a − b

Hors-Programme : POLYNÔMES - DIVISION EUCLIDIENNE
Soient a et b deux nombres.
D’après la seconde identité remarquable :
Application : factorisation d’un polynôme
f ( x) = x3 + 2x2 + 3x − 22
a2 − b2 = ( a + b)( a − b)
On remarque que f (2) = 0 :
Plus généralement :
f (2) = 8 + 8 + 6 − 22 = 0
a3 − b3 = ( a − b)( a2 + ab + b2 )
f ( x) − f (2) est donc nul lorsque x = 2.
a4 − b4 = ( a − b)( a3 + a2 b + ab2 + b3 )
a5 − b5 = ( a − b)( a4 + a3 b + a2 b2 + ab3 + b4 )
f ( x ) − f ( 2)
= ( x3 + 2x2 + 3x − 22) − (23 + 2.22 + 3.2 − 22)
= ( x3 − 23 ) + 2( x2 − 22 ) + 3( x − 2) − 22 + 22
Propriété
= ( x − 2)( x2 + 2x + 4) + 2( x − 2)( x + 2) + 3( x − 2)
Pour tout n ∈ N tel que n 6= 0 :
a n − b n = ( a − b ) a n − 1 + a n − 2 b + a n − 3 b2 + . . .
· · · + a2 bn−3 + abn−2 + bn−1
= ( x − 2)[ x2 + 2x + 4 + 2( x + 2) + 3]
= ( x − 2)( x2 + 4x + 11)
Finalement :
f ( x) = ( x − 2)( x2 + 4x + 11)
Démonstrations
Nous venons donc de factoriser le polynôme f ( x)
par x − 2. Plus généralement :
1. Développer le membre de droite, et retrouver
l’autre membre (sommation téléscopique).
2. Par récurrence ...
Théorème
3. En utilisant la somme des termes d’une suite
géométrique :
Soient f un polynôme de degré n et α une racine
de f , càd un nombre réel tel que f (α) = 0.
Il existe un polynôme g de degré n − 1 tel que :
1 − qn
= 1 + q + q2 + q3 + · · · + q n − 1
1−q
f ( x ) = ( x − α) × g( x )
Posons q = a/b :
a n −1
a a 2
1 − ( ba )n
+
+
·
·
·
+
=
1
+
1 − ( ba )
b
b
b
Démonstration
f ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + a n − 2 x n − 2 + · · · + a1 x + a0
En multipliant le tout par bn−1 :
– à gauche :
b n −1 ×
1 − ( ba )n
1 − ( ba )
=
bn
b
×
1 − ( ba )n
1 − ( ba )
=
bn
f (α) = 0, et f ( x) − f (α) est nul lorsque x = α.
an
−
b−a
=
– à droite :
a n −1 a a 2
n −1
+
+···+
b
1+
b
b
b
= a n ( x n − α n ) + a n −1 ( x n −1 − α n −1 )
d’où l’égalité :
· · · + a2 bn−3 + abn−2 + bn−1
on obtient l’égalité voulue en remarquant
que a et b jouent un rôle symétrique.
( a n x n + a n − 1 x n − 1 + a n − 2 x n − 2 + · · · + a1 x + a0 )
−( an αn + an−1 αn−1 + an−2 αn−2 + · · · + a1 α + a0 )
= bn−1 + abn−2 + a2 bn−3 + · · · + an−2 b + an−1
b n − a n = ( b − a ) a n − 1 + a n − 2 b + a n − 3 b2 + . . .
f ( x) − f (α)
+ · · · + a p ( x p − α p ) + · · · + a1 ( x 1 − α 1 )
D’après la propriété, quelque soit p ∈ N tel que
p 6= 0, on peut factoriser ( x p − α p ) par ( x − α) donc
il existe un certain polynôme g( x) tel que :
f ( x ) − f ( α) = ( x − α) × g( x )
Exemple
Méthode des coefficients indéterminés
f ( x) = ax3 + bx2 + cx + d
Si pour tout x ∈ R, f ( x) = 0, alors :
Exemple 1
f ( x) = x3 − 2x2 + x + 4
a=b=c=d=0
En effet, pour x = 0, puis x = 1, puis x = −1, puis
x = 2, on obtient le système :

