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Exercice 1
Soit
abc
le nombre cherché.
Les données de l'énoncé sont traduites par :
bac abc 540 100b 10a c 100a 10b c 540 90a 90b 540 a b 6
abc acb 27 soit 100a 10b c 100a 10c b 27 soit 9b 9c 27 soit b c 3
a b c 15 a b c 15 a b c 15 a b c 15
a b 6 a
soit c b 3 soit
a b c 15
b 6 a b 6 a b 6 a b 6
c b 3 soit c b 3 soit c b 3 soit c b 3
b 6 b b 3 15 b 6 b b 3 15 3b 24 3b 24
a b 6 a 2
soit c b 3 soit c 5
b 8 b 8
Le nombre cherché est le nombre 285.
Exercice 2
1°) Les diviseurs de 6 sont les nombres 1, 2, 3 et 6 et 1 + 2 + 3 = 6 donc 6 est un nombre parfait.
Les diviseurs de 496 sont les nombres 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248 et 496 et
1 + 2 + 4 + 8 +16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496 donc 496 est un nombre parfait.
2°) Les diviseurs de 120 sont les nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120 et 1 + 2
+ 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 24 + 30 + 40 + 60 = 240. La somme précédente ne vaut pas
120 donc 120 n'est pas un nombre parfait.
3°)
Avec n = 1, n 1 2 2 2 et n 1 2 (2 1) 2 1
   3 (nombre premier) donc 2 x 3 qui vaut 6 est un nombre
parfait.
Avec n = 2, n 2 2 2 4 et n 1 3 (2 1) 2 1 7
    (nombre premier) donc 4 x 7 qui vaut 28 est un nombre
parfait.
Avec n = 3, n 3 228  et n 1 4 (2 1) 2 1 15
    (nombre qui n'est pas premier) donc 8 x 15 qui vaut
120 n'est pas un nombre parfait.
Avec n = 4, n 4 2 2 16  et n 1 5 (2 1) 2 1 31
    (nombre premier) donc 16 x 31 qui vaut 496 est un
nombre parfait.
4°) On continue comme au 3°)
Avec n = 5, n 5 2 2 32  et n 1 5 (2 1) 2 1 63
    (nombre qui n'est pas premier).
Avec n = 6, n 6 2 2 64  et n 1 7 (2 1) 2 1 127
    (nombre premier et premier nombre de la forme
n n 1
2 (2 1)   qui soit dans la liste des nombres premiers compris entre 101 et 149) donc 63 × 127 qui
vaut 8128 est le plus petit nombre parfait supérieur au nombre 496.
Remarques concernant les notions introduites dans cet exercice [c'est bon pour la "culture générale" … ;-)] :
- les nombres de la forme
n+1
2 -1 sont appelés nombres de Mersenne (le plus grand nombre de Mersenne qui
soit premier connu actuellement est, sauf erreur de ma part, le nombre
32 582 657
2 -1 )
- sauf erreur de ma part, on pense à l'heure actuelle
qu'il n'existe pas de nombres parfaits impairs mais on ne sait pas le démontrer
qu'il y a une infinité de nombres parfaits mais on ne sait pas le démontrer et on n'en connaît que 39.
Dominique Pernoux
http://pernoux.perso.orange.fr