chap 17 : Polynômes Polynômes - Classe Preparatoire B/L Henri IV

chap 17 : Polynômes
Lycée Henri IV
HKBL
Polynômes
Dans toute la leçon K = R ou C.
I L’ensemble K[X]
1.1 définition
définition 1.1 :
On dit que P est un polynôme de degré n à une indéterminée X et à coefficients dans K si et seulement si il
existe (a0 , ..., an ) ∈ Kn+1 tels que :
P (X) = an X n + an−1 X n−1 + ... + a1 X + a0
Le coefficient ak s’appelle coefficient de degré k .
exemples : en cours
cas particuliers 1.2 : Un polynôme qui n’a qu’un coefficient non nul est appelé monôme
1.2 degré d’un polynôme
définitions 1.3 :
Soit un polynôme P (X) = an X n + an−1 X n−1 + ... + a1 X + a0 tel que an 6= 0.
– On appelle degré de P et on note deg(P ) l’entier n.
– par convention le degré du polynôme nul est −∞
– on appelle coefficient dominant de P le coefficient an et terme dominant le monôme an X n .
– Un polynôme dont le coefficient dominant est 1 est dit normalisé
notations 1.4 :
On note :
– K[X] l’ensemble des polynômes à coefficients dans K et d’inconnue X.
– Kn [X] l’ensemble des polynômes à coefficients dans K, d’inconnue X et de degré infèrieur ou égal à n :
Kn [X] = {P ∈ K[X] : degP ≤ n}
exemples : en cours
1.3 fonction polynômiale
définition 1.5 :
Soit P (X) = an X n + an−1 X n−1 + ... + a1 X + a0 un polynôme de degré n.
alors la fonction qui , à tout réel x associe le réel P (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 est appelée fonction
polynômiale associée au polynôme P .
1.3 Egalité de polynômes
propriété 1.6 :
Soient P (X) = an X n + an−1 X n−1 + ... + a1 X + a0 et Q(X) = bp X p + bp−1 X p−1 + ... + b1 X + b0 deux polynômes.
Alors :
P =Q
2013/2014
⇔
degP = degQ et ∀k ∈ {0, ..., n},
1
ak = bk
l. garcia
chap 17 : Polynômes
Lycée Henri IV
HKBL
1.4 Opérations dans K[X]
Combinaisons linéaires 1.7 :
– la somme de deux polynômes est encore un polynôme, que l’on obtient en additionant les coefficients des
monômes de même degré. De plus :
deg(P + Q) ≤ max(degP, degQ)
avec égalité si deg(P ) 6= deg(Q).
– pour tout scalaire λ ∈ K, si P est un polynôme alors λP est un polynôme, que l’on obtient en multipliant
tous les coefficients de P par λ. De plus :
si λ 6= 0,
deg(λP ) = degP
exemples : en cours
Il résulte de la propriété précédente que les ensembles de polynômes K[X] et, ∀n ∈ N, Kn [X], sont stables par
combinaisons linéaires.
Ces ensembles sont des parties non vides du K-ev F(K, K), l’ensemble des fonctions de K dans K, d’où :
corollaire 1.8 :
– (K[X], +, .) est un K-espace vectoriel de diemnsion infinie.
– ∀n ∈ N, (Kn [X], +, .) est un K-espace vectoriel de dimension n + 1 et de base canonique la famille
(X k )0≤k≤n
(1, X, X 2 , ..., X n )
=
produit de polynômes 1.9 :
le produit de deux polynômes est encore un polynôme . De plus :
deg(P.Q) = degP + degQ
Remarques :
1. Si P (X) =
n
P
P.Q(X) =
k=0
n+p
P
ak X k et Q(X) =
p
P
bk X k alors :
k=0
ck X k avec, ∀k ∈ {0; ...; n + p},
ck =
k
P
ai bk−i
i=0
k=0
2. le coefficient dominant du produit est égal au produit des coeffcients dominants de chaque polynôme.
1.5 Intégrité
propriété 1.10 :
L’ensemble des polynômes est intègre , il vérifie :
– P (X).Q(