considère la fonction f qui à tout complexe z associe le complexe u =
23 zi
iz
1) Le calcul de
()fz
est impossible quand le dénominateur est nul. On résout
30iz 
3
3 0 3 3 3iz iz z i z i
i
: le complexe qui n’a pas d’image par f est – 3i.
2)
21
() ( ) 3 4 4
i i i
f i i
ii
1 2 1 4 3 5 3 5
(1 ) (1 ) 3 4 4 17 17 17
i i i i i
f i i
i i i i
3) Pour z – 3i on a :
2
( ) 2 2 2 2 6
3
zi
f z z i iz
iz
On pose z = x + iy avec x et y réels et (x,y)  (0 ;- 3). L’équation devient :
2 2 ( ) 6 ( 2) 2 6 2x iy i i x iy x i y y ix          
En raison de l’unicité de l’écriture algébrique, on en déduit :
10
2 6 2 6 3
2 2 2 4 12 14
3
x
x y x y
y x y y y
S =
10 14
33
i
4)
z x iy
,
et xy
, avec (x,y)  (0 ;- 3)
u =
2 2 ( 2) 3 3 ( 2) (3 )( 2) ²
3 ( ) 3 3 3 (3 )² ² (3 )² ²
z i x iy i x i y y ix x xy x y y y x
i
iz i x iy y ix y ix y x y x
La partie réelle de u est donc :
2
(3 )² ²
x xy
yx
Exercice 3 Spé.
1) PGCD (37, 22) = 1 donc d’après le théorème de Bezout l’équation (E) admet au moins une solution dans
2
.
2) Algorithme d’Euclide : 37 = 22 × 1 + 15
22 = 15 × 1 + 7
15 = 7 × 2 + 1 Donc 1 = 15 – 2× 7 = 15 – (22 - 15× 1) ×2 = 15× 3 – 22 × 2
D’où 1 = (37 - 22×1) × 3 – 22 × 2 = 37 × 3 – 22 × 5.
Le couple (3 ; – 5) est donc solution de l’équation (E).
3) Déterminons l’ensemble des solutions de (E).
Soit (x, y) un couple solution de (E) alors 37x + 22y = 1 et d’après 2) 37 × 3 – 22 × 5 = 1.
On a donc 37x + 22y = 37 × 3 – 22 × 5 37(x – 3) = 22( – 5 – y).
37 divise 37(x – 3) donc 37 divise 22( – 5 – y) or 37 et 22 sont premiers entre eux donc d’après le théorème de
Gauss 37 divise ( – 5 – y). On en déduit qu’il existe
k
tel que – 5 – y = 37 k soit y = – 37k – 5.

37(x – 3) = 22 × 37k d’où x – 3 = 22k ,
k
soit x = 3 + 22k.
Réciproquement , vérifions que x = 3 + 22k et y = – 37k – 5,
k
, sont bien solution de (E).
37(3 + 22k) + 22(– 37k – 5) = 111 + 37 × 22k – 22 ×37 k – 110 = 1.
L’ensemble des solutions de (E) est
3 22 ; 5 37k k k   
.
Exercice 3 non spé :
f(x) = x ex
On veut démontrer par récurrence la propriété : pour tout entier n ≥ 1, on a :
()
( ) ( )
nx
f x n x e
Initialisation :
f est dérivable sur
R
et est de type uv avec u(x)=x et v(x) = ex
On a donc
(1) ( ) '( ) 1 (1 ) x x x
f x f x e xe x e    
D’autre part, pour n = 1, (n+x)ex=(1+x) ex
Donc la propriété est vraie pour n = 1
Hérédité :
supposons la propriété vraie pour un entier naturel k quelconque ≥1, c'est-à-dire supposons que
()
( ) ( )
kx
f x k x e
On veut démontrer que alors
( 1) ( ) ( 1 ) kx
f x k x e
Dérivons f (k)
C’est une fonction de type produit uv avec u(x) = k+x donc u’(x) =1 et v(x) = ex donc v’(x) = ex
On sait que (uv)’= u’v+uv’ donc
f (k+1)(x) = 1 ex+(k+x) ex= (k+1+x) ex
La propriété est donc vraie au rang k+1
Conclusion : par le principe de récurrence, pour tout n ≥ 1 ,
()
( ) ( )
nx
f x n x e
Exercice 5.
