Exercice 1 Soit abc le nombre cherché. Les données de l'énoncé sont traduites par : bac abc 540 100b 10a c 100a 10b c 540 90a 90b 540 a b 6 100a 10b c 100a 10c b 27 soit 9b 9c 27 soit b c 3 abc acb 27 soit a b c 15 a b c 15 a b c 15 a b c 15 a b 6 a b 6 a b 6 a b 6 a b 6 soit c b 3 soitc b 3 soit c b 3 soit c b 3 soit c b 3 b 6 b b 3 15 3b 24 3b 24 a b c 15 b 6 b b 3 15 a b 6 a 2 soit c b 3 soit c 5 b 8 b 8 Le nombre cherché est le nombre 285. Exercice 2 1°) Les diviseurs de 6 sont les nombres 1, 2, 3 et 6 et 1 + 2 + 3 = 6 donc 6 est un nombre parfait. Les diviseurs de 496 sont les nombres 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248 et 496 et 1 + 2 + 4 + 8 +16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496 donc 496 est un nombre parfait. 2°) Les diviseurs de 120 sont les nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120 et 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 24 + 30 + 40 + 60 = 240. La somme précédente ne vaut pas 120 donc 120 n'est pas un nombre parfait. 3°) Avec n = 1, 2n 21 2 et (2 n1 1) 22 1 3 (nombre premier) donc 2 x 3 qui vaut 6 est un nombre parfait. Avec n = 2, 2n 2 2 4 et (2n1 1) 23 1 7 (nombre premier) donc 4 x 7 qui vaut 28 est un nombre parfait. Avec n = 3, 2 n 2 3 8 et (2 n1 1) 24 1 15 (nombre qui n'est pas premier) donc 8 x 15 qui vaut 120 n'est pas un nombre parfait. Avec n = 4, 2 n 2 4 16 et (2 n1 1) 25 1 31 (nombre premier) donc 16 x 31 qui vaut 496 est un nombre parfait. 4°) On continue comme au 3°) Avec n = 5, 2 n 2 5 32 et (2 n1 1) 25 1 63 (nombre qui n'est pas premier). Avec n = 6, 2 n 2 6 64 et (2 n1 1) 27 1 127 (nombre premier et premier nombre de la forme 2n (2n 1 1) qui soit dans la liste des nombres premiers compris entre 101 et 149) donc 63 × 127 qui vaut 8128 est le plus petit nombre parfait supérieur au nombre 496. Remarques concernant les notions introduites dans cet exercice [c'est bon pour la "culture générale" … ;-)] : 2 n+1 -1 sont appelés nombres de Mersenne (le plus grand nombre de Mersenne qui 32 582 657 soit premier connu actuellement est, sauf erreur de ma part, le nombre 2 -1 ) - les nombres de la forme - sauf erreur de ma part, on pense à l'heure actuelle qu'il n'existe pas de nombres parfaits impairs mais on ne sait pas le démontrer qu'il y a une infinité de nombres parfaits mais on ne sait pas le démontrer et on n'en connaît que 39. Dominique Pernoux http://pernoux.perso.orange.fr