CALCUL DE LIMITES Les cas immédiats Règle 1 - Fichier

CALCUL DE LIMITES
Les cas immédiats
Règle 1 : soit f une des fonctions suivantes : polynôme, rationnelle, racine carrée, valeur absolue,
trigonométrique ou encore somme, produit, quotient ou composée des précédentes.
Si f est définie en a, alors :
(
)
(
)
lim
x a
f x f a
→
=.
Exemples :
2
lim
x
→
x² + 2x – 1 = 7 ;
0
lim
x
→
x +
1
1
x
+
= 1 ;
lim
x
π
→x + cos x =
π – 1 ; 3
lim 3
xx →
−
= 0
Les puissances de x
Règle 2 : Soit n appartenant à IN*. On a, pour les puissances de x, les résultats suivants :
•
x
lim
+∞→ xn = + ∞
• si n est pair,
lim
x
→−∞
xn = +∞
• si n est impair,
lim
x
→−∞
xn = – ∞
• lim
x → +∞
1
n
x
= 0+ et lim
x → –∞
1
n
x
= 0
•
x
lim
+∞→ x = +∞
• si n est pair :
0
lim
x
→
1
n
x
= + ∞
• si n est impair :
0
lim
x
+
→
1
n
x
= + ∞ et
0
lim
x
−
→
1
n
x
= – ∞
Règles opératoires sur les limites.
Règle 3 : avec a réel ou infini, L et L’ réels, on a les règles suivantes. Les tableaux ne sont pas
exhaustifs, et les cas manquants obéissent aux règles de signes habituelles.
Somme
(
)
lim
x a
f x
→ L
+ ∞ + ∞ – ∞ + ∞
(
)
lim
x a
g x
→ L’ L’
+ ∞ – ∞ – ∞
(
)
(
)
lim
x a
f x g x
→
+
L + L’
+ ∞ + ∞ – ∞
indéterminé
Produit
(
)
lim
x a
f x
→ L + ∞
+ ∞ – ∞ + ∞
(
)
lim
x a
g x
→ L’
L’>0 + ∞ – ∞ 0
(
)
(
)
lim
x a
f x g x
→
L×L’ + ∞ + ∞ + ∞
indéterminé
Quotient
(
)
lim
x a
f x
→ L
+ ∞
L L > 0
+ ∞
0
(
)
lim
x a
g x
→
L’≠0 L’≥0 + ∞ 0+ + ∞ 0
(
)
( )
lim
x a
f x
g x
→ L
L’
+ ∞
0 + ∞ indéterminé
indéterminé
On retiendra, mais on n’écrira pas, quelques schémas mentaux :
∞ + L = ∞ ∞×∞ = ∞ (L non nul)×∞ = ∞
1
0 = ∞
1
∞ = 0
0
∞ = 0
∞
0 = ∞
Formes indéterminées.
Les 4 cas d’indétermination sont notés symboliquement par : 0 00
∞
+∞ − ∞ × ∞
∞

