Année scolaire 2014/2015 Polynômes PCSI Polynômes Fiche de

Ann´ee scolaire 2014/2015 Polynˆomes PCSI
Polynˆomes
Fiche de cours
K=Rou C.
I) Ensemble K[X]
1. D´efinition
D´efinition 1 On appelle polynˆome `a une ind´etermin´ee X`a coefficients dans Ktoute expression de la
forme P=a0+aAX+. . . +anXno`u a0, a1, . . . , ansont n+ 1 ´el´ements de K
Les termes a0, a1, . . . , ansont les coefficients du polynˆome.
Les termes aiXisont les monˆomes de P
•anXnest le monˆome de plus haut degr´e de P
•anest le coefficient dominant de P
•Si an= 1, on dit que Pest unitaire.
L’ensemble des polynˆomes `a coefficients dans Kest not´e K[X].
L’ensemble des polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal `a nest not´e Kn[X].
Le polynˆome dont tous les coefficients sont nuls est appel´e polynˆome nul not´e 0K[X]
Par convention Si P= 0,deg(P) = −∞
Notation: On ´ecrit P=a0+a1X+. . . +anXnou P(X) = a0+a1X+. . . +anXn
Th´eor`eme 1 Pet Q´etant deux fonctions polynˆomes.
P=Qsi et seulement si Pet Qont les mˆemes coefficients.
2. Fonction polynˆomiale associ´ee `a un polynˆome
Si P=a0+a1X+. . . +anXnla fontion ˜ P:(K→K
x7→a0+a1x+. . . +anxnest la fonction polynˆomiale
associ´ee au polynˆome P.
On confond parfois Pet ˜ (P)
Les calculs et les op´erations que l’on fait sur ˜ Pse transmettent `a P.
II) Op´erations sur les polynˆomes
1. Somme
Si P=
n
X
i=0
aiXiet Q=
m
X
i=0
biXi, alors P+Q=
max(n,m)
X
i=0
(ai+bi)Xi
•deg(P+Q)≤max{deg(P),deg(Q)}
•si deg(P)6= deg(Q) alors deg(P+Q) = max{deg(P),deg(Q)}
2. Multiplication par un scalaire
Si P=
n
X
i=0
aiXiet si λ∈Kalors λP =
n
X
i=0
λaiXi
•Si λ6= 0, deg(λP ) = deg(P)
3. Produit
Si P=
n
X
i=0
aiXiet Q=
m
X
i=0
biXi, alors P∗Q=
m+n
X
i=0
ckXko`u ck=
k
X
j=0
ajbk−j
•deg(P∗Q) = deg(P) + deg(Q)
•Th´eor`eme 2 Si Pet Qsont deux polynˆomes,
P∗Q= 0K[X]⇐⇒ P= 0K[X]ou Q= 0K[X]
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•On d´efinit les puissances enti`eres d’un polynˆome par r´ecurrence:
P0= 1, P 1=P, P 2=P∗P, et ∀k≥2Pk=P∗Pk−1
•La formule du binˆome s’applique pour calculer (P+Q)n
4. D´erivation
D´efinition 2 Si P∈K[X], on appelle polynˆome d´eriv´e de P, not´e P0le polynˆome d´efini par
Si P= 0alors P0= 0
Si deg(P)=0alors P0= 0
si deg(P)≥1P=
n
X
i=0
aiXiavec an6= 0 alors P0=
n
X
i=1
iaiXi−1
•Si deg(P) = 0 alors P0= 0
•Si degP=n, n ≥1 alors deg(P0) = n−1
•(P+Q)0=P0+Q0
•Si λ∈K, (λP )0=λP 0
•(P∗Q)0=P0Q+Q0P
5. D´eriv´ees successives
Si P∈K[X], on d´efinit les d´eriv´ees successives de Ppar P(0) =P, P (1) =P0
et ∀k≥2, P (k)= (P(k−1))0
On a
•(Xn)(k)=
n!
(n−k)!Xn−ksi k∈[[0, n]]
= 0 si k > n
•Si Pest de degr´e net P=
n
X
k=0
aiXialors Pk(X) = 
n
X
i=k
i!
i−k)!Xi−ksi k≤n
0 si k > n
•La formule de Leibnitz s’applique `a tous polynˆomes Pet Q:
(P∗Q)(n)=
n
X
k=0 n
kP(k)Qn−k)
•Formule de Taylor:
Th´eor`eme 3 Si P∈Kn[X]alors pour tout a∈K, on a: P(X) =
n
X
k=0
P(k)(a)
k!(X−a)k
Et P(X) =
n
X
k=0
P(k)(0)
k!Xk
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III) Divisibilit´e dans K[X]
1. Division euclidienne
D´efinition 3 Aet B´etant deux polynˆomes de K[X],
On dit que Bdivise A
Aest un multiple de B)si et seulement si il existe Q∈K[X]tel que A=BQ.