a + b + c + d= 0



 − a + b − c + d= 0
 8a + 4b + 2c + d=0



d= 0
On en déduit : a = b = c = d = 0.
Plus généralement :
On remarque que f (−1) = 0. Par factorisation, il
existe un polynôme g de degré 2 tel que :
f ( x) = ( x − (−1)) × g( x) = ( x + 1) × g( x)
Posons g( x) = ax2 + bx + c et remplaçons :
x3 − 2x2 + x + 4 = ( x + 1) × ( ax2 + bx + c)
= ax3 + bx2 + cx + ax2 + bx + c
= ax3 + (b + a) x2 + (b + c) x + c
Théorème
1. Un polynôme est nul si et seulement si tous
ses coefficients sont nuls.
2. Deux polynômes sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coefficients.
D’après le théorème précédent :
1=a
−2 = b+a 1 = b+c 4 = c
On en déduit que ( a, b, c) = (1, −3, 4) :
g( x) = x2 − 3x + 4
Démonstration
1. Considérons un polynôme :
n
f ( x ) = a n x + a n −1 x
n −1
+ · · · + a1 x + a0
Si f ( x) = 0 pour tout x ∈ R, alors en particulier f (0) = 0 et donc a0 = 0. Mais dire que
f (0) = 0 signifie que 0 est une racine de f ;
on peut donc factoriser f ( x) par x − 0 = x :
f ( x ) = x × a n x n − 1 + a n − 1 x n − 2 + · · · + a1
Mais f ( x) = 0 pour tout x ∈ R, et on en
déduit que pour tout x ∈ R,
a n x n − 1 + a n − 1 x n − 2 + · · · + a1 = 0
On recommence : pour x = 0, a1 = 0, etc.
2. Considérons deux polynômes :
f ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + · · · + a1 x + a0
g( x) = bn xn + bn−1 xn−1 + · · · + b1 x + b0
On peut supposer f et g de même degré n,
quitte à autoriser des coefficients nuls.
f ( x ) − g( x )
= ( a n − bn ) x n + ( a n − 1 − bn − 1 ) x n − 1 + . . .
· · · + ( a1 − b1 ) x + ( a0 − b0 )
Pour tout x ∈ R, f ( x) − g( x) = 0.
Autrement dit, le polynôme f − g est nul.
D’après le point 1, tous ses coefficients sont
nuls : an − bn = 0, an−1 − bn−1 = 0, . . .,
a1 − b1 = 0 et a0 − b0 = 0.
f ( x) = ( x + 1)( x2 − 3x + 4)
Exemple 2
f ( x) = 2x4 − 3x3 + 2x2 − 5x − 6
On remarque que f (2) = 0. Par factorisation, il
existe un polynôme g de degré 3 tel que :
f ( x ) = ( x − 2) × g ( x )
Posons g( x) = ax3 + bx2 + cx + d et remplaçons :
2x4 − 3x3 + 2x2 − 5x − 6
= ( x − 2) × ( ax3 + bx2 + cx + d)
= ax4 + (b − 2a) x3 + (c − 2b) x2 + (d − 2c) x − 2d
D’après le théorème précédent :


a= 2





 b − 2a=−3
⇒ g( x) = 2x3 + x2 + 4x + 3
c − 2b=2



d − 2c=−5



 −2d=−6
f ( x) = ( x − 2)(2x3 + x2 + 4x + 3)
Cette méthode d’identification est efficace, mais il
existe une autre méthode, encore plus rapide.
Division euclidienne de polynômes
Rappel / division euclidienne
x4 +5x3 −18x2
1. Divisons 34 par 5 ; le dividende est a = 34,
et le diviseur est b = 5.
34 5

 a =b×q+r
 34 = 5 × 6 + 4
−30 6
4
Pour déterminer g, il suffit de diviser deux fois :
−( x4 −3x3 )
8x3 −18x2
−(8x3 −24x2 )
6x2
−(6x2
45 9

