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X Physique 1 PC 2009 — Énoncé 1/6
ÉCOLEPOLYTECHNIQUE
ÉCOLESUPÉRIEUREDEPHYSIQUE ETDECHIMIEINDUSTRIELLES
CONCOURSD’ADMISSION2009 FILIÈREPC
PREMIÈRECOMPOSITIONDEPHYSIQUE
(Durée :4heures)
L’utilisation descalculatricesn’estpasautorisée pourcette épreuve.
⋆ ⋆ ⋆
Stabilitédelamatière,stellaire etinterstellaire
Lesnuagesdegazinterstellairequel’ontrouvedansl’universpeuvents’effondrersousl’effet
deleurpropre champgravitationneletdonnerlieuàdes structuresdenses,dontlastabilité
mêmen’estpasnécessairementassurée.L’objetde ce problème estd’analysercertaines situations
conduisantàce phénomène.
Onadmettraqu’unedistribution demasse caractérisée parunemassevolumiqueρ(~r)donne
lieuàun champgravitationnel~g(~r)dérivantd’un potentielϕ(~r)avec ~g(~r)=−−−→ gradϕet telque
div~g=−4πGρ.
Donnéesnumériques
Constantegravitationnelle:G=6,7×10−11 m3·kg−1·s−2
Nombred’Avogadro:NA=6,02 ×1023 mol−1
Vitessedelalumièredanslevide:c=3,0×108m·s−1
I.Premièreapproche
I.1Si l’onchercheàdéterminerle champgravitationnel~g(~r)résultantd’unedistribution de
massevolumiqueρ(~r),on peuts’appuyersuruneanalogie électrostatique.Préciser,dansle cadre
de cetteanalogie, lesquantitésquijouentlesrôlesde~g(~r),deρ(~r)etdeG.
I.2SoituneboulederayonRcentrée àl’originedescoordonnées,dontladistribution demasse
estàsymétriesphérique.Soientρ(r)lamassevolumique,m(r)lamassedelaboulederayonr
(pourr<R)etMlamassetotale.
I.2.1Déterminer,pourr≥R, le champgravitationnel~g(~r)produitparcetteboulede
matière.
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X Physique 1 PC 2009 — Énoncé 2/6
I.2.2Déterminerdemême,pourr<R, le champgravitationnel~g(~r)àl’aidedem(r).
I.3Soituneboulegazeusedemassevolumiqueρuniforme,demasseMetderayon
R0, initialementaurepos.Elles’effondresousl’effetdeson propre champgravitationnel.
Onsupposeque ce mouvementgardeàtoutmomentlasymétriesphérique;onfaitl’hypo-
thèsequ’un élémentquelconquedu milieugazeux,demasseµ, initialementàladistance r0,a
un mouvementde chutelibre,c’est-à-direqu’il n’estsoumisqu’àlaforce degravitation du gaz
situéinitialementàunedistance du centreinférieureàr0etquise contracte.
I.3.1OnrappellelaloideKepler reliant,dansle casd’unetrajectoire elliptiqued’un corps
attiréparunemasseponctuelleM0, lapériodeau demi-grand axea:
=2π(a3/GM0)1/2.
En déduirel’expression deladurée de chuteτgjusqu’àl’origine enfonction deGetρ.Cette
durée dépend-elleder0?
I.3.2CalculerτgpourM=2,0×1030 kgetR0=7,0×108m(valeurscorrespondantau
Soleil).
Même calculpourun nuageintergalactiquesphérique,derayon108foisceluidu Soleil et
possédantdixatomesd’hydrogèneparcm3.
I.3.3Quelleforce antagoniste,non prise encompte,peutfreinerun teleffondrementet
éventuellementl’arrêter?
I.4OnsupposequelegazdelabouleprécédentepossèdeunetempératuremoyenneTnon nulle.
Cegaz estsupposéparfait,monoatomique etdemassemolaireMA.
I.4.1Donnerl’expression del’énergie cinétiquetotaleUcindu gaz enfonction deT,M,MA
etdelaconstantedesgazparfaitsRGP.
I.4.2L’énergiepotentielledegravitationEgdelaboule estdonnée par:
Eg=−3
5
GM2
R0
.
SiEg+2Ucin<0,onmontrequ’un effondrements’amorce.DéterminerlerayoncritiqueRc
telque,àρfixé etpourR0>Rc,ce phénomèneseproduit.ExprimerRcenfonction deρ, T,et
desconstantesG,MAetRGP.