On note alors B|A
Th´eor`eme 4 Aet B´etant deux polynˆomes de K[X],B6= 0
Il existe un unique couple (Q, R)de polynˆomes de K[X]tel que A=BQ +Ravec deg(R)<deg(B)
Qest le quotient de la division euclidienne de Apar Bet Rest le reste de cette division.
Th´eor`eme 5 Aet B´etant deux polynˆomes de K[X],B6= 0 B|Asi et seulement si le reste de la division
euclidienne de Apar Best nul.
2. Racines d’un polynˆomes
D´efinition 4 Soit P∈K[X]et α∈K, On dit que αest racine de Psi P(α)=0
Th´eor`eme 6 Soit P∈K[X]et α∈K,αest racine de Psi et seulement si (X−α)divise P.
Th´eor`eme 7 Soit P∈K[X],α1, α2, . . . , αpp´el´ements de Kdistincts,
α1, α2, . . . , αpsont racines de Psi et seulement si
p
Y
i=1
(X−αi)divise P.
Cons´equences
(a) Un polynˆome non nul de degr´e na au plus nracines distinctes
(b) Si P, de degr´e n, a nracines distinctes α1, α2, . . . , αn, il existe λ∈K∗tel que P=λ
n
Y
i=1
(X−αi).
(c) Si P=a0+a1X+. . . +anXnan+ 1 racines distinctes, alors P= 0.
(d) Si Pa une infinit´e de racines distinctes alors P= 0.
D´efinition 5 Pappartenant `a K[X]est dit scind´e s’il existe λ∈K∗et des nombres α1, α2, . . . , αnpas
forc´ement distints tels que tel que P=λ
n
Y
i=1
(X−αi).
3. Racines multiples
D´efinition 6 Soit P∈K[X],P6= 0,p∈N∗et α∈K
•Soit p∈N∗,αest racine d’ordre pde Psi et seulement si il existe Q∈K[X]tel que
P= (X−α)pQ(X)o`u Q(α)6= 0.pest l’ordre de multiplicit´e de la racine αde P
•αest racine multiple de Psi et seulement si αest racine d’ordre pde Pavec p≥2.
•αest racine simple de Psi et seulement si αest racine d’ordre 1de P.
Th´eor`eme 8 Soit P∈K[X],r∈N∗et α∈K
αest racine d’ordre rde Psi P(α) = P(α) = P0(α) = . . . =Pr−1(α)=0et P(r)(α)6= 0.
Remarque:
•α∈Kest racine multiple de Psi et seulement si P(α) = P0(α) = 0.
•α∈Kest racine d’ordre kde P, alors αest racine d’ordre k−1 de P.
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IV) Factorisation
1. Polynˆomes irr´eductibles
D´efinition 7 Soit P∈K[X],Pest irr´eductible dans K[X]si deg(P)≥1et les seuls diviseurs de Pdans
K[X]sont les ´el´ements de K∗et les polynˆomes λP o`u λ∈K∗.
Factoriser un polynˆome de K[X] consiste en l’´ecrire sous forme d’un produit de polynˆomes irr´eductibles
dans K[X].
2. Factorisation dans C[X]
Th´eor`eme 9 (Th´eor`eme de d’Alembert) Dans C[X]tout polynˆome non constant a au moins une
racine.
Les polynˆomes irr´eductibles de C[X] sont donc les polynˆomes de degr´e 1
Th´eor`eme 10 Soit P∈C[X]non nul, il existe 
λ∈K∗
α1, α2. . . αncomplexes distincts
r1, r2, . . . , rn,entiers non nuls
tels que P=λ
n
Y
i=1
(X−αi)ri
3. Factorisation dans R[X]
Remarque importante Si P∈R[X], alors P∈C[X], Si α∈Cest racine de Palors αest racine de Pet
Pest divisible par Q= (X−α)(X−α) o`u Q∈R[X] et on montre que le quotient de la division de P
par Qest un polynˆome de R[X].
Th´eor`eme 11 Soit P∈R[X]non nul, il existe
λ∈K∗
α1, α2. . . αnr´eels distincts
r1, r2, . . . , rnentiers non nuls
Q1, Q2, . . . , Qppolynˆomes du second degr´e distincts de discriminant strictement n´egatif normalis´es
s1, s2, . . . , spentiers non nuls
tels
que
P=λ
n
Y
i=1
(X−αi)ri
p
Y
i=1
(Qi(X))si
Les polynˆomes irr´eductibles de R[X] sont les polynˆomes de degr´e 1 et les polynˆomes de degr´e 2 de
discriminant strictement n´egatif.
Annexe:Somme et produit des racines
Soit P∈K[X] un polynˆome scind´e de degr´e nd´efini par P=
n
X
k=0
aiXi=α(X−x1)(X−x2). . . (X−xn)
alors
•S=x1+x2+. . . +xn=−an−1
an
•P=x1∗x2∗. . . ∗xn= (−1)na0
an
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