Devoir maison n°1 (A rendre le 23/03/2011) Exercice 1

Devoir maison n°1
(A rendre le 23/03/2011)
Exercice 1 :
Construction de réels
Sur la droite des réels, on peut construire les nombres rationnels
et certains nombres irrationnels.
Ici, (-4
3 )est construit en utilisant la propriété de Thalès et 5 est construit
en utilisant le théorème de Pythagore dans un triangle rectangle. –
4
3
5
Application :
1) Soit ABC un triangle équilatéral de côté 2.
a) déterminer la hauteur de ce triangle.
b) sur une droite réelle, d’unité graphique 5 cm, construire le point d’abscisse 3.
2) a) en remarquant que 39 = 3 × 13, trouver deux entiers a et b tels que 39 = (a + b)(a – b).
b) en déduire une méthode pour construire un segment de longueur 39 cm.
Exercice 2 : La vitesse de la lumière est estimée à 3 × 10
8
m.s
-1
et la distance moyenne Terre-Soleil à 149
millions de kilomètres.
Calculer le temps nécessaire à un signal lumineux issu de la Terre pour parvenir au Soleil.
Exercice 3 : Le nombre d’or est le nombre Φ = 1 + 5
2. Vérifier les égalités suivantes :
a) Φ
2
= Φ + 1 b) Φ = 1
Φ + 1 c) Φ
3
= 2Φ + 1
Exercice 4 : Un nombre parfait est un entier naturel égal à la somme de ses diviseurs,
autres que lui-même. Ainsi, 6 est un nombre parfait, car 6 = 1 + 2 + 3.
Trouver le seul nombre parfait compris entre 25 et 30.
Exercice 5 : Deux entiers positifs m et n sont dits amicaux, si la somme des diviseurs de m (autres que m)
est égale à n et simultanément la somme des diviseurs de n (autres que n) est égale à m. Les plus petits
nombres amicaux sont 220 et 284.
a) Décomposer en produit de nombres premiers 220 et 284.
b) Vérifier que 220 et 284 sont amicaux.
Exercice 6 : Soit N = mcdu un nombre entier écrit en base dix pour lequel m>c>d>u>0
1) Quel est le plus petit nombre possible ?
2) Quel est le plus grand nombre possible ?
3) Dresser la liste des nombres N pour lesquels le chiffre des milliers est 6.
On appelle N' le nombre obtenu à partir de N en permutant le chiffre des unités
avec celui des milliers et le chiffre des centaines avec celui des dizaines.
Et on appelle D le nombre obtenu en faisant la différence N-N'.
4) Exprimez D en fonction de m, c, d et u.
5) Montrez que D est multiple de 9
6) Quelle est la valeur maximum de D ?
7) Quelle est la valeur minimum de D ?