nombres parfaits - Colegio Francia

TP NOMBRES PARFAITS
FICHE 12
Un nombre entier naturel est dit parfait s'il est égal à la somme de ses diviseurs positifs stricts
(autres que lui-même).
Exemples 6 est parfait car 6 = 1 + 2 + 3 ; 28 est parfait car 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.
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Ex 12.1 Montrer que 496 et 8 128 sont des nombres parfaits (résultats découverts par le
mathématicien grec NICOMAQUE).
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

Ex 12.2 Montrer que, si 2 n  1 est premier, alors 2 n 1 2 n  1 est parfait (EUCLIDE,
Éléments, Livre IX).
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L. EULER (1707 - 1783) a montré réciproquement que :


"Tout nombre parfait pair est de la forme 2 n 1 2 n  1 , où 2 n  1 est un nombre premier."
Cela nous renvoie à la recherche des nombres premiers de la forme 2 n  1 , appelés nombres
de MERSENNE (voir la fiche 13).
On ne sait pas encore s'il existe des nombres parfaits impairs (mais s'il en existe, ils sont
supérieurs à 10 300 ).
Voici les 7 premiers nombres parfaits, correspondants aux sept plus petits nombres de
MERSENNE :
2n  1
n
2
3
5
7
13
17
19
3
7
31
127
8 191
131 071
524 287


nombre parfait : 2 n 1 2 n  1
6
28
496
8 128
33 550 336
8 589 869 056
137 438 691 328
Un nombre entier naturel est dit abondant s'il est inférieur à la somme de ses diviseurs
positifs stricts et déficient s'il est supérieur à cette somme.
Ex 12.3 Classer les nombres entre 1 et 100 dans l'une des trois catégories (nombres parfaits,
abondants, déficients).
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Deux entiers naturels sont dits amiables si chacun d'eux est égal à la somme des diviseurs
stricts de l'autre.
Ex 12.4 Vérifier que 220 est amiable avec un autre entier.
Ex 12.5 Un entier naturel est dit semi-parfait s'il est égal à la somme d'une partie de ses
diviseurs stricts. (On peut les prendre tous s'il le faut : un nombre parfait est donc aussi semiparfait).
Par exemple 12 est semi-parfait puisque 12 = 2 + 4 + 6.
a) Déterminer les entiers semi-parfaits compris entre 1 et 50.
b) Montrer que tout multiple d'un nombre semi-parfait est semi-parfait.
c) En déduire que les nombres 42 ; 500 ; 1998 ; 2044 sont tous semi-parfaits.