I.4.3SoitcSlavitessedesondesacoustiquesdanslegaz etτS=R0/cSune estimation du
tempsmisparuneperturbationacoustiquepourallerdelasurface aucentre.ExplicitercSen
fonction deT,MAetRGPetexprimerτS.
MontrerqueτSestsupérieuràτgpourR0>RSoùRSestunedistance quel’onexplicitera
enfonction deρ, T,etdesconstantesG,MAetRGP.Quelleinterprétation dynamiquevous sug-
gèrelacomparaison deRSetRc?
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X Physique 1 PC 2009 — Énoncé 3/6
II.Stabilitéd’une étoile
Ons’intéressedanscettepartieauxpropriétésd’une étoiledense,commeleSoleil, quel’on
décriracommeunebouledegazparfaitàsymétriesphériquedemassetotaleM.Onreprend les
notationsdelapartieI:ρ(r),m(r),~g(~r)etonen utiliseralesrésultats.
II.1Onsupposeladistributionàl’équilibre.
II.1.1Exprimer,àl’aidedem(r)etρ(r), laforce degravitation parunitédevolumeàla
distance rdu centre.
II.1.2DanslefluiderègneunepressionlocaleP(r)avec P(R)=0àlasurface.Exprimerla
condition d’équilibre;en déduiredP
dr.
II.2Ons’intéresseàl’aspecténergétique.SoitEgl’énergiepotentielledegravitation detoute
laboule etdEglacontributionàcette énergiedelacouchesphériquedemassedm(r)située
entreretr+dr.
II.2.1ExprimerdEgàl’aidedem(r)etdedm(r).
II.2.2MontrerquedEgs’écritdEg=dP
dr4πr3dr.
II.2.3MontrerqueEg=−3ZR
0
PdVoùdV=4πr2drestlevolumedelacouchesphérique
comprise entreretr+dr.
II.3Rappelerl’expression del’énergieinternemolaireUmold’un gazparfaitenfonction dela
capacitéthermiquemolaireCVetdelatempératurethermodynamiqueT.Soitγ=CP/CV.
ExprimerUmolenfonction deγ,deTetdelaconstantedesgazparfaitsRGP.
II.4Déduirede cette expressionetdelaprécédenteunerelationentreEgetl’énergieinterne
totaleUdu gaz.Onsupposeraqueγestuniforme.
II.5Exprimerl’énergietotaleEdelaboule enfonction deU.Détermineràquelle condition
portantsurγl’étoile eststable.
II.6QuedevientlarelationentreEgetUobtenue enII.4pourγ=5/3.Àqueltypedegaz
correspond cettevaleur?Àquelleformed’énergie correspond alorsU?
II.7Si latempératureTcroît,écartantun peulesystèmedel’équilibre, lesréactionsnucléaires
s’accroissentetfournissentplusd’énergie.En utilisantII.5,commentinterprétez-vousleretour
àl’équilibre,donclastabilité,du Soleil ?
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X Physique 1 PC 2009 — Énoncé 4/6
III.Évolution d’uneperturbation
Onsupposequel’universestconstituédematièrequel’ontraiteracommeun fluidenon
visqueux,caractériséparun champ demassevolumiqueρ(~r,t),un champ devitesse~v(~r,t)et
un champ depressionP(~r,t).Onappellera~g(~r,t)le champgravitationnel local.
Onsupposequ’en plusdelapressionetdela gravitation, il existeuneautreforce extérieure
dedensitévolumique~ fV(~r,t)=ρ(~r,t)~ Γ(~r,t)caractérisée iciparle champvectoriel~ Γ(~r,t).
III.1Écrirel’équationlocaletraduisantlaconservation delamasse.
III.2Écrirel’équation d’Euler traduisantlocalementleprincipefondamentaldela
dynamique.
III.3Écrirel’équationlocalereliant~getρ.
III.4Onsupposequelemilieuestsuffisammentdiluépournégligerlapression:
P0=P(~r,t)≡0.Onconsidèreàun instantt0unerégion demassevolumiqueuniforme
ρ0etaurepos:~v(~r,t0)=~
0;on note~g0(~r)le champgravitationneldanscetterégion,eton
suppose~ Γ(~r,t)=−~g0.
III.4.1Montrerqueρ=ρ0et~v=~
0estsolution deséquationsprécédentespourt>t0
(solutionstatique).
