chap 17 : Polynômes Polynômes - Classe Preparatoire B/L Henri IV

Lyc´ee Henri IV chap 17 : Polynˆomes HKBL
Polynˆomes
Dans toute la le¸con K=Rou C.
I L’ensemble K[X]
1.1 d´efinition
d´efinition 1.1 :
On dit que Pest un polynˆome de degr´e n`a une ind´etermin´ee Xet `a coefficients dans Ksi et seulement si il
existe (a0, ..., an)∈Kn+1 tels que :
P(X) = anXn+an−1Xn−1+... +a1X+a0
Le coefficient aks’appelle coefficient de degr´e k.
exemples : en cours
cas particuliers 1.2 : Un polynˆome qui n’a qu’un coefficient non nul est appel´e monˆome
1.2 degr´e d’un polynˆome
d´efinitions 1.3 :
Soit un polynˆome P(X) = anXn+an−1Xn−1+... +a1X+a0tel que an6= 0.
– On appelle degr´e de Pet on note deg(P) l’entier n.
– par convention le degr´e du polynˆome nul est −∞
– on appelle coefficient dominant de Ple coefficient anet terme dominant le monˆome anXn.
– Un polynˆome dont le coefficient dominant est 1 est dit normalis´e
notations 1.4 :
On note :
–K[X] l’ensemble des polynˆomes `a coefficients dans Ket d’inconnue X.
–Kn[X] l’ensemble des polynˆomes `a coefficients dans K, d’inconnue Xet de degr´e inf`erieur ou ´egal `a n:
Kn[X] = {P∈K[X] : degP≤n}
exemples : en cours
1.3 fonction polynˆomiale
d´efinition 1.5 :
Soit P(X) = anXn+an−1Xn−1+... +a1X+a0un polynˆome de degr´e n.
alors la fonction qui , `a tout r´eel xassocie le r´eel P(x) = anxn+an−1xn−1+... +a1x+a0est appel´ee fonction
polynˆomiale associ´ee au polynˆome P.
1.3 Egalit´e de polynˆomes
propri´et´e 1.6 :
Soient P(X) = anXn+an−1Xn−1+... +a1X+a0et Q(X) = bpXp+bp−1Xp−1+... +b1X+b0deux polynˆomes.
Alors :
P=Q⇔degP= degQet ∀k∈ {0, ..., n}, ak=bk
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1.4 Op´erations dans K[X]
Combinaisons lin´eaires 1.7 :
– la somme de deux polynˆomes est encore un polynˆome, que l’on obtient en additionant les coefficients des
monˆomes de mˆeme degr´e. De plus :
deg(P+Q)≤max(degP, degQ)
avec ´egalit´e si deg(P)6= deg(Q).
– pour tout scalaire λ∈K, si Pest un polynˆome alors λP est un polynˆome, que l’on obtient en multipliant
tous les coefficients de Ppar λ. De plus :
si λ6= 0,deg(λP ) = degP
exemples : en cours
Il r´esulte de la propri´et´e pr´ec´edente que les ensembles de polynˆomes K[X] et, ∀n∈N,Kn[X], sont stables par
combinaisons lin´eaires.
Ces ensembles sont des parties non vides du K-ev F(K,K), l’ensemble des fonctions de Kdans K, d’o`u :
corollaire 1.8 :
– (K[X],+, .) est un K-espace vectoriel de diemnsion infinie.
–∀n∈N,(Kn[X],+, .) est un K-espace vectoriel de dimension n+ 1 et de base canonique la famille
(Xk)0≤k≤n= (1, X, X2, ..., Xn)
produit de polynˆomes 1.9 :
le produit de deux polynˆomes est encore un polynˆome . De plus :
deg(P.Q) = degP+ degQ
Remarques :
1. Si P(X) =
n
P
k=0
akXket Q(X) =
p
P
k=0
bkXkalors :
P.Q(X) =
n+p
P
k=0
ckXkavec, ∀k∈ {0; ...;n+p}, ck=
k
P
i=0
aibk−i
2. le coefficient dominant du produit est ´egal au produit des coeffcients dominants de chaque polynˆome.
1.5 Int´egrit´e
propri´et´e 1.10 :
L’ensemble des polynˆomes est int`egre , il v´erifie :
–P(X).Q(X)=0 ⇔P= 0 ou Q= 0
–A(X).P (X) = A(X).Q(X) et A(X)6= 0 ⇒P=Q
1.6 Composition
propri´et´e 1.11 :
L’ensemble des polynˆomes est stable par composition :
Si P(X) =
n
P
k=0
akXkalors P◦Qest un polynˆome et P◦Q=
n
P
k=0
akQk.
De plus,
deg(P◦Q) = degP.degQ
exemples : en cours
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1.7 Polynˆome d´eriv´e
D´efinition 1.12 :
Soit
P(X) =
n
X
k=0
akXk=anXn+an−1Xn−1+... +a1X+a0
un polynˆome.
On d´efinit le polynˆome d´eriv´e de Ppar :
P0(X) =
n
P
k=1
kakXk−1=n.anXn−1+ (n−1).an−1Xn−2+... +a1
exemples : en cours
Propri´et´e 1.13 :
Soit P∈K[X] un polynˆome.
