n. Pour tout n 1, an = n2

Correction du dm2
Exercice 1
1. D´eterminer la limite des suites d´efinies par :
(a) an= 2n2−√n. Pour tout n>1,
an=n22−1
n√n
Il est clair que lim n2= +∞.
Comme lim n= +∞, et lim √n= +∞, par produit, il
vient lim n√n= +∞.
On en d´eduit que lim 2 −1
n√n= 2 −0 = 2.
Par produit, lim n22−1
n√n= +∞.
lim an= +∞.
(b) bn=3n+ 1
n+ 2 . Pour tout n>1,
bn=3n+ 1
n+ 2
=
n(3 + 1
n)
n(1 + 2
n)
=
3 + 1
n
1 + 2
n
Comme lim 1
n= 0, on a lim 3 + 1 n= 3, et lim 1 + 2 n= 1.
Par quotient, lim bn= 3.
(c) cn= 5n2−4n+ 3.
Pour tout n>1,
cn= 5n2−4n+ 3
=n25−4
n+3 n2
Comme lim 4
n= 0 et lim 3 n2= 0, lim 5 −4 n+3 n2= 5.
Par ailleurs, lim n2= +∞.
Par produit, lim cn= +∞.
2. (un) est la suite d´efinie sur Npar un=√n+ 1 −√n.
(a) Montrer que pour tout n>1, un=1
√n+ 1 + √n.
L’id´ee est d’utiliser la quantit´e conjugu´ee :
Pour tout n>1,
un=√n+ 1 −√n
=(√n+ 1 −√n)(√n+ 1 + √n)
√n+ 1 + √n
=√n+ 12−√n2
√n+ 1 + √n
=n+ 1 −n
√n+ 1 + √n
=1
√n+ 1 + √n
Donc pour tout n>1, un=1
√n+ 1 + √n.
(b) D´emontrer que pour tout n>1,
061
√n+ 1 + √n61
2√n.
Une racine carr´ee est toujours positive, et pour tout
n>1, √n > 0, donc √n+ 1 + √n > 0.
L’inverse d’un nombre strictement positif est stricte-
ment positif (r`egle des signes).
Donc pour tout n>1, 1
√n+ 1 + √n>0.

La fonction racine carr´ee est croissante sur [0; +∞[, donc
pour tout n>1, √n+ 1 >√n.
Par suite, √n+ 1 + √n>2√n > 0.
En appliquant la fonction inverse qui est d´ecroissante
sur ]0; +∞[, on obtient :
1
√n+ 1 + √n61
2√n.
Donc pour tout n>1, 0 61
√n+ 1 + √n61
2√n.
(c) En d´eduire la limite de la suite (un).
On a montr´e que pour tout n>1, 0 6un61
2√n.
Il est ´evident que lim 0 = 0 (la suite constante ´egale `a 0
converge vers 0).
De plus, lim 2
√n= 0.
Donc d’apr`es le th´eor`eme des gendarmes, lim un= 0.
Exercice 2 (no92 p 27)
On consid`ere la fonction fd´efinie sur ] − ∞; 6[ par f(x) = 9
6−x.
On d´efinit la suite (Un) par U0=−3 et pour tout n∈N,
Un+1 =f(Un).
1. (a) Montrer que si x < 3, alors 9
6−x<3.
x < 3
−x > −3
6−x > 3
1
6−x<1 3la fonction x7→ 1 xest d´ecroissante sur ]3; +∞[
9
6−x<3
Donc si x < 3, alors f(x)<3.
(b) En d´eduire que pour tout n∈N,Un<3.
On raisonne par r´ecurrence sur n.
Initialisation
Pour n= 0, U0=−3. Donc U0<3.
H´er´edit´e.
Soit k>0. Supposons que Uk<3.
d’apr`es la question pr´ec´edente, f(Uk)<3, c’est`a-dire
Uk+1 <3.
La propri´et´e est h´er´editaire. Conclusion :
Pour tout entier n>0, Un<3.
(c) ´ Etudier le sens de variation de la suite (Un).
Pour tout entier n>0,
Un+1 −Un=9
6−Un−Un
=9−Un(6 −Un)
6−Un
=U2
n−6Un+ 9
6−Un
=(Un−3)2
6−Un
>0
En effet, un carr´e est toujours positif, et on a vu que
pour tout n>0, un<3, donc 6 −Un>0.
Donc pour tout n>0, Un+1 >Un.
La suite (Un) est croissante.
(d) Que peut-on en d´eduire ?
Toute suite croissante major´ee converge.
Comme (Un) est croissante et major´ee par 3, elle
converge vers un r´eel ℓ63.
2. On consid`ere la suite (Vn) d´efinie pour tout entier npar
Vn=1
Un−3.

(a) D´emontrer que la suite (Vn) est une suite arithm´etique
de raison −1
3.
Vn+1 =1
Un+1 −3
=1
9
6−Un−3
=1
9−18 + 3Un
6−Un
=6−Un
−9 + 3Un
=6−Un
3(Un−3)
Or,
Vn−1
3=1 Un−3−1 3
=3−(Un−3)
3(Un−3)
=6−Un
3(Un−3)
On a donc bien pour tout n>0, Vn+1 =Vn−1
3.
La suite (Vn) est arithm´etique de raison r=−1
3.
(b) D´eterminer Vnpuis Unen fonction de n.
V0=1
U0−3=−1 6.
Pour tout n>0, Vn=V0+nr =−1
6−n 3=−1−2n 6.
Il est clair que Vn6= 0 pour tout entier n(par d´efinition).
D’apr`es la relation Vn=1
Un−3, on a 1 Vn
=Un−3.
Ainsi, Un=1
Vn
+ 3.
Pour tout n>0, Un=−6
1 + 2n+ 3.
(c) Calculer la limite de la suite (Un).
lim 1 + 2n= +∞, par quotient, lim −6
1 + 2n= 0.
Par somme, lim Un= 3. (Un) converge vers 3.