Dérivation : Exercices

Amerinsa - Ecole d’été Dérivation : Exercices
Exercice 1 : Nombre dérivé de fonctions de base
Soit x0 un réel. Pour chacune des fonctions suivantes, préciser à quel intervalle doit appartenir
x0 pour que la fonction soit dérivable (intervalle de dérivabilité), et quel est alors le nombre
dérivé de la fonction en x0.
1) 1
:fx
x
6 2) :
f
xx6
Exercice 2 : Nombre dérivé de sinus et cosinus
Soient x un réel de l’intervalle 0, 2
π
⎤⎡
⎥⎢
⎦⎣
, et M le point du cercle
trigonométrique
C (ci-contre) tel que l’angle
n
(
)
,OI OM
J
JG JJJJG
ait pour
mesure x.
1) Exprimer en fonction de x les distances OC, OS et IT, et les
aires des triangles OIM et OIT et du secteur angulaire IOM (aire
grisée).
2)En déduire que sin (x) < x < tan (x)
3) Déduire de la relation précédente que : pour 02 x
π
<
<, on a sin
cos 1
x
xx
<
<. En déduire
la limite de sin
x
x
quand x tend vers 0.
4) Vérifier que, pour 02 x
π
<
<, on a :
2
2
1sin 1cos
1cos
x
x
xx x
−
⎛⎞
=
⎜⎟
+⎝⎠ .
En déduire que : 2
0
1cos 1
lim 2
x
x
x
→
−
= et 0
1cos
lim 0
x
x
x
→
−
=
5) En déduire la limite du taux d’accroissement de la fonction sinus entre x0 et x0+h pour x0
réel, quand h tend vers 0. Quel est donc le nombre dérivé de sinus en x0 ?
(on rappelle que : sin (a+b)= sin a cos b – cos a sin b).
Exercice 3 : Dérivation en un point
1) On considère la fonction définie sur \* par
()
1
fx x
x
=
+. Montrer que
()
2
12
1
h
fh h
+=+
+, et en déduire que f est dérivable en 1 et le nombre dérivé de f au point 1.

2) Pour chacune des fonctions suivantes, calculer f(-1+h), dire si f est dérivable en -1, et le cas
échéant donner le nombre dérivé de f en -1 :
i)
()
3
1:1fx x−6 ii)
()
2
2
2:1fx x
−
6 iii)
(
)
(
)
312
f
xxx
+
−6 iv) 3
4:1fx x
+
6
3) Soit g la fonction définie par g(x)=|x|. Calculer le taux d’accroissement de g en 0, en
distinguant les cas h>0 et h<0. Que peut-on en conclure pour g ?
Exercice 4 : Fonctions usuelles
Donner les intervalles sur lesquelles les fonctions suivantes sont dérivables, ainsi que leurs
fonctions dérivées sur ces intervalles :
cos
x
x6 sin
x
x6 tan
x
x6 3
x
x6 2
x
x6
2
1
x
x
6 ln
x
x6 x
x
e6
(
)
exp
x
x6
x
a6, a ∈\
Exercice 5 : Composition
Donner les intervalles sur lesquelles les fonctions suivantes sont dérivables, ainsi que leurs
fonctions dérivées sur ces intervalles :
()
2
cos 2 3xx
+
6 1
sin 1 xx
⎛⎞
⎜⎟
+
⎝⎠
6
()
2
tan
x
x6
()
2
tan
x
x6
(
)
(
)
exp ln
x
x6 5
3x
x
e6
()
ln
x
x6
(
)
ln
x
x6
()
2
1sin
x
x+6
Exercice 6 : Opérations
Donner les intervalles sur lesquelles les fonctions suivantes sont dérivables, ainsi que leurs
fonctions dérivées sur ces intervalles :
()
()
2
cos 2 3 sin 3
x
xx++6
()
1
sin sin
1
x
x
x
⎛⎞
⎜⎟
+
⎝⎠
6 25 1
tan 3xxx
x
⎛⎞
++
⎜⎟
⎝⎠
6
() ()
22
tan cos
x
xx6
(
)
2
exp 3 2
32
xx
xx
+
+
+
6 21
31
x
x
x
+
−
6
1
xx
x
+6
(
)
()
ln
12exp5
x
x
x
+
6 1
21
x
x
+
6
2
2
351
1
yy
yyy
++
++
6
()
1
21zz
z
⎛⎞
+
−
⎜⎟
⎝⎠
6 קּ6( קּ-1)4 (קּ+1)4
21
32
ξξ
ξ
+6
()
2
ln25exp
5
•
⎛⎞
••−•×−
⎜⎟
⎝⎠
63
21
−
+
.
.6
.