1. si deg(P)6= 0 alors deg(P0)= deg(P)−1
2. Pest constant si et seulement si P0= 0.
preuve : en cours
1.8 D´eriv´ees successives
D´efinition 1.14 :
Soit P∈K[X] un polynˆome.
On d´efinit la d´eriv´ee n-ieme ( ou d’ordre n) du polynˆome Ppar r´ecurrence :
–P(0) =P
–∀n∈N, P (n)= (P(n−1))0
exemples : en cours
Cas particulier 1.15 :
La d´eriv´ee k-i`eme du polynˆome Xnest :
(Xn)(k)=n(n−1)...(n−k+ 1)Xn−ksi k≤n
0 si k > n
propri´et´e 1.16 :
Si Pest de degr´e nalors :
– deg(P(k)) = n−ksi k≤n.
–P(k)= 0 si k > n.
preuve : en cours
II Division euclidienne
2.1 Divisibilit´e
d´efinition 2.1 :
Soient deux polynˆomes A, B ∈K[X].
On dit que A divise B, ou que B est un multiple de A, ou encore que Best factorisable par A, si et
seulement si il existe un polynˆome Q∈K[X] tel que
B=Q.A
Exemple : en cours
cas particuliers 2.2 :
1. Si B=λA, avec λ∈K, on dit que Aet Bsont proportionnels.
2. Tout polynˆome est divisible par les polynˆomes constants non nuls et par les polynˆomes non nuls qui lui
sont proportionnels.
3. Un polynˆome dont les seuls diviseurs sont les polynˆomes constants ou proportionnels est dit irr´eductible.
4. Les polynˆomes de degr´e 0 et 1 sont toujours irr´eductibles
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Preuve : en cours
exemples : en cours
2.2 Division euclidienne
Th´eor`eme 2.3 :
Soient A, B ∈K[X] deux polynˆomes. On suppose que B6= 0.
Alors il existe un unique couple de polynˆomes (Q, R) de K[X] tel que :
1. A =BQ +R
2.degR < degB
Le polynˆome Qest appel´e quotient, et Rle reste, de la division euclidienne de Apar B.
Exemple : en cours
En pratique on d´etermine le quotient et le reste `a l’aide de l’algorithme de division euclidienne ( en cours)
corollaire 2.4 :
Le polynˆome Bdivise le polynˆome Asi et seulement si le reste de la division euclidienne de Apar Best le
polynˆome nul.
Preuve : en cours
III Racines d’un polynˆome
3.1 Racine simple
d´efinition 3.1 :
Soient P∈K[X] un polynˆome et α∈K.
On dit que αest une racine du polynˆome Psi et seulement si :
P(α)=0
exemples : en cours
Th´eor`eme 3.2 :
Soient P∈K[X] un polynˆome et α∈K.
On a ´equivalence entre :
1. αest une racine de P
2. On peut factoriser Ppar (X−α) :
il existe un polynˆome Qtel que P(X)=(X−α)Q(X)
Preuve : en cours
Exemple : en cours
corollaire 3.3 :
Soit P∈K[X] un polynˆome.
Si Pposs`ede nracines distinctes, α1, α2, ..., αp, alors le polynˆome :
p
Q
k=1
(X−αk)=(X−α1)(X−α2)...(X−αp)
divise P.
exemples : en cours
corollaire 3.4 :
Un polynˆome P∈K[X]non nul de degr´e nposs`ede au plus nracines dans K.
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preuve : en cours
corollaire 3.5 :
Un polynˆome qui admet une infinit´e de racines est le polynˆome nul.
preuve : en cours
3.2 racines multiples
D´efinition 3.6 :
Soient P∈K[X] un polynˆome, α∈Ket p∈N.
– On dit que αest une racine d’ordre p( ou de multiplicit´e p) de Psi et seulement si (X−α)pdivise P
et (X−α)p+1 ne divise pas P.
– Si αest racine d’ordre 1 de P, on dit que αest racine simple de P.
– Si αest racine d’ordre p≥2 de P, on dit que αest racine multiple de P.
exemples : en cours
Th´eor`eme 3.7 :
Soient P∈K[X] un polynˆome, α∈Ket p∈K
On a ´equivalence entre :
1. αest une racine multiple d’ordre pde P
2. On peut factoriser Ppar (X−α)p:
il existe un polynˆome Qtel que P(X)=(X−α)pQ(X) et Q(α)6= 0.
Preuve : en cours
Exemple : en cours
th´eor`eme 3.8 :
Soient un polynˆome P∈K[X], α∈Ket r∈N. Alors :
αest une racine d’ordre rde Psi et seulement si :
P(α) = P0(α) = ... =P(r−1)(α) = 0 et P(r)(α)6= 0
preuve : en cours
exemples : en cours
3.3 Le th´eor`eme d’Alembert-Gauss
th´eor`eme 3.9 : le th´eor`eme fondamental de l’alg´ebre
Soit un polynˆome P∈C[X] de degr´e ≥1, alors Pposs`ede au moins une racine dans C.
Preuve : ADMIS
On en d´eduit le th´eor`eme suivant dans C:
th´eor`eme 3.10 :
Factorisation dans C[X]:
Soit P∈C[X] un polynˆome non nul. Alors il existe α1, ..., αm∈Cnon n´ecessairement deux `a deux distincts, et
a∈C∗tels que :
P(x) = a
m
Q
k=1
(X−αk)
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