DM n°1 Partie B : Aide dans la recherche de la position d

DM n°1
Partie B : Aide dans la recherche de la position d'affleurement
1. Calculer le volume d'eau contenu dans le récipient.
2. Montrer que dans le cas où il y a affleurement,
r
est solution de l'équation
r
3−150
r +707=0
avec
r
le
rayon de la nouvelle boule.
3. Expliquer pourquoi la représentation graphique de la fonction
f : x → x
3−150
x +707
permet de déterminer
le nombre de boules où il y a affleurement.
4. A l'aide de la calculatrice ou bien d'un logiciel de géométrie, conjecturer le nombre de boules.
Evaluer alors graphiquement la(les) valeur(s) de(s) rayon(s).
5. Une propriété mathématique permet d'affirmer qu'il existe 3 réels
a
,
b
et
c
tels que
x
3−150
x +707= ( x −7 )
(
ax
2+
bx + c
)
, pour
x ∈ℝ
.
a) Déterminer une égalité équivalente à celle ci-dessus de la forme
α x
3+β
x
2+λ
x +μ=0
pour
x ∈ℝ
.
b) Une autre propriété mathématique affirme qu'un polynôme s'annule pour tout réel
x
si et seulement si
tous les coefficients des monômes qui le composent sont nuls.
D'après cette propriété en déduire un système de trois équations à trois inconnues en
a
,
b
et
c
.
c) Calculer alors les valeurs de
a
,
b
et
c
.
6. D'après le 5. montrer que la résolution de l'équation du 2. peut se ramener à une équation du second degré.
Résoudre alors l'équation puis conclure.
DM n°1
Partie B : Aide dans la recherche de la position d'affleurement
1. Calculer le volume d'eau contenu dans le récipient.
2. Montrer que dans le cas où il y a affleurement,
r
est solution de l'équation
r
3−150
r +707=0
avec
r
le
rayon de la nouvelle boule.
3. Expliquer pourquoi la représentation graphique de la fonction
f : x → x
3−150
x +707
permet de déterminer
le nombre de boules où il y a affleurement.
4. A l'aide de la calculatrice ou bien d'un logiciel de géométrie, conjecturer le nombre de boules.
Evaluer alors graphiquement la(les) valeur(s) de(s) rayon(s).
5. Une propriété mathématique permet d'affirmer qu'il existe 3 réels
a
,
b
et
c
tels que
x
3−150
x +707= ( x −7 )
(
ax
2+
bx + c
)
, pour
x ∈ℝ
.
a) Déterminer une égalité équivalente à celle ci-dessus de la forme
α x
3+β
x
2+λ
x +μ=0
pour
x ∈ℝ
.
b) Une autre propriété mathématique affirme qu'un polynôme s'annule pour tout réel
x
si et seulement si
tous les coefficients des monômes qui le composent sont nuls.
D'après cette propriété en déduire un système de trois équations à trois inconnues en
a
,
b
et
c
.
c) Calculer alors les valeurs de
a
,
b
et
c
.
6. D'après le 5. montrer que la résolution de l'équation du 2. peut se ramener à une équation du second degré.
Résoudre alors l'équation puis conclure.

Correction DM 1 : Problème de la boule
1. Lorsqu'il y a affleurement, la hauteur du volume total est égale au diamètre de la sphère soit 14 cm.
On a
V
Total
=V
eau
+V
sphere
, avec
V
Total
=π×102×14
soit
V
Total
=1400π
et
V
sphere
=4
3π73
soit
V
sphere
=1372
3π
On en déduit
V
eau
=
(
1400−1372
3
)
π
soit
V
eau
=2828
3π
.
2. Si l'on place une autre bille de rayon
r
et qu'il y a à nouveau affleurement, la
hauteur du volume total est
2 r
et le volume d'eau reste inchangé.
On a
V
sphere
=4
3π
r
3
,
V
Total
=200 r π
et
V
eau
=2828
3π
, d'après l'égalité du 1. on
obtient que
r
est solution de l'équation
200 r π= 2828
3π+ 4 3π
r
3
, on multiplie dans
les deux membres par
3
4π
et on obtient l'équation équivalente
150 r =707+ r
3
soit
l'équation équivalente
r
3−150
r +707=0
3. On peut définir ainsi la fonction
f
définie par
f ( x ) = x
3−150
x +707
, les solutions éventuelles de l'équation
f
(
x
)
=0
sont ainsi les valeurs des rayons recherchées, de plus
0⩽ x ⩽10
puisque le rayon de la boule ne peut excéder celui du
cylindre. On recherche alors les abscisses des points
d'intersection de
C
f
avec l'axe des abscisses.
4. Il semble d'après la calculatrice qu'il n'y ait qu'un seul point
qui correspond à
x =7
soit le rayon de la boule de départ !
5. On a l'égalité
x
3−150
x +707= ( x −7 )
(
ax
2+
bx + c
)
, on développe le membre de droite et on obtient l'égalité :
x
3−150
x +707= ax
3+
bx
2+
cx −7 ax
2−7
bx −7 c
, on ramène le membre de gauche à 0.
On factorise ensuite les termes du membre de gauche de sorte à obtenir une somme de monômes.
On obtient l'égalité équivalente suivante
( a −1 ) x
3+
( b −7 a ) x
2+
( c −7 b +150 ) x −7 c −707=0
.
D'après la propriété énoncée, le polynôme est nul si et seulement si
{
a −1=0
b −7 a =0
c −7 b +150=0
−7 c −707=0
on trouve alors
{
a =1
b =7
c =−101
.
On en déduit que
x
3−150
x +707= ( x −7 )
(
x
2+7
x −101
)
.
6. On résout alors l'équation
f ( x ) =0⇔ ( x −7 )
(
x
2+7
x −101
)
=0
, puisque la boule a un diamètre différent de 7, alors
x −7≠0
, ainsi
f ( x ) =0⇔ x
2+7
x −101=0
.
On cherche ainsi les racines du trinôme, on calcule
Δ=453
, alors le trinôme a deux racines
x
1=−7−
√
453
2
et
x
2=−7+
√
453
2
.
Le domaine d'étude de l'équation étant l'intervalle
[
0; 10
]
il n'y a qu'une seule solution distincte de 7 à l'équation
f
(
x
)
=0
, ainsi il existe un autre rayon de sphère de sorte qu'il y ait affleurement
r =−7+
√
453
2
soit
r ≈7,14
cm.
Remarque : En zoomant sur le graphique autour de
x =7
on observe que la courbe coupe l'axe des abscisses en 2 points !