III.4.2Àun instantdonné,cetterégionestsoumiseàuneperturbation;sonétatestalors
caractériséparle champ devitesse~v1=~v(~r,t), lamassevolumiqueρ=ρ0+ρ1etle champ
~g=~g0+~g1;onsupposetoujoursP=0et~
Γ=−~g0.
Exprimerlestroiséquationsquirelient~v1,ρ1et~g1.Leslinéariserpar rapport àcestrois
variables.En déduirel’équationsatisfaiteparρ1.
Qu’enconcluez-vous surl’évolution delaperturbation?Préciserletempscaractéristique
d’évolution.
III.5Lacroissance d’uneperturbationcrée progressivementunesurpressionP1.
III.5.1Écrirel’équation d’Eulerentenantcomptede cettepressionetlalinéariser.
III.5.2Lapressionetlamassevolumiquedu fluidesontliéesparl’équation d’étatP(ρ).
Montrerqueρ1estsolution del’équation:∂2ρ1
∂t2=c2
S∆ρ1+4πGρ0ρ1oùonexprimeracSen
fonction dedP
dρ.
III.5.3Oncherchealorsdes solutionsdel’équation précédentesouslaforme
P1(~r,t)=Aexpi(~
k·~r−ωt).Exprimerlarelation dedispersionω(k)donnantωenfonction
dek.
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X Physique 1 PC 2009 — Énoncé 5/6
III.5.4Montrerqu’il existeun nombred’onde critiquekJtelque,pourk<kJ, lesper-
turbations sontexponentiellementamplifiées.Exprimerlalongueurcaractéristiqueassociée
λJ=2π/kJenfonction deG,ρ0etcS.
ComparercettelongueurauxrayonsRcetRSdéterminésenI.4.2etI.4.3.
III.5.5On désigneparmassedeJeanseton noteMJlamassedelaboulederayonλJ/2.
En donnerl’expression.Traduirelastabilitédu fluideparune conditionsursamassetotaleM
etsurMJ.
IV.Universenexpansionetstabilité
L’Universestenexpansion uniforme.Uneorigine étantchoisie(arbitraire, l’espace étant
homogène etisotrope)etun repèreRd’observation déterminé,soit~slevecteurposition d’un
pointmatérieldel’espace àl’instantderéférence tR.Àun instantt,ce pointmatérielsetrouve en
~r(t)=a(t)~soùa(t)estun facteurd’échelleuniversel, avec a(tR)=1.Ilestdonc enmouvement
dansRavec lavitesse~v=d~r
dt=˙a~s=˙a a~r.
Danscettepartie,onsuppose~ Γ(~r,t)≡~ 0.
IV.1OnconsidèredeuxpointsmatérielsAetBrepérésrespectivementpar~rAet~rB.Expliciter
leurvitesserelative~vA−~vB.En déduirequetoutpoint,parexempleB,peutêtre choisicomme
«centre» del’expansion.
IV.2Lamatière constituantl’universest,comme enIII.4,considérée commeun fluidenon
visqueuxdemassevolumiqueuniformeρ0(t),depressionP0=0maisanimédansRd’une
vitesselocale~v0(~r,t)=˙a
a~r.
IV.2.1L’équationobtenue enIII.1estsatisfaiteparlasolutionρ0(t)=a−3(t)˜ρ0oùona
posé˜ρ0=ρ0(tR).Montrerquel’intégraledeρ0(t)suruneboulederayonr(t)estune constante
aucoursdu temps.Quellepropriétéphysique ce résultat traduit-il ?
IV.2.2Montrerquel’équationobtenue enIII.2estsatisfaitepar~g0(~r,t)=−4πGρ0(t)
3~rà
conditionque¨aa2soitune constantequel’on précisera.
IV.2.3Unesolutiona(t),correspondantàun modèle cosmologiqueparticulier,est telleque
a(t=0)=0.Déterminercettesolutionencherchantpoura(t)unedépendance temporelledela
formetα.
IV.2.4ExprimerH(t)≡˙a/aenfonction det.
On poseHR=H(tR).ExprimertRenfonction deHR.
Pourquoiappelle-t-ontR«âgedel’univers»?Calculerl’âgequedonne ce modèleavec la
valeurdeHRquepermetd’obtenirl’expérience :HR=71 km·s−1·Mpc−1.Leparsec (symbole
« pc»)estuneunitédelongueurcourammentutilisée enastronomie etadaptée auxgrandes
échellesdedistance :1pc=3,262 année-lumière;sonmultipleMpc estlemégaparsec.
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