Année scolaire 2014/2015 Polynômes PCSI Polynômes Fiche de

Année scolaire 2014/2015
Polynômes
PCSI
Polynômes
Fiche de cours
K = R ou C.
I) Ensemble K[X]
1. Définition
Définition 1 On appelle polynôme à une indéterminée X à coefficients dans K toute expression de la
forme P = a0 + aA X + . . . + an X n où a0 , a1 , . . . , an sont n + 1 éléments de K
Les termes a0 , a1 , . . . , an sont les coefficients du polynôme.
Les termes ai X i sont les monômes de P
• an X n est le monôme de plus haut degré de P
• an est le coefficient dominant de P
• Si an = 1, on dit que P est unitaire.
L’ensemble des polynômes à coefficients dans K est noté K[X].
L’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n est noté Kn [X].
Le polynôme dont tous les coefficients sont nuls est appelé polynôme nul noté 0K[X]
Par convention Si P = 0, deg(P ) = −∞
Notation: On écrit P = a0 + a1 X + . . . + an X n ou P (X) = a0 + a1 X + . . . + an X n
Théorème 1 P et Q étant deux fonctions polynômes.
P = Q si et seulement si P et Q ont les mêmes coefficients.
2. Fonction polynômiale associée à un polynôme
(
K →K
Si P = a0 + a1 X + . . . + an X n la fontion P̃ :
est la fonction polynômiale
x 7→a0 + a1 x + . . . + an xn
associée au polynôme P .
On confond parfois P et ˜(P )
Les calculs et les opérations que l’on fait sur P̃ se transmettent à P .
II) Opérations sur les polynômes
1. Somme
max(n,m)
m
n
X
X
X
bi X i , alors P + Q =
(ai + bi )X i
ai X i et Q =
Si P =
i=0
i=0
i=0
• deg(P + Q) ≤ max{deg(P ), deg(Q)}
• si deg(P ) 6= deg(Q) alors deg(P + Q) = max{deg(P ), deg(Q)}
2. Multiplication par un scalaire
n
n
X
X
Si P =
ai X i et si λ ∈ K alors λP =
λai X i
i=0
i=0
• Si λ 6= 0, deg(λP ) = deg(P )
3. Produit
n
m
m+n
k
X
X
X
X
Si P =
ai X i et Q =
bi X i , alors P ∗ Q =
ck X k où ck =
aj bk−j
i=0
i=0
i=0
• deg(P ∗ Q) = deg(P ) + deg(Q)
• Théorème 2 Si P et Q sont deux polynômes,
P ∗ Q = 0K[X] ⇐⇒ P = 0K[X] ou Q = 0K[X]
1
j=0
Année scolaire 2014/2015
Polynômes
PCSI
• On définit les puissances entières d’un polynôme par récurrence:
P 0 = 1, P 1 = P, P 2 = P ∗ P, et ∀k ≥ 2 P k = P ∗ P k−1
• La formule du binôme s’applique pour calculer (P + Q)n
4. Dérivation
Définition 2 Si P ∈ K[X], on appelle polynôme dérivé de P , noté P 0 le polynôme défini par

Si P = 0alors P 0 = 0




 Si deg(P ) = 0alors P 0 = 0
n
n
X
X


i
0

si
deg(P
)
≥
1P
=
a
X
avec
a
=
6
0
alors
P
=
iai X i−1

i
n

i=0
i=1
• Si deg(P ) = 0 alors P 0 = 0
• Si degP = n, n ≥ 1 alors deg(P 0 ) = n − 1
• (P + Q)0 = P 0 + Q0
• Si λ ∈ K, (λP )0 = λP 0
• (P ∗ Q)0 = P 0 Q + Q0 P
5. Dérivées successives
Si P ∈ K[X], on définit les dérivées successives de P par P (0) = P, P (1) = P 0
et ∀k ≥ 2, P (k) = (P (k−1) )0
On a

n!

X n−k si k ∈ [[0, n]]
n (k)
• (X ) = (n − k)!

= 0 si k > n
 n
X i!

