n. Pour tout n 1, an = n2

Correction du dm2
Exercice 1
1. Déterminer la limite des suites définies par :
√
(a) an = 2n2 − n. Pour tout n > 1,
1
2
an = n 2 − √
n n
2
Il est clair que lim n = +∞.√
Comme lim√n = +∞, et lim n = +∞, par produit, il
vient lim n n = +∞.
1
On en déduit que lim 2 − √ = 2 − 0 = 2.
n n
1
Par produit, lim n2 2 − √
= +∞.
n n
lim an = +∞.
3n + 1
. Pour tout n > 1,
(b) bn =
n+2
3n + 1
bn =
n+2
1
n(3 + )
n
=
2
n(1 + )
n
1
3+
n
=
2
1+
n
1
1
2
Comme lim = 0, on a lim 3 + = 3, et lim 1 + = 1.
n
n
n
Par quotient, lim bn = 3.
(c) cn = 5n2 − 4n + 3.
Pour tout n > 1,
cn = 5n2 − 4n + 3
4
3
2
= n 5− + 2
n n
4
3
4
3
= 0 et lim 2 = 0, lim 5 − + 2 = 5.
n
n
n n
Par ailleurs, lim n2 = +∞.
Par produit, lim cn = +∞.
√
√
2. (un ) est la suite définie sur N par un = n + 1 − n.
Comme lim
(a) Montrer que pour tout n > 1, un = √
1
√ .
n+1+ n
L’idée est d’utiliser la quantité conjuguée :
Pour tout n > 1,
un =
=
=
=
=
√
√
n+1− n
√
√ √
√
( n + 1 − n)( n + 1 + n)
√
√
n+1+ n
√
√ 2
2
n+1 − n
√
√
n+1+ n
n+1−n
√
√
n+1+ n
1
√
√
n+1+ n
Donc pour tout n > 1, un = √
1
√ .
n+1+ n
(b) Démontrer que pour tout n > 1,
06 √
1
1
√ 6 √ .
2 n
n+1+ n
Une racine
√ carrée est√toujours√positive, et pour tout
n > 1, n > 0, donc n + 1 + n > 0.
L’inverse d’un nombre strictement positif est strictement positif (règle des signes).
1
Donc pour tout n > 1, √
√ > 0.
n+1+ n
La fonction racine√carrée est √
croissante sur [0; +∞[, donc
pour tout n
+ 1 > √n.
√> 1, n√
Par suite, n + 1 + n > 2 n > 0.
En appliquant la fonction inverse qui est décroissante
sur ]0; +∞[, on obtient :
1
1
√
√ 6 √ .
2 n
n+1+ n
Donc pour tout n > 1, 0 6 √
1
1
√ 6 √ .
2 n
n+1+ n
(c) En déduire la limite de la suite (un ).
1
On a montré que pour tout n > 1, 0 6 un 6 √ .
2 n
Il est évident que lim 0 = 0 (la suite constante égale à 0
converge vers 0).
2
De plus, lim √ = 0.
n
Donc d’après le théorème des gendarmes, lim un = 0.
Exercice 2 (no 92 p 27)
On considère la fonction f définie sur ] − ∞; 6[ par f (x) =
On définit la suite (Un ) par U0
Un+1 = f (Un ).
9
.
6−x
= −3 et pour tout n ∈ N,
1. (a) Montrer que si x < 3, alors
x
−x
6−x
1
6−x
9
6−x
9
< 3.
6−x
< 3
> −3
> 3
1
1
<
la fonction x 7→ est décroissante sur ]3; +∞[
3
x
< 3
Donc si x < 3, alors f (x) < 3.
(b) En déduire que pour tout n ∈ N, Un < 3.
On raisonne par récurrence sur n.
Initialisation
Pour n = 0, U0 = −3. Donc U0 < 3.
Hérédité.
Soit k > 0. Supposons que Uk < 3.
d’après la question précédente, f (Uk ) < 3, c’està-dire
Uk+1 < 3.
La propriété est héréditaire. Conclusion :
Pour tout entier n > 0, Un < 3.
(c) Étudier le sens de variation de la suite (Un ).
Pour tout entier n > 0,
9
− Un
6 − Un
9 − Un (6 − Un )
=
6 − Un
Un2 − 6Un + 9
=
6 − Un
(Un − 3)2
>0
=
6 − Un
Un+1 − Un =
En effet, un carré est toujours positif, et on a vu que
pour tout n > 0, un < 3, donc 6 − Un > 0.
Donc pour tout n > 0, Un+1 > Un .
La suite (Un ) est croissante.
(d) Que peut-on en déduire ?
Toute suite croissante majorée converge.
Comme (Un ) est croissante et majorée par 3, elle
converge vers un réel ℓ 6 3.
2. On considère la suite (Vn ) définie pour tout entier n par
1
Vn =
.
Un − 3
(a) Démontrer que la suite (Vn ) est une suite arithmétique
1
de raison − .
3
1
Vn+1 =
Un+1 − 3
1
=
9
−3
6 − Un
1
=
9 − 18 + 3Un
6 − Un
6 − Un
=
−9 + 3Un
6 − Un
=
3(Un − 3)
Or,
1
1
1
Vn −
=
−
3
Un − 3 3
3 − (Un − 3)
=
3(Un − 3)
6 − Un
=
3(Un − 3)
1
On a donc bien pour tout n > 0, Vn+1 = Vn − .
3
1
La suite (Vn ) est arithmétique de raison r = − .
3
(b) Déterminer Vn puis Un en fonction de n.
1
1
=− .
V0 =
U0 − 3
6
1 n
−1 − 2n
Pour tout n > 0, Vn = V0 + nr = − − =
.
6 3
6
Il est clair que Vn 6= 0 pour tout entier n (par définition).
1
1
, on a
= Un − 3.
D’après la relation Vn =
Un − 3
Vn
1
+ 3.
Ainsi, Un =
Vn
6
Pour tout n > 0, Un = −
+ 3.
1 + 2n
(c) Calculer la limite de la suite (Un ).
6
= 0.
1 + 2n
Par somme, lim Un = 3. (Un ) converge vers 3.
lim 1 + 2n = +∞, par quotient, lim −