Un+1=0.6 Un + 200 avec U0 = 900. 1

1
Correction du DST 2
Suites
Partie A – Etude d'une suite
Soit la suite (U
n
) définie par :
U
n+1
=0.6 U
n
+ 200 avec U
0
= 900.
1. U
1
= 740 et U
2
= 644, cette suite n’est ni arithmétique ni géométrique.
2. V
n
= U
n
– 500
a) V
n+1
= U
n+1
– 500 or U
n+1
=0.6 U
n
+ 200
donc V
n+1
= 0.6 U
n
– 300 or U
n
= V
n
+ 500
donc V
n+1
= 0.6(V
n
+ 500) – 300 d'où V
n+1
= 0.6V
n
b) (V
n
) est une suite géométrique de raison 0,6
de premier terme V
0
= U
0
-500 = 400.
c) V
n
= 400 ×(0,6)
n
et donc U
n
= 400 ×
××
×(0,6)
n
+ 500
d) (V
n
), la raison est inférieure à 1 et le premier terme positif donc la suite est
décroissante, et (U
n
) est telle qu'on obtient ses termes en ajoutant 500 à ceux de (V
n
)
donc elle est aussi décroissante.
Partie B – Application économique
1. a) la société A perd 20% de ses clients et en gagne 20% de ceux de la société B.
en 2000 elles ont respectivement a
0
= 900 et b
0
= 100 clients
en 2001 : a
1
=a
0
– 0,2 a
0
+0,2b
0
= 900 – 180 + 20 = 740 et b
1
= 1000 – a
1
en 2002 a
2
= 0,8a
1
+0,2 b
1
= 644.
b) Si a
n
est le nombre de clients de A en (2000+n), B en aura 1000 – a
n
.
et a
n+1
= 0,8a
n
+ 0,2b
n
donc a
n+1
= 0,8a
n
+ 0,2(1000 – a
n
) d'où a
n+1
= 0,6a
n
+200
c) on retrouve la suite étudié au A donc a
n
= 400 ×
××
×(0,6)
n
+ 500.
2. a) 400 ×(0,6)
n
> 0 donc a
n
> 500 pour tout n
b) D'après la partie A la suite a
n
est décroissante et a
11
= 501,45 donc pour tout n > 10
a
n
< 502.
c) on peut dire qu'au bout de 10 ans les deux sociétés se partageront le marché de
façon équitable
Fonctions
Vrai-Faux
1. La fonction racine carrée f est définie si x [0 ; + ∞[ .
( x)’ = 1
2x donc f est dérivable sur ]0 ; + ∞[ .
f’(3)= 1
23 = 3
6 donc au point d’abscisse 3 la tangente a pour coefficient directeur 3 6 .
D
f
= ]0 ;+[. f’(x) = 1 = f’(x) = 1 x²-1 = x² toujours faux donc il n’y a pas de
tangente de coefficient directeur 1. f’( 3
3 ) =
= -2 donc c’est vrai.
f’(x) = 0  = 0x = 1 ou x = -1, f(-1)= et f(1) = 3
2
de plus quand x = 1, f cesse de décroître pour croître.

2
Calculs de dérivées :
1. f(x) = x
3
- 1
x , f’(x) = 3x
2
+ 1
x² .
2. f(x) = 3
7 x+5+ x , f’(x) = 3 7  1
2x .
3.
Etude de fonctions.
On considère la fonction f telle que
D
f
= -{1}
1. Pour tout x de D
f
:
2.
3.
f ‘(x) est du signe du numérateur
donc f’(x) > 0 si x      [ f est croissante sur ces deux intervalles,
et f ‘(x) < 0 si x  ]-1;1[ et si x  ]1;3[ f est décroissante sur ces deux intervalles.
f atteint un maximum pour x= -1 et f(-1)=  et un minimum pour x=3 avec f(3)= 5
2
4. Limites à l’infini :
  donc 
  donc 
de plus f(x) – x
2 =
or    donc la droite d’équation y= x
2 est
une asymptote oblique à C. En  la limite est négative, la courbe est en dessous de
la droite et en  elle est positive donc la courbe est au dessus de la droite.
limites en 1 :
: et     donc 
: et     donc 
la droite d’équation x = 1 est une asymptote verticale pour C.
5. Tableau de variation
x
−
∞
-
1
1
3
+
∞
signe de
f
′
+
0
−
-
0
+
-
1,5
+
f
2 ,5

3
6. Tangente (T) en A d’abscisse 2 donc d’ordonnée f(2) or f(2) = 3 donc A(2 ;3), ses
coordonnées vérifient l’équation de (T) et le coefficient directeur de (T) est
f ’(2) = 
 d’où l’équation de (T) : y =  x+6.
7. Voir le graphique
8. Soit la fonction g définie par g(x)= - 1
2 x²+ 1 2 x+4.
a) P sa représentation graphique est une parabole tournée vers le bas cat le coefficient
de x² est négatif.
b) Elle admet donc un maximum pour la valeur de x telle que g’ (x)=0
or g’ (x) =    donc pour x = 1
2 et g( 1 2 ) = 33 8 le sommet de la parabole est
S( 1
2 ; 33 8 ).
c) g(2) = 3 donc A P et g’(2) =   donc la droite passant par A et de coefficient
directeur   soit (T) est tangente à P.
d) De plus g(-3) = -2 et f(-3) = -2 donc E(-3 ;-2) est le deuxième point d’intersection
de C et P.
e) Les points d’intersection de P et de l’axe des abscisses ont pour ordonnées 0 et
donc pour abscisses les solutions de l’équation g(x) = 0 donc -0,5x²+0,5x+4=0  -
x²+x+8 = 0.  = 33
l’équation a 2 solutions x
1
  x
2
=  3,4.
Le point d’intersection avec l’axe des ordonnées a pour abscisse 0 et donc pour
ordonnée 4.
Représentations graphiques :
x
y
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
(T)
P
(D)
A
C