Devoir maison n°1 (A rendre le 23/03/2011) Exercice 1 : Construction de réels Sur la droite des réels, on peut construire les nombres rationnels et certains nombres irrationnels. 4 Ici, (- )est construit en utilisant la propriété de Thalès et 5 est construit 3 en utilisant le théorème de Pythagore dans un triangle rectangle. – 4 3 5 Application : 1) Soit ABC un triangle équilatéral de côté 2. a) déterminer la hauteur de ce triangle. b) sur une droite réelle, d’unité graphique 5 cm, construire le point d’abscisse 3. 2) a) en remarquant que 39 = 3 × 13, trouver deux entiers a et b tels que 39 = (a + b)(a – b). b) en déduire une méthode pour construire un segment de longueur 39 cm. Exercice 2 : La vitesse de la lumière est estimée à 3 × 108 m.s-1 et la distance moyenne Terre-Soleil à 149 millions de kilomètres. Calculer le temps nécessaire à un signal lumineux issu de la Terre pour parvenir au Soleil. Exercice 3 : Le nombre d’or est le nombre Φ = a) Φ2 = Φ + 1 b) Φ = 1+ 5 . Vérifier les égalités suivantes : 2 1 +1 Φ c) Φ3 = 2Φ + 1 Exercice 4 : Un nombre parfait est un entier naturel égal à la somme de ses diviseurs, autres que lui-même. Ainsi, 6 est un nombre parfait, car 6 = 1 + 2 + 3. Trouver le seul nombre parfait compris entre 25 et 30. Exercice 5 : Deux entiers positifs m et n sont dits amicaux, si la somme des diviseurs de m (autres que m) est égale à n et simultanément la somme des diviseurs de n (autres que n) est égale à m. Les plus petits nombres amicaux sont 220 et 284. a) Décomposer en produit de nombres premiers 220 et 284. b) Vérifier que 220 et 284 sont amicaux. Exercice 6 : Soit N = mcdu un nombre entier écrit en base dix pour lequel m>c>d>u>0 1) Quel est le plus petit nombre possible ? 2) Quel est le plus grand nombre possible ? 3) Dresser la liste des nombres N pour lesquels le chiffre des milliers est 6. On appelle N' le nombre obtenu à partir de N en permutant le chiffre des unités avec celui des milliers et le chiffre des centaines avec celui des dizaines. Et on appelle D le nombre obtenu en faisant la différence N-N'. 4) 5) 6) 7) Exprimez D en fonction de m, c, d et u. Montrez que D est multiple de 9 Quelle est la valeur maximum de D ? Quelle est la valeur minimum de D ?