Partie A.
1) Limite de g en + inf ?
lim donc par passage à l'inverse lim 0
lim 0d'où lim (1 ) 1et lim 2(1 ) 2
xx
xx
x x x
x x x
exe
x
e e e
On peut conclure que
lim ( ) 2
xgx
2) Dérivée de g ?
g est dérivable sur [0 ; + [ et
'( ) 2 3
x x x x x
g x e xe e e xe
Donc
'( ) (3 )
x
g x e x
3) Variations de g.
e-x > 0 pour tout x réel donc g’est du signe de 3 – x .
x
0 3 +
g’(x)
+ 0 –
Variation de g
0 1
D’après le tableau de variation le minimum de g sur [0 ; + [ est 0 donc pour tout x ∈[0 ; + [ g(x) 0.
Partie B.
1) a) limite de f en +
lim 1 on en déduit que lim ( )
lim (2 ) 2
x
xx
x
xfx
e
b)
lim ( ) (2 2) lim ( 1) lim ( )
x x x
x x x
f x x x e xe e
or on a montré dans la partie A) que
lim 0
x
xxe

Et on a
lim 0. On peut donc conclure que lim ( ) (2 2) 0
x
xx
e f x x
et donc que la droite ∆ est asymptote à C en + .
c) position relative de C et ∆.
Il faut donc étudier le signe de f(x) – (2x – 2).
f(x) – (2x – 2) = – (x – 1)e-x = (– x + 1)e-x du signe de – x + 1 car e-x > 0 pour tout réel x.
x
0 1 +
Signe de f
+ 0 –
Pour x ∈ [0 ; 1[ C est au dessus de ∆ ; pour x ∈ ]1 ; + [ C est en dessous de ∆ ; en x = 1 C et ∆ sont sécantes.
d) Calcul de f ’
f de la forme u × v u(x) = x – 1 d’où u’(x) = 1 et v(x) = 2 – e-x d’où v’(x) = e-x
alors
'( ) 2 ( 1) 2 2(1 )
x x x x x x x
f x e x e e xe e e xe
donc
'( ) ( )f x g x
De la partie A on déduit le tableau de variation de f.
x
0 +
Signe de f ‘
0 +
Variation de f
+
–1
2) Abscisse du point d’intersection de la courbe C avec l’axe des abscisses.
Chercher l’abscisse du point d’intersection de C avec l’axe des abscisses revient à résoudre f(x) = 0.
( ) 0 ( 1)(2 ) 0 1 0 2 0 1 ln2 0;
xx
f x x e x ou e x ou x
donc sur [0 ; + [ C coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse 1.
3) Tangente à C parallèle à ∆ ?
La tangente en A à C est parallèle à ∆ si les deux droites ont même coefficient directeur 2.
On doit donc résoudre
'( ) 2fx
.
'( ) 2 2(1 ) 2 2 0 ( 2) 0 2 0
x x x x x
f x xe e xe e e x x
car e-x > 0 pour tout x réel.
On en déduit que le point A a pour abscisse 2 et pour ordonnée f(2) = 2 – e-2.
4) F est une primitive de f sur [0 ; + [ ?
F(x) =
221 x
x x xe
est une primitive de f sur [0 ; + [ si F’(x) = f(x).
F’(x) = 2x – 2 + e-x – xe-x or f(x) = (x – 1)(2 – e-x) = 2x – 2 + e-x – xe-x donc F’(x) = f(x).