5 décembre 2011 A#11 Nombres Parfaits

Lycée A. Dumas – Port au Prince – Haïti -
5
décembre 201
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A#11
Nombres Parfaits
Un nombre entier naturel est dit parfait s'il est égal à la somme de ses diviseurs positifs stricts (autres que
lui-même).
Exemples 6 est parfait car 6 = 1 + 2 + 3 ; 28 est parfait car 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.
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Ex 11.1 Montrer que 496 et 8 128 sont des nombres parfaits (résultats découverts par le mathématicien
grec NICOMAQUE).
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Ex 11.2 Montrer que, si
1
2
−
n
est premier, alors
(
)
122
1
−
−nn
est parfait (EUCLIDE, Éléments, Livre IX).
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L. EULER (1707 - 1783) a montré réciproquement que :
"Tout nombre parfait pair est de la forme
(
)
122
1
−
−nn
, où
1
2
−
n
est un nombre premier."
Cela nous renvoie à la recherche des nombres premiers de la forme
1
2
−
n
, appelés nombres de
MERSENNE (voir la fiche suivante).
On ne sait pas encore s'il existe des nombres parfaits impairs (mais s'il en existe, ils sont supérieurs
à
300
10 ).
Voici les 7 premiers nombres parfaits, correspondants aux sept plus petits nombres de MERSENNE :
n
1
2
−
n
nombre parfait :
(
)
122
1
−
−nn
2 3 6
3 7 28
5 31 496
7 127 8 128
13 8 191 33 550 336
17 131 071 8 589 869 056
19 524 287 137 438 691 328
Un nombre entier naturel est dit abondant s'il est inférieur à la somme de ses diviseurs positifs stricts et
déficient s'il est supérieur à cette somme.
Ex 11.3 Classer les nombres entre 1 et 100 dans l'une des trois catégories (nombres parfaits, abondants,
déficients).
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Deux entiers naturels sont dits amiables si chacun d'eux est égal à la somme des diviseurs stricts de l'autre.
Ex 11.4 Vérifier que 220 est amiable avec un autre entier.
Ex 11.5 Un entier naturel est dit semi-parfait s'il est égal à la somme d'une partie de ses diviseurs stricts.
(On peut les prendre tous s'il le faut : un nombre parfait est donc aussi semi-parfait).
Par exemple 12 est semi-parfait puisque 12 = 2 + 4 + 6.
a) Déterminer les entiers semi-parfaits compris entre 1 et 50.
b) Montrer que tout multiple d'un nombre semi-parfait est semi-parfait.
c) En déduire que les nombres 42 ; 500 ; 1998 ; 2044 sont tous semi-parfaits.