chapitre 4 : equations et inequations

CHAPITRE 4 : EQUATIONS ET INEQUATIONS
1. Equations :
Une équation est une égalité dans laquelle intervient un nombre inconnu désigné le plus
souvent par une lettre.
Résoudre une équation, c’est trouver toutes les valeurs possibles du nombre inconnu telles
que l’égalité soit « vraie » : chacune de ces valeurs est appelée une solution de l’équation.
Suivant le type d’équation, il peut y avoir une, plusieurs ou aucune solution.
Fiche 1 : tester une équation
a) Equations du premier degré à une inconnue :
Exemple :
Je résous l’équation 5x – 4 = 8 – 3x :
5x – 4 + 4 = 8 – 3x + 4
on met les « x » à gauche et les autres nombres à droites
5x + 3x = 8 – 3x + 4 + 3x
5x + 3x = 8 + 4
8x = 12
8x 12
=
8
8
12
x=
8
x = 1,5
La solution est 1,5.
Fiche 2 : équations – Exercices 1 à 4
Application à la résolution de problème:
Problème :
Bob pense à un nombre. Si Bob soustrait 22 à ce nombre et multiplie le tout par 3 alors il
retrouve le nombre de départ. Quel est le nombre auquel Bob pense ?
Méthode :
1) Choix d’une inconnue :
Soit x le nombre cherché.
2) Mettre le problème en équation :
Si on soustrait 22 au nombre, on a x–22. Le triple du tout est 3×(x–22).
Comme Bob retrouve le nombre de départ alors le problème se traduit par :
3×(x – 22) = x
3) Résolution de l’équation :
3×(x – 22) = x
3x – 66 = x
3x = x + 66
3x – x = 66
2x = 66
66
x=
2
x = 33
La solution de l’équation est 33.
4) Conclusion :
Bob pense au nombre 33.
Fiche 2 : équations – Exercices 5 à 6
b) Equations de la forme (ax + b)(cx + d) = 0 :
Propriété :
Un produit de facteur est nul si l’un des facteurs est nul.
Conséquence :
Les solutions de l’équation (ax + b)(cx + d) = 0 sont celles des deux équations ax + b = 0 et
cx + d = 0.
Exemple :
(2x + 7)(5x + 2) = 0
cela signifie que :
2x + 7 = 0 ou
5x + 2 =0
2x = – 7
ou
5x = – 2
7
2
x=–
ou
x=–
2
5
x = – 3,5
ou
x = – 0,4
Les solutions de l’équation (2x + 7)(5x + 2) = 0 sont – 3,5 et – 0,4.
Exercice n°30 page 43
Remarque :
Certaines équations ne sont pas de la forme (ax + b)(cx + d) = 0 mais peuvent s’y ramener par
factorisation.
Exemple :
(x – 4)(x + 2) + (x – 4)(x – 1) = 0
(x – 4)[(x + 2) + (x – 1)] = 0
je factorise pour avoir un produit
(x – 4)(x + 2 + x – 1) = 0
(x – 4)(2x + 1) = 0
Cela signifie que :
x – 4 = 0 ou 2x + 1 =0
x=4
ou 2x = –1
1
x=4
ou x = –
2
1
Les solutions sont donc 4 et – .
2
Fiche 3 : factorisation et résoudre (ax + b)(cx + d) = 0
Exercices n°37, 38, 39 page 43
Exercices n°41, 42, 45 page 44
Exercices n°49, 52 page 45
2. Inéquations :
a) Inéquation du premier degré à une inconnue :
Une inéquation est une inégalité dans laquelle intervient un nombre inconnu désigné par une
lettre.
Résoudre une inéquation c’est trouver toutes les valeurs possibles de l’inconnue telles que
l’inégalité soit « vraie ».
Fiche 4 : tester une inéquation
On peut représenter les solutions d’une inéquation sur un axe gradué.
Exemples :
Inéquation : x < 2
Les solutions sont les nombres strictement
inférieurs à 2.
Représentation graphique :
2
[
Inéquation : x > 2
Les solutions sont les nombres strictement
supérieurs à 2.
Représentation graphique :
2
]
Inéquation : x ≤ 2
Les solutions sont les nombres inférieurs ou
égaux à 2.
Représentation graphique :
2
]
Inéquation : x ≥ 2
Les solutions sont les nombres supérieurs ou
égaux à 2.
Représentation graphique :
2
[
Remarque :
Le crochet est tourné vers les solutions lorsque 2 est solution de l’inéquation.
« 2 < 2 » est faux donc 2 n’est pas solution de x < 2.
« 2 ≤ 2 » est vrai donc 2 est solution de x ≤ 2
Fiche 5 : inéquations – Exercice 1
b) Addition et ordre :
Propriété :
Pour tous nombres a, b et k :
Si a < b alors a + k < b + k
Exemple :
x–5<2
x<2+5
( on a fait : x – 5 + 5 < 2 + 5 et donc l’ordre ne change pas)
x<7
Les solutions sont tous les nombres strictement inférieurs à 7.
c) Multiplication et ordre :
Propriété :
Pour tous nombres a, b et tout nombre k non nul :
Si a < b alors il y a 2 possibilités :
- dans le cas où k est positif : k×a < k×b (le signe ne change pas)
- dans le cas où k est négatif : k×a > k×b (le signe change de « sens »)
Exemples :
x
a) > 9
7
x
x > 7×9 (on a fait : 7× > 7×9, on ne change pas le signe car 7 est positif )
7
x > 63
Les solutions sont tous les nombres strictement supérieurs à 63.
b) –7x > 8
8
–7x 8
x < (on a fait :
<
, on change le signe car –7 est négatif )
–7
–7 –7
8
x<–
7
8
Les solutions sont les nombres strictement inférieurs à – .
7
Exercices n°16, 17, 18, 20 page 90
Fiche 5 : inéquations – Exercices 2,3,4