CALCUL DE LIMITES Les cas immédiats Règle 1 - Fichier

CALCUL DE LIMITES
Les cas immédiats
Règle 1 : soit f une des fonctions suivantes : polynôme, rationnelle, racine carrée, valeur absolue,
trigonométrique ou encore somme, produit, quotient ou composée des précédentes.
Si f est définie en a, alors : lim f ( x ) = f ( a ) .
x→a
1
= 1 ; lim x + cos x = π – 1 ; lim x − 3 = 0
x →π
x →3
1+ x
Exemples : lim x² + 2x – 1 = 7 ; lim x +
x→ 2
x→0
Les puissances de x
Règle 2 : Soit n appartenant à IN*. On a, pour les puissances de x, les résultats suivants :
• lim xn = + ∞
• lim x = +∞
x → +∞
x → +∞
• si n est pair, lim xn = +∞
x →−∞
• si n est impair, lim xn = – ∞
x →−∞
1
• xlim
= 0+ et
→ +∞ x n
1
=0
xn
lim
x → –∞
1
=+∞
x →0 x n
1
1
• si n est impair : lim+ n = + ∞ et lim− n = – ∞
x →0 x
x →0
x
• si n est pair : lim
Règles opératoires sur les limites.
Règle 3 : avec a réel ou infini, L et L’ réels, on a les règles suivantes. Les tableaux ne sont pas
exhaustifs, et les cas manquants obéissent aux règles de signes habituelles.
Somme
lim f ( x )
L
+∞
+∞
–∞
+∞
x →a
lim g ( x )
L’
L’
+∞
–∞
L + L’
+∞
+∞
–∞
x →a
lim f ( x ) + g ( x )
x→a
–∞
indéterminé
Produit
lim f ( x )
L
+∞
+∞
–∞
+∞
lim g ( x )
L’
L’>0
+∞
–∞
0
L×L’
+∞
+∞
+∞
indéterminé
x→a
x→a
lim f ( x ) g ( x )
x→a
Quotient
lim f ( x )
L
+∞
L
L>0
+∞
0
lim g ( x )
L’≠0
L’≥0
+∞
0+
+∞
0
L
L’
+∞
0
+∞
x→a
x→a
lim
x→a
f ( x)
g ( x)
indéterminé indéterminé
On retiendra, mais on n’écrira pas, quelques schémas mentaux :
∞+L=∞
∞×∞ = ∞
(L non nul)×∞ = ∞
1
=∞
0
1
=0
∞
0
=0
∞
Formes indéterminées.
Les 4 cas d’indétermination sont notés symboliquement par : +∞ − ∞
0×∞
0
0
∞
∞
∞
=∞
0
Polynômes et fonctions rationnelles.
Règle 4 : • en + ∞ (ou – ∞), un polynôme a même limite que son terme de plus haut degré.
• en + ∞ (ou – ∞), une fonction rationnelle a même limite que le rapport de ses termes
de plus haut degré.
Théorèmes de comparaison.
Règle 5 : soient L et L’ des réels, et a un réel ou un infini.
Hypothèse 1 : inégalité(s)
pour x dans un intervalle
contenant a ou borné par a
Hypothèse 2 : limite(s) quand x
tend vers a
Conclusion
u(x) ≤ v(x)
lim u ( x ) = +∞
lim v ( x ) = +∞
u(x) ≤ v(x)
lim v ( x ) = −∞
lim u ( x ) = −∞
| f(x) – L | ≤ u(x)
lim u ( x ) = 0
lim f ( x ) = L
u(x) ≤ f(x) ≤ v(x)
lim u ( x ) = lim v ( x ) = L
lim f ( x ) = L
u(x) ≤ v(x)
lim u ( x ) = L et lim v ( x ) = L'
L ≤ L’
x→a
x →a
x →a
x→a
x →a
x →a
x→a
x→a
Fonction composée.
Règle 6 : si lim f = b
x→a
x→a
x→a
et lim g = c alors lim gof = c (avec a, b, c finis ou infinis)
a
b
Un résultat important : lim
x →0
a
sin x
=1
x
Méthodes à retenir pour lever des indéterminations :
• Factorisation du « terme prépondérant »
Exemple : étude du comportement en + ∞ de f(x) = x – x. (indétermination du type + ∞ – ∞)
lim x = +∞

x →+∞

1 

Pour x > 0, on a : f ( x) = x 1 −
f ( x) = +∞
 . D'où :
1   ⇒ limx →+∞

x
lim  1 −
1
=



x →+∞
x 

• Utilisation de l’expression conjuguée.
Exemple : étude en + ∞ de f(x) = x + 1 − x . (indétermination du type + ∞ – ∞)
Pour x ≥ 0, on a : f ( x) =
(
x +1 − x
)(
x +1 + x
x +1 + x
)=
x +1− x
=
x +1 + x
1
x +1 + x
On a donc : lim f ( x ) = 0
x →+∞
• Factorisation et simplification de fonctions rationnelles dans les cas d’indétermination du
0
type «
». (Cf. exercices)
0
x2 −1
0
Exemple : Avec f ( x ) = 2
. Indétermination de type quand x tend vers 1.
x + 3x − 4
0
x − 1)( x + 1) x + 1
(
2
Factorisons par ( x − 1) et simplifions : f ( x ) =
=
, d’où lim f ( x ) =
x →1
5
( x − 1)( x + 4 ) x + 4
• Utilisation de la définition de la dérivée d’une fonction u comme limite de son taux
u ( x) − u ( x0 )
d'accroissement : u '( x0 ) = lim
x → x0
x − x0
x² + 3 − 2
0
(indétermination du type )
0
x −1
u ( x) - u (1)
En posant u ( x) = x ² + 3, on observe que : f ( x) =
.
x -1
u ( x) - u (1)
x
1
Donc : lim f ( x) = lim
= u '(1). Or u '( x) =
et donc u '(1) =
= lim f ( x)
x →1
x →1
x -1
2 x →1
x² + 3
Exemple : étude du comportement en 1 de f(x) =
ASYMPTOTES
Asymptote « horizontale » d’équation y = L
quand x tend vers + ∞ :
lim f ( x ) = L
x →+∞
Asymptote « verticale » d’équation : x = a
lim f ( x ) = + ∞
x→a
x>a
Asymptote « oblique » d’équation : y = ax + b
quand x tend vers + ∞ :
lim ( f ( x ) − ax − b ) = 0
x →+∞
Rem : si on a la forme : f(x) = ax + b + g(x)
avec lim g ( x ) = 0
x →+∞
alors ∆ : y = ax + b est asymptote à Cf en + ∞.
Remarque : les autres cas sont obtenus en remplaçant + ∞ par – ∞ et/ou x > a par x < a.
Position de la courbe C d’une fonction f par rapport à une droite ∆ y = ax + b : cette
position est donnée par le signe de f(x) – ax – b :
• si f(x) – ax – b > 0 alors C est au-dessus de ∆ • si f(x) – ax – b < 0 alors C est en dessous de ∆.
Courbes asymptotes
Cf et Cg sont dites asymptotes l’une à l’autre en + ∞ lorsque : lim f ( x) − g ( x) = 0 (id en – ∞).
x →+∞