 a =b×q+r
 45 = 9 × 5 + 0
−45 5
0
Le quotient est q = 5 et il reste r = 0 < 9.
Ici, on peut dire que 9 divise 45 puisque le
reste est nul.
Exemple 1 / avec des polynômes
f ( x) = ( x − (−1)) × g( x) = ( x + 1) × g( x)
x3 + 8x2
+6x − 7
−25x
−18x)
−7x +21
0
f ( x) = ( x − 3) × ( x3 + 8x2 + 6x − 7)
On sait que −7 est aussi racine de f , or ce n’est
pas une racine de ( x − 3), donc −7 est racine
de ( x3 + 8x2 + 6x − 7) ; il nous faut donc diviser
( x3 + 8x2 + 6x − 7) par ( x + 7) pour trouver g( x) :
x3 +8x2 +6x −7
−( x3 +7x2 )
x2 +6x
x+7
x2 + x − 1
−( x2 +7x)
− x −7
f ( x ) = x3 + x2 + x + 1
On vérifie facilement que f (−1) = 0.
Il existe donc un polynôme g tel que :
x−3
−(−7x +21)
Le quotient est q = 6 et il reste r = 4 < 5.
Ici, on peut dire que 5 ne divise par 34
puisque le reste n’est pas nul.
2. Divisons 45 par 9 ; le dividende est a = 45,
et le diviseur est b = 9.
−25x +21
−( x +7)
0
Ce qui donne la factorisation souhaitée :
f ( x ) = ( x − 3) × ( x + 7) × ( x 2 + x − 1)
Pour trouver g( x), il suffit de poser la division
euclidienne de f ( x) par ( x + 1) :
x3
+ x2
+ x +1 x +1
−( x3 + x2 )
x2 +1
0 + x +1
−( x +1)
0
Comme le reste est nul, x + 1 divise bien f ( x) et :
2
f ( x) = ( x + 1)( x + 1)
Théorème factorisations succesives
Soit f un polynôme :
f ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + · · · + a1 x + a0
Si α1 , . . . , α p sont p racines distinctes de f , alors
on peut factoriser f sous la forme :
f ( x ) = ( x − α1 ) × · · · × ( x − α p ) × g ( x )
où g est un polynôme de degré n − p.
Exemple 2
f ( x) = x4 + 5x3 − 18x2 − 25x + 21
On vérifie que f (3) = 0 et que f (−7) = 0. Il existe
un polynôme g de degré 4 − 1 − 1 = 2 tel que :
f ( x) = ( x − 3) × ( x − (−7)) × g( x)
Conséquences
– Un polynôme non-nul de degré n admet au
maximum n racines.
– Si un polynôme de degré n admet n + 1 racines,
alors ce polynôme est le polynôme nul.
Pour résoudre cette inéquation, il suffit de factoriser f ; d’après ce qui précède, il faut donc résoudre :
Inéquations polynômiales
Exemple
( x − 3) × ( x + 7) × ( x 2 + x − 1) ≥ 0
x4 + 5x3 − 18x2 − 25x + 21 ≥ 0
Le trinôme x2 + x − 1 a pour discriminant ∆ =
1 + 4 = 5 > 0 donc deux racines distinctes :
√
√
−1 − 5
−1 + 5
x1 =
x2 =
2
2
Son membre de gauche est le polynôme :
f ( x) = x4 + 5x3 − 18x2 − 25x + 21
−∞
x
x−3
x+7
2
x +x+1
f ( x)
−
−
+
+
−7
0
0
x1
−
+
+
−
0
0
x2
0
−
+
−
+
0
−
+
−
+
0
0
3
0
−
+
+
−
0
+∞
+
+
+
+
f ( x) ≥ 0 ssi x ∈] − ∞; −7] ∪ [ x1 ; x2 ] ∪ [3; +∞[
Fractions rationnelles
Exemple
Définition
f ( x) =
Une fraction rationnelle est :
P( x)
f : x 7→
Q( x)
avec P et Q deux polynômes.
Remarque f est définie sur R privé de
l’ensemble des racines de Q.
Exemple
3x + 2
f ( x) =
x−8
Le domaine de définition de f est l’ensemble des x
qui n’annullent pas x − 8.
x − 8 = 0 ssi x = 8
On en déduit que :
D f = R − {8}
Théorème
Soit f une fraction rationnelle :
P( x)
f ( x) =
Q( x)
deg P = m
deg Q = n
Si m ≥ n, il existe deux polynômes R et S :
S( x)
f ( x) = R( x) +
Q( x)
avec :
deg R = m − n
x3 + x2
x+2
On peut bricoler le numérateur :
x3 + 2x2 − x2 − 2x + 2x + 4 − 4
x+2
x 2 ( x + 2) − x ( x + 2) + 2( x + 2) − 4
=
x+2
4
= x2 − x + 2 −
x+2
f ( x) =
On obtient la forme voulue avec :
R ( x ) = x2 − x + 2
S ( x ) = −4
deg R = 3 − 1 = 2
deg S = 0 < 1
On peut retrouver R( x) et S( x) plus efficacement :
par division euclidienne !
x3
+ x2
−( x3
+2x2 )
x+2
x2
− x2
−x+2
−(− x2 −2x)
2x
−(2x +4)
−4
x3 + x2 = ( x + 2) × ( x2 − x + 2) + (−4)
Puis on divise tout par x + 2 :
deg S < n
f ( x ) = x2 − x + 2 −
4
x+2