Polynômes et fonctions rationnelles.
Règle 4 : • en + ∞ (ou – ∞), un polynôme a même limite que son terme de plus haut degré.
• en + ∞ (ou – ∞), une fonction rationnelle a même limite que le rapport de ses termes
de plus haut degré.
Théorèmes de comparaison.
Règle 5 : soient L et L’ des réels, et a un réel ou un infini.
Hypothèse 1 : inégalité(s)
pour x dans un intervalle
contenant a ou borné par a
Hypothèse 2 : limite(s) quand x
tend vers a Conclusion
u(x) ≤ v(x)
(
)
lim
x a u x →
= +∞
(
)
lim
x a v x →
= +∞
u(x) ≤ v(x)
(
)
lim
x a v x →
= −∞
(
)
lim
x a u x →
= −∞
| f(x) – L | ≤ u(x)
(
)
lim 0
x a u x →
=
(
)
lim L
x a f x →
=
u(x) ≤ f(x) ≤ v(x)
(
)
(
)
lim lim L
x a x a
u x v x
→ →
= =
(
)
lim L
x a f x →
=
u(x) ≤ v(x)
(
)
(
)
lim L et lim L'
x a x a
u x v x
→ →
= =
L ≤ L’
Fonction composée.
Règle 6 : si lim et lim alors lim
(avec , , finis ou infinis)
a b a
f b g c gof c a b c
= = =
Un résultat important : 0
sin
lim 1
x
x
x
→
=
Méthodes à retenir pour lever des indéterminations :
•
••
• Factorisation du « terme prépondérant »
Exemple : étude du comportement en + ∞ de f(x) = x – x. (indétermination du type + ∞ – ∞)
lim
1
Pour 0, on a : ( ) 1 . D'où : lim ( )
1
lim 1 1
x
x
x
x
x f x x f x
x
x
→+∞
→+∞
→+∞
= +∞ 
> = − ⇒= +∞
− =
•
••
• Utilisation de l’expression conjuguée.
Exemple : étude en + ∞ de f(x) = 1
x x
+ − . (indétermination du type + ∞ – ∞)
(
)
(
)
1 1 1 1
Pour 0, on a : ( ) 1 1 1
On a donc : lim ( ) 0
x
x x x x x x
x f x
x x x x x x
f x
→+∞
+ − + + + −
≥ = = =
+ + + + + +
=
•
• •
• Factorisation et simplification de fonctions rationnelles dans les cas d’indétermination du
type «
0
0
». (Cf. exercices)
Exemple : Avec
( )
2
2
1
3 4
x
f x
x x
−
=
+ −
. Indétermination de type
0
0
quand x tend vers 1.
Factorisons par
(
)
1
x
−
et simplifions :
( )
(
)
(
)
( )( )
1 1
1
1 4 4
x x x
f x x x x
− +
+
= =
− + +
, d’où
( )
1
2
lim
5
xf x →
=

• Utilisation de la définition de la dérivée d’une fonction u comme limite de son taux
d'accroissement :
0
0
0
0
( ) ( )
'( ) lim
x x
u x u x
u x x x
→
−
=−
Exemple : étude du comportement en 1 de f(x) =
² 3 2
1
x
x
+ −
− (indétermination du type 0
0 )
1 1 1
( ) - (1)
En posant ( ) ² 3, on observe que : ( ) .
-1
( ) - (1) 1
Donc : lim ( ) lim '(1). Or '( ) et donc '(
1) lim ( )
-1 2
² 3
x x x
u x u
u x x f x x
u x u x
f x u u x u f x
xx
→ → →
= + =
= = = = =
+
ASYMPTOTES
Asymptote « horizontale » d’équation y = L
quand x tend vers + ∞ :
(
)
lim L
xf x →+∞
=
Asymptote « verticale » d’équation : x = a
lim ( )
x a
x a
f x
→
>
= + ∞
Asymptote « oblique » d’équation : y = ax + b
quand x tend vers + ∞ :
(
)
(
)
lim 0
xf x ax b →+∞
− − =
Rem : si on a la forme : f(x) = ax + b + g(x)
avec
(
)
lim 0
xg x →+∞
=
alors ∆ : y = ax + b est asymptote à Cf en + ∞.
Remarque : les autres cas sont obtenus en remplaçant + ∞ par – ∞ et/ou x > a par x < a.
Position de la courbe C d’une fonction f par rapport à une droite ∆
∆∆
∆ y = ax + b : cette
position est donnée par le signe de f(x) – ax – b :
• si f(x) – ax – b > 0 alors C est au-dessus de ∆ • si f(x) – ax – b < 0 alors C est en dessous de ∆.
Courbes asymptotes
Cf et Cg sont dites asymptotes l’une à l’autre en + ∞ lorsque :
lim ( ) ( ) 0
xf x g x →+∞
− =
(id en – ∞).