Exercice 7 : Interprétation graphique
On considère la fonction définie par
()
21fx x
=
+, et sa représentation graphique Cf.
1) Sur quel intervalle Df est-elle définie ? Sur quel intervalle Df’ est-elle dérivable ? Calculer
sa dérivée, et en déduire les tangente à Cf au point d’abscisse 0 (si 0∈ Df’ bien sûr…) et aux
bornes de Df (si c’est possible).
2) La quantité
()
lim
x
f
xx
→+∞ − existe-t-elle ? Si oui la calculer et en déduire des éléments
caractéristiques de Cf.
Exercice 8 : Interprétation numérique
1) Ecrire le développement limité de 1
x
x
−
6 en 0, et en déduire une valeur approchée des
nombres suivants : 0,999 et 0,998
2) En utilisant la même technique, calculer une valeur approchée des nombres suivants :
i) 1
4,0008
a= ii) 63,9996b= iii)
()
3
4,007c=
iv)
()
2
1
2,0003
d= v)
(
)
ln 3,0005j= vi)
(
)
exp 1,003k=
on donne : ln(3) ≈ 1,0986122886681096913952452369225
e ≈ 2,7182818284590452353602874713527
à vous d’utiliser ces valeurs approchées avec la précision adaptée.
Exercice 9 : Dérivabilité et continuité
Etudier la continuité et la dérivabilité des fonctions suivantes :
1) f définie sur \ par :
(
)
()
ln si -
: si -
ln si
x
xe
x
f
xexe
e
x
xe
−− ≤
⎧
⎪
⎪
<
<
⎨
⎪≥
⎪
⎩
6
2) g définie sur \+ par :
(
)
[
]
2
cos si 0;1
:ln
1 si 1
xxx
gx
xx
x
π
⎧∈
⎪
⎨+>
⎪
⎩
6
6
Exercice 10 : Problème de sommes
Soit n un entier supérieur ou égal à 2. On considère la fonction : 1
:1
n
x
fx
x
−
−
6
1) Déterminer sa dérivée sur ]-∞ ;1[ et ]1 ;+∞[
2) Montrer que pour tout réel x différent de 1,
(
)
21
1 ... n
f
xxx x
−
=+ + + +
3) En déduire une expression de
(
)
22
1 2 3 ... 1 n
x
xnx
−
Σ= + + + + −