n

X
X i−k si k ≤ n
i − k)!
• Si P est de degré n et P =
ai X i alors P k (X) =
i=k


k=0
0 si k > n
• La formule de Leibnitz s’applique à tous polynômes P et Q:
n X
n
(n)
(P ∗ Q) =
P (k) Qn−k)
k
k=0
• Formule de Taylor:
Théorème 3 Si P ∈ Kn [X] alors pour tout a ∈ K, on a: P (X) =
Et P (X) =
n
X
P (k) (0)
k=0
k!
n
X
P (k) (a)
k=0
Xk
2
k!
(X − a)k
Année scolaire 2014/2015
Polynômes
PCSI
III) Divisibilité dans K[X]
1. Division euclidienne
Définition 3
B
On dit que
A
On note alors
A et B étant deux polynômes
de K[X],
)
divise A
si et seulement si il existe Q ∈ K[X] tel que A = BQ.
est un multiple de B
B|A
Théorème 4 A et B étant deux polynômes de K[X], B 6= 0
Il existe un unique couple (Q, R) de polynômes de K[X] tel que A = BQ + R avec deg(R) < deg(B)
Q est le quotient de la division euclidienne de A par B et R est le reste de cette division.
Théorème 5 A et B étant deux polynômes de K[X], B 6= 0 B|A si et seulement si le reste de la division
euclidienne de A par B est nul.
2. Racines d’un polynômes
Définition 4 Soit P ∈ K[X] et α ∈ K, On dit que α est racine de P si P (α) = 0
Théorème 6 Soit P ∈ K[X] et α ∈ K, α est racine de P si et seulement si (X − α) divise P .
Théorème 7 Soit P ∈ K[X], α1 , α2 , . . . , αp p éléments de K distincts,
p
Y
α1 , α2 , . . . , αp sont racines de P si et seulement si
(X − αi ) divise P .
i=1
Conséquences
(a) Un polynôme non nul de degré n a au plus n racines distinctes
(b) Si P , de degré n, a n racines distinctes α1 , α2 , . . . , αn , il existe λ ∈ K∗ tel que P = λ
n
Y
(X − αi ).
i=1
(c) Si P = a0 + a1 X + . . . + an X n a n + 1 racines distinctes, alors P = 0.
(d) Si P a une infinité de racines distinctes alors P = 0.
Définition 5 P appartenant à K[X] est dit scindé s’il existe λ ∈ K∗ et des nombres α1 , α2 , . . . , αn pas
n
Y
forcément distints tels que tel que P = λ (X − αi ).
i=1
3. Racines multiples
Définition 6 Soit P ∈ K[X], P 6= 0, p ∈ N∗ et α ∈ K
• Soit p ∈ N∗ , α est racine d’ordre p de P si et seulement si il existe Q ∈ K[X] tel que
P = (X − α)p Q(X) où Q(α) 6= 0. p est l’ordre de multiplicité de la racine α de P
• α est racine multiple de P si et seulement si α est racine d’ordre p de P avec p ≥ 2.
• α est racine simple de P si et seulement si α est racine d’ordre 1 de P .
Théorème 8 Soit P ∈ K[X], r ∈ N∗ et α ∈ K
α est racine d’ordre r de P si P (α) = P (α) = P 0 (α) = . . . = P r−1 (α) = 0 et P (r) (α) 6= 0.
Remarque:
• α ∈ K est racine multiple de P si et seulement si P (α) = P 0 (α) = 0.
• α ∈ K est racine d’ordre k de P , alors α est racine d’ordre k − 1 de P .
3
Année scolaire 2014/2015
Polynômes
PCSI
IV) Factorisation
1. Polynômes irréductibles
Définition 7 Soit P ∈ K[X], P est irréductible dans K[X] si deg(P ) ≥ 1 et les seuls diviseurs de P dans
K[X] sont les éléments de K∗ et les polynômes λP où λ ∈ K∗ .
Factoriser un polynôme de K[X] consiste en l’écrire sous forme d’un produit de polynômes irréductibles
dans K[X].
2. Factorisation dans C[X]
Théorème 9 (Théorème de d’Alembert) Dans C[X] tout polynôme non constant a au moins une
racine.
Les polynômes irréductibles de C[X] sont donc les polynômes de degré 1

∗

λ ∈ K
Théorème 10 Soit P ∈ C[X] non nul, il existe α1 , α2 . . . αn complexes distincts


r1 , r2 , . . . , rn , entiers non nuls
n
Y
tels que P = λ (X − αi )ri
i=1
3. Factorisation dans R[X]
Remarque importante Si P ∈ R[X], alors P ∈ C[X], Si α ∈ C est racine de P alors α est racine de P et
P est divisible par Q = (X − α)(X − α) où Q ∈ R[X] et on montre que le quotient de la division de P
par Q est un polynôme de R[X].
Théorème
11 Soit P ∈ R[X] non nul, il existe

∗
λ
∈
K






 α1 , α2 . . . αn réels distincts
r1 , r2 , . . . , rn entiers non nuls
tels


 Q1 , Q2 , . . . , Qp polynômes du second degré distincts de discriminant strictement négatif normalisés




s1 , s2 , . . . , sp entiers non nuls
que
p
n
Y
Y
s
P = λ (X − αi )ri
(Qi (X)) i
i=1
i=1
Les polynômes irréductibles de R[X] sont les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré 2 de
discriminant strictement négatif.
Annexe:Somme et produit des racines
Soit P ∈ K[X] un polynôme scindé de degré n défini par P =
n
X
k=0
alors
an−1
an
a0
• P = x1 ∗ x2 ∗ . . . ∗ xn = (−1)n
an
• S = x1 + x2 + . . . + xn = −
4
ai X i = α(X − x1 )(X − x2 ) . . . (X − xn )