DM n°1 Partie A : phase de recherche Dans un cylindre à base

DM n°1
Partie A : phase de recherche
Dans un cylindre à base circulaire de 10 cm de rayon repose une bille de 7 cm de rayon,
que l'on recouvre d'eau jusqu'à l'effleurement.
On remplace la bille par une autre bille sans modifier la quantité d'eau.
La nouvelle bille est elle sous l'eau ? Sort-elle de l'eau ? Peut il y avoir encore
affleurement ?
Partie B : recherche de la position d'affleurement
1. Calculer le volume d'eau contenu dans le récipient.
2. Montrer que dans le cas où il y a affleurement, r est solution de l'équation r 3 −150 r +707=0 avec r le
rayon de la nouvelle boule.
3. Expliquer pourquoi la représentation graphique de la fonction f : x → x 3 −150 x +707 permet de déterminer
le nombre de boules où il y a affleurement.
4. A l'aide de la calculatrice ou bien d'un logiciel de géométrie, conjecturer le nombre de boules.
Evaluer alors graphiquement la(les) valeur(s) de(s) rayon(s).
5. Une propriété mathématique permet d'affirmer qu'il existe 3 réels a , b et c tels que
x 3 −150 x +707= ( x −7 ) ( ax 2 + bx + c ) , pour x ∈ℝ .
a) Déterminer une égalité équivalente à celle ci-dessus de la forme α x 3+β x 2 +λ x +μ=0 pour x ∈ℝ .
b) Une autre propriété mathématique affirme qu'un polynôme s'annule pour tout réel x si et seulement si
tous les coefficients des monômes qui le composent sont nuls.
D'après cette propriété en déduire un système de trois équations à trois inconnues en a , b et c .
c) Calculer alors les valeurs de a , b et c .
6. D'après le 5. montrer que la résolution de l'équation du 2. peut se ramener à une équation du second degré.
Résoudre alors l'équation puis conclure.