Activité CH 1 : Problèmes numériques et algébriques

Activité. Fonctions polynômes.
L’unité de longueur est le centimètre.
Une boule de rayon 8 est posée au fond d’un récipient cylindrique de diamètre 20 et de hauteur 30.
On verse de l’eau dans ce récipient jusqu'à ce que le niveau de l’eau soit tangent supérieurement à la boule (fig.1).
En gardant la même quantité d’eau dans le récipient, on aimerait remplacer la boule par une autre boule de
rayon r (r  8), possédant la même propriété : lorsqu’elle repose au fond du récipient, le niveau de l’eau est
encore tangent supérieurement à la boule (fig. 2).
fig.1
fig.2
Sans effectuer de calcul, quelle réponse intuitive proposez vous ?
Rappels. Le volume d’une boule de rayon R est Error! R 3 et celui d’un cylindre de rayon R et de hauteur h est
R2h
1° Mise en équation. Soit V le volume en cm3, de l’eau versée.
a) Démontrer que V = Error! 
(Observer la figure 1 et calculer de deux façons le volume total de la boule et de l’eau).
b) Démontrer qu’une boule de rayon r convient si et seulement si :
Error! R 3 + V = 102 ×  × 2r avec 0 < r  10 et r  8.
(on utilise le même procédé qu’a la question précédente en observant cette fois la figure 2).
c) En déduire que r convient si et seulement si r  150r  688  0
3
0  r  10 ; r  8
(1)
2° Résolution dans IR de l’équation r3 – 150r + 688 = 0 (1) :
et nous n’avons pas appris à résoudre une telle
équation ; mais ici nous allons pouvoir exploiter l’analogie des figures 1 et 2.
(1) est une équation du troisième degré
(où l’inconnue est r)
a) Calculer 83 – 150 × 8 + 688 ; en déduire une solution particulière de (1).
b) Démontrer que l’équation (1) est équivalente à l’équation (r3 – 83) – 150(r – 8) = 0 (2).
c) Démontrer que, pour tout nombres réels a, b, c, on a (a3 – b3) = (a – b)(a2 + ab + b2).
En déduire que l’équation (2) est équivalente à : r = 8 ou r2 + 8r – 86 = 0.
Conclusion. La résolution de l’équation (1) r3 – 150r + 688 = 0 dont on connaît une solution r = 8 se ramène à
la résolution du second degré r2 + 8r – 86 = 0, une fois que l’on a mis r – 8 en facteur.