Correction DM 1 : Problème de la boule 1. Lorsqu`il y a affleurement

Correction DM 1 : Problème de la boule
1. Lorsqu'il y a affleurement, la hauteur du volume total est égale au diamètre de la sphère soit 14 cm.
On a V Total = Veau + Vsphere , avec V Total =π×102 ×14 soit V Total =1400 π et V sphere =
(
On en déduit V eau = 1400−
4
1372
3
π 7 soit V sphere =
π
3
3
1372
2828
π soit V eau =
π .
3
3
)
2. Si l'on place une autre bille de rayon r et qu'il y a à nouveau affleurement, la
hauteur du volume total est 2 r et le volume d'eau reste inchangé.
On a V sphere =
2828
4
3
π , d'après l'égalité du 1. on
π r , V Total =200 r π et V eau =
3
3
obtient que r est solution de l'équation 200 r π=
les deux membres par
2828
4
3
π+ π r , on multiplie dans
3
3
3
et on obtient l'équation équivalente 150 r =707+ r 3 soit
4π
l'équation équivalente r 3 −150 r +707=0
3. On peut définir ainsi la fonction f définie par
f ( x )= x 3−150 x +707 , les solutions éventuelles de l'équation
f ( x )=0 sont ainsi les valeurs des rayons recherchées, de plus
0⩽ x ⩽10 puisque le rayon de la boule ne peut excéder celui du
cylindre. On recherche alors les abscisses des points
d'intersection de Cf avec l'axe des abscisses.
4. Il semble d'après la calculatrice qu'il n'y ait qu'un seul point
qui correspond à x =7 soit le rayon de la boule de départ !
5. On a l'égalité x 3 −150 x +707= ( x −7 ) ( ax 2 + bx + c ) , on développe le membre de droite et on obtient l'égalité :
x 3 −150 x +707=ax 3 +bx 2+cx −7 ax 2 −7 bx −7 c , on ramène le membre de gauche à 0.
On factorise ensuite les termes du membre de gauche de sorte à obtenir une somme de monômes.
On obtient l'égalité équivalente suivante ( a −1 ) x 3 + ( b −7 a ) x 2+ ( c −7 b +150 ) x −7 c −707=0 .
a −1=0
D'après la propriété énoncée, le polynôme est nul si et seulement si b −7 a =0
on trouve alors
c −7 b +150=0
−7 c −707=0
{
a =1
.
b =7
c =−101
{
On en déduit que x 3 −150 x +707=( x −7 ) ( x 2 +7 x −101 ) .
6. On résout alors l'équation f ( x )=0 ⇔ ( x −7 ) ( x 2 +7 x −101 ) =0 , puisque la boule a un diamètre différent de 7, alors
x −7≠0 , ainsi f ( x )=0 ⇔ x 2 +7 x −101=0 .
On cherche ainsi les racines du trinôme, on calcule Δ=453 , alors le trinôme a deux racines x 1 =
x 2=
−7− √ 453
et
2
−7+ √ 453
.
2
Le domaine d'étude de l'équation étant l'intervalle [ 0 ; 10 ] il n'y a qu'une seule solution distincte de 7 à l'équation
f ( x )=0 , ainsi il existe un autre rayon de sphère de sorte qu'il y ait affleurement r =
Remarque : En zoomant sur le graphique autour de
x =7
−7+ √ 453
soit r ≈ 7 , 14 cm.
2
on observe que la courbe coupe l'axe des abscisses en 2 points !