DM n°1 Partie B : Aide dans la recherche de la position d

DM n°1
Partie B : Aide dans la recherche de la position d'affleurement
1. Calculer le volume d'eau contenu dans le récipient.
2. Montrer que dans le cas où il y a affleurement, r est solution de l'équation r 3 −150 r +707=0 avec r le
rayon de la nouvelle boule.
3. Expliquer pourquoi la représentation graphique de la fonction f : x → x 3 −150 x +707 permet de déterminer
le nombre de boules où il y a affleurement.
4. A l'aide de la calculatrice ou bien d'un logiciel de géométrie, conjecturer le nombre de boules.
Evaluer alors graphiquement la(les) valeur(s) de(s) rayon(s).
5. Une propriété mathématique permet d'affirmer qu'il existe 3 réels a , b et c tels que
x 3 −150 x +707= ( x −7 ) ( ax 2 + bx + c ) , pour x ∈ℝ .
a) Déterminer une égalité équivalente à celle ci-dessus de la forme α x 3+β x 2 +λ x +μ=0 pour x ∈ℝ .
b) Une autre propriété mathématique affirme qu'un polynôme s'annule pour tout réel x si et seulement si
tous les coefficients des monômes qui le composent sont nuls.
D'après cette propriété en déduire un système de trois équations à trois inconnues en a , b et c .
c) Calculer alors les valeurs de a , b et c .
6. D'après le 5. montrer que la résolution de l'équation du 2. peut se ramener à une équation du second degré.
Résoudre alors l'équation puis conclure.
DM n°1
Partie B : Aide dans la recherche de la position d'affleurement
1. Calculer le volume d'eau contenu dans le récipient.
2. Montrer que dans le cas où il y a affleurement, r est solution de l'équation r 3 −150 r +707=0 avec r le
rayon de la nouvelle boule.
3. Expliquer pourquoi la représentation graphique de la fonction f : x → x 3 −150 x +707 permet de déterminer
le nombre de boules où il y a affleurement.
4. A l'aide de la calculatrice ou bien d'un logiciel de géométrie, conjecturer le nombre de boules.
Evaluer alors graphiquement la(les) valeur(s) de(s) rayon(s).
5. Une propriété mathématique permet d'affirmer qu'il existe 3 réels a , b et c tels que
x 3 −150 x +707= ( x −7 ) ( ax 2 + bx + c ) , pour x ∈ℝ .
a) Déterminer une égalité équivalente à celle ci-dessus de la forme α x 3+β x 2 +λ x +μ=0 pour x ∈ℝ .
b) Une autre propriété mathématique affirme qu'un polynôme s'annule pour tout réel x si et seulement si
tous les coefficients des monômes qui le composent sont nuls.
D'après cette propriété en déduire un système de trois équations à trois inconnues en a , b et c .
c) Calculer alors les valeurs de a , b et c .
6. D'après le 5. montrer que la résolution de l'équation du 2. peut se ramener à une équation du second degré.
Résoudre alors l'équation puis conclure.
Correction DM 1 : Problème de la boule
1. Lorsqu'il y a affleurement, la hauteur du volume total est égale au diamètre de la sphère soit 14 cm.
On a V Total = Veau + Vsphere , avec V Total =π×102 ×14 soit V Total =1400 π et V sphere =
(
On en déduit V eau = 1400−
4
1372
3
π 7 soit V sphere =
π
3
3
1372
2828
π soit V eau =
π .
3
3
)
2. Si l'on place une autre bille de rayon r et qu'il y a à nouveau affleurement, la
hauteur du volume total est 2 r et le volume d'eau reste inchangé.
On a V sphere =
2828
4
3
π , d'après l'égalité du 1. on
π r , V Total =200 r π et V eau =
3
3
obtient que r est solution de l'équation 200 r π=
les deux membres par
2828
4
3
π+ π r , on multiplie dans
3
3
3
et on obtient l'équation équivalente 150 r =707+ r 3 soit
4π
l'équation équivalente r 3 −150 r +707=0
3. On peut définir ainsi la fonction f définie par
f ( x )= x 3−150 x +707 , les solutions éventuelles de l'équation
f ( x )=0 sont ainsi les valeurs des rayons recherchées, de plus
0⩽ x ⩽10 puisque le rayon de la boule ne peut excéder celui du
cylindre. On recherche alors les abscisses des points
d'intersection de Cf avec l'axe des abscisses.
4. Il semble d'après la calculatrice qu'il n'y ait qu'un seul point
qui correspond à x =7 soit le rayon de la boule de départ !
5. On a l'égalité x 3 −150 x +707= ( x −7 ) ( ax 2 + bx + c ) , on développe le membre de droite et on obtient l'égalité :
x 3 −150 x +707=ax 3 +bx 2+cx −7 ax 2 −7 bx −7 c , on ramène le membre de gauche à 0.
On factorise ensuite les termes du membre de gauche de sorte à obtenir une somme de monômes.
On obtient l'égalité équivalente suivante ( a −1 ) x 3 + ( b −7 a ) x 2+ ( c −7 b +150 ) x −7 c −707=0 .
a −1=0
D'après la propriété énoncée, le polynôme est nul si et seulement si b −7 a =0
on trouve alors
c −7 b +150=0
−7 c −707=0
{
a =1
.
b =7
c =−101
{
On en déduit que x 3 −150 x +707=( x −7 ) ( x 2 +7 x −101 ) .
6. On résout alors l'équation f ( x )=0 ⇔ ( x −7 ) ( x 2 +7 x −101 ) =0 , puisque la boule a un diamètre différent de 7, alors
x −7≠0 , ainsi f ( x )=0 ⇔ x 2 +7 x −101=0 .
On cherche ainsi les racines du trinôme, on calcule Δ=453 , alors le trinôme a deux racines x 1 =
x 2=
−7− √ 453
et
2
−7+ √ 453
.
2
Le domaine d'étude de l'équation étant l'intervalle [ 0 ; 10 ] il n'y a qu'une seule solution distincte de 7 à l'équation
f ( x )=0 , ainsi il existe un autre rayon de sphère de sorte qu'il y ait affleurement r =
Remarque : En zoomant sur le graphique autour de
x =7
−7+ √ 453
soit r ≈ 7 , 14 cm.
2
on observe que la courbe coupe l'axe des abscisses en 2 points !