Un+1=0.6 Un + 200 avec U0 = 900. 1

Correction du DST 2
Suites
Partie A – Etude d'une suite
Soit la suite (Un) définie par :
Un+1=0.6 Un + 200 avec U0 = 900.
1. U1 = 740 et U2 = 644, cette suite n’est ni arithmétique ni géométrique.
2. Vn = Un – 500
a) Vn+1 = Un+1 – 500 or Un+1=0.6 Un + 200
donc Vn+1 = 0.6 Un – 300 or Un = Vn + 500
donc Vn+1 = 0.6(Vn + 500) – 300 d'où
Vn+1 = 0.6Vn
b) (Vn) est une suite géométrique de raison 0,6
de premier terme V0 = U0-500 = 400.
c) Vn = 400 ×(0,6)n et donc Un = 400 ×(0,6)n + 500
d) (Vn), la raison est inférieure à 1 et le premier terme positif donc la suite est
décroissante, et (Un) est telle qu'on obtient ses termes en ajoutant 500 à ceux de (Vn)
donc elle est aussi décroissante.
Partie B – Application économique
1. a) la société A perd 20% de ses clients et en gagne 20% de ceux de la société B.
en 2000 elles ont respectivement a0 = 900 et b0 = 100 clients
en 2001 : a1=a0 – 0,2 a0 +0,2b0 = 900 – 180 + 20 = 740 et b1 = 1000 – a1
en 2002 a2 = 0,8a1+0,2 b1 = 644.
b) Si an est le nombre de clients de A en (2000+n), B en aura 1000 – an.
et an+1 = 0,8an + 0,2bn donc an+1 = 0,8an + 0,2(1000 – an) d'où an+1 = 0,6an+200
c) on retrouve la suite étudié au A donc an= 400 ×(0,6)n + 500.
2. a) 400 ×(0,6)n > 0 donc an > 500 pour tout n
b) D'après la partie A la suite an est décroissante et a11 = 501,45 donc pour tout n > 10
an < 502.
c) on peut dire qu'au bout de 10 ans les deux sociétés se partageront le marché de
façon équitable
Fonctions
Vrai-Faux
1. La fonction racine carrée f est définie si x ∈[0 ; + ∞[ .
1
( x )’ =
donc f est dérivable sur ]0 ; + ∞[ .
2 x
3
3
1
= 6 donc au point d’abscisse 3 la tangente a pour coefficient directeur 6 .
f’(3)=
2 3
1 1
2. () = − +
2 1
Df = ]0 ;+∞[. f’(x) = 1− ² =
²
²
f’(x) = 1 ⇔ x²-1 = x² toujours faux donc il n’y a pas de
3
tangente de coefficient directeur 1. f’( 3 ) =
= -2 donc c’est vrai.
3
²−1
f’(x) = 0 ⇔ ² = 0⇔x = 1 ou x = -1, f(-1)= − et f(1) = 2
de plus quand x = 1, f cesse de décroître pour croître.
1
Calculs de dérivées :
1
1
1. f(x) = x3- x , f’(x) = 3x2 + x² .
3
3
1
2. f(x) = x+5+ x , f’(x) = +
.
7 2 x
7
3.
² + 1
() =
3 − 2
2(3 − 2) − 3( + 1) 3² − 4 − 3
()
=
=
(3 − 2)²
(3 − 2)²
Etude de fonctions.
On considère la fonction f telle que
() =
² − + 4
2( − 1)
Df = ℝ-{1}
1. Pour tout x de Df :
2.
() =
² − + 4 ( − 1)
4
2
=
+
= +
2( − 1)
2( − 2) 2( − 1) 2 − 1
3.
( − 1) − 4 ( − 3)( + 1)
2
1
−
=
=
2 ( − 1)²
2( − 1)²
2( − 1)²
f ‘(x) est du signe du numérateur
donc f’(x) > 0 si x ∈] − ∞; −1 et si ∈]3; +∞[ f est croissante sur ces deux intervalles,
et f ‘(x) < 0 si x ∈ ]-1;1[ et si x ∈ ]1;3[ f est décroissante sur ces deux intervalles.
5
"
f atteint un maximum pour x= -1 et f(-1)= − et un minimum pour x=3 avec f(3)= 2
4. Limites à l’infini :
lim→& = −∞ lim→& = 0
donc ()*+→& ,(+) = −∞
() =
lim→-&
= +∞ lim→-& = 0
donc ()*+→-& ,(+) = +∞
x
x
de plus f(x) – 2 =
. or lim→& = 0 donc la droite d’équation y= 2 est
une asymptote oblique à C. En −∞ la limite est négative, la courbe est en dessous de
la droite et en +∞ elle est positive donc la courbe est au dessus de la droite.
limites en 1 :
lim→ = :
.
lim→ 0
et lim→ = −∞ donc ()*+→/ ,(+) = −∞
.
= :
+.
et lim→ = +∞ donc ()*+→/ ,(+) = +∞
0
+0
la droite d’équation x = 1 est une asymptote verticale pour C.
5. Tableau de variation
x
signe de f ′
−∞
+
-1
0
-1,5
1
−
-
3
0
+∞
+∞
f
−∞
−∞
2
+∞
+
2 ,5
6. Tangente (T) en A d’abscisse 2 donc d’ordonnée f(2) or f(2) = 3 donc A(2 ;3), ses
coordonnées vérifient l’équation de (T) et le coefficient directeur de (T) est
"
"
f ’(2) = − . d’où l’équation de (T) : y = − .x+6.
7. Voir le graphique
1
1
8. Soit la fonction g définie par g(x)= - x²+ x+4.
2
2
a) P sa représentation graphique est une parabole tournée vers le bas cat le coefficient
de x² est négatif.
b) Elle admet donc un maximum pour la valeur de x telle que g’ (x)=0
1
1
33
or g’ (x) = − + . donc pour x = 2 et g( 2 ) = 8 le sommet de la parabole est
1 33
S( ;
).
2 8
"
c) g(2) = 3 donc A ∈P et g’(2) = − . donc la droite passant par A et de coefficient
"
directeur − . soit (T) est tangente à P.
d) De plus g(-3) = -2 et f(-3) = -2 donc E(-3 ;-2) est le deuxième point d’intersection
de C et P.
e) Les points d’intersection de P et de l’axe des abscisses ont pour ordonnées 0 et
donc pour abscisses les solutions de l’équation g(x) = 0 donc -0,5x²+0,5x+4=0 ⇔ x²+x+8 = 0. Δ = 33
√""
-√""
l’équation a 2 solutions x1 = ≈ −2,4 x2 = ≈ 3,4.
Le point d’intersection avec l’axe des ordonnées a pour abscisse 0 et donc pour
ordonnée 4.
Représentations graphiques :
y
8
6
C
4
(D)
A
2
x
0
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-2
-4
(T)
-6
-8
3
P
10
12
14