Exercice 11 : Résonnons !
Considérons la formule donnant l’impédance d’un circuit RLC : 2
21
U
I
RL
C
ωω
=
⎛⎞
+−
⎜⎟
⎝⎠
.
1) A quoi correspond chacune des lettres de cette formule ? Qu’exprime cette formule ?
2) On considère U, ω , R et C constants. Quelle valeur doit avoir L pour que I soit maximum ?
3) On considère U, ω , R et L constants. Quelle valeur doit avoir C pour que I soit maximum ?
4) On considère U, R, L et C constants. Quelle valeur doit avoir ω pour que I soit maximum ?
(on dit alors que le circuit est en résonance)
Remarque : utiliser la dérivation n’est pas toujours la meilleure méthode.
Exercice 12 : Racines
Soit f la fonction définie sur \ par :
(
)
331
f
xx x
=
−−
1) En étudiant les variations de cette fonction, montrer que l’équation (E) :
()
0fx=admet 3
solutions (Vocabulaire : ces solutions sont appelées racines du polynôme 331XX−−)
2) Calculer cos ( 3α ) en fonction de cos ( α ). Puis, en posant x = cos(α), en déduire les trois
solutions de (E) sous forme trigonométrique.
Exercice 13 : Etude de fonction
On considère la fonction 2
*
:1
2
fx
x
xx
→
−
−
\\
6
1) Déterminer les restrictions de la fonction dérivée f’ aux intervalles ]0 ;1[ et ]1 ;+∞[. f est-
elle dérivable en 1 ? Quel est le signe de f’ (x) ? (on pourra si nécessaire effectuer le
changement de variable : 21ux=−).
2) x étant supérieur à 1, mettre f(x) sous la forme :
() ()
1
2
x
f
xx ε =−+ , avec
()
lim 0
xx
ε
→+∞ =.
En déduire une asymptote à la courbe représentative de f.
3) Construire la courbe représentative de f dans un repère orthogonal.
Exercice 14 : Bijection or not bijection ?
Soit f la fonction définie par
()
(
)
2
ln 1fx x x=++.
1) Quel sont les domaines de définition et de dérivabilité de cette fonction ?
2) Quelle est la dérivée de f ?
3) f est-elle une bijection ?

Exercice 15 : Etude de fonction
On cherche à étudier la fonction f définie sur \+ par :
()
][
()
sin si 0;
0 1
x
fx x
x
f
⎧
=
∈+∞
⎪
⎨
⎪=
⎩
1) Dérivation de f :
Montrer que f est dérivable sur ]0 ;+∞[ et calculer sa dérivée sur cet intervalle.
2) Signe de f :
a) Déterminer les nombres réels x ≥ 0 tels que f(x)=0. On rangera ces nombres en une suite
strictement croissante (a1, a2,…,ak,…).
b) Etudier le signe de f.
3) Encadrement de f :
a) Prouver que pour tout réel x strictement positif,
()
11
fx
x
x
−
≤≤
.
En déduire la limite de f en +∞.
b) Déterminer tous les nombres réels x positifs tels que
()
1
fx
x
=
et ceux tels que
()
1
fx
x
=
−.
On rangera ces nombres dans deux suites strictement croissantes (b1, b2,…,bk,…) et
(c1, c2,…,ck,…).
c) En déduire la position de la courbe Cf représentative de f et des courbes H+ et H-
représentatives respectivement de 1
x
x
6et 1
x
x
−
6. Comparer les tangentes à Cf et H+ au
point d’abscisse bk , ainsi que les tangentes à Cf et H- au point d’abscisse ck.
4) Variations de f :
a) Etudier le signe de
()
tan
x
xx−6sur 0; 2
π
⎤⎡
⎥
⎢
⎦⎣
. En déduire le signe de f’ sur cet intervalle.
b) Prouver que pour tout entier k ≥ 1, il existe un élément xk et un seul de
;
22
kk
ππ
π
π
⎤⎡
−+ +
⎥⎢
⎦⎣
tel
()
tan kk
x
x=. Montrer que xk > k π .
c) En déduire le signe de f’ sur ]0 ; x1[, puis sur chaque intervalle ] xk ; xk+1 [, où k ∈` *.
5) Etude de f en 0 :
a) Prouver que pour tout réel x≥0,
3
0sin
6
x
xx≤− ≤ . Pour cela, introduire la fonction φ
définie sur \+ par
()
3
sin 6
x
xx x φ =− + , calculer ses dérivées premières, deuxième et
troisième, et en déduire le signe de
φ .
b) Prouver que f est dérivable au point 0 et calculer f’(0).
6) Courbe représentative de f
a) Dresser un tableau de variations de f sur
[
]
0;3
π
.
b) Tracer sur une même figure les courbes H+, H- et Cf en se limitant à l’intervalle [0 ; 3π], et
placer les points ak, bk, ck et xk.
(On utilisera les valeurs approchées x1 ≈ 4,49 et x2 ≈ 7,73. Unités graphiques : 1 cm sur l’axe
des abscisses, 3 cm sur l’axe des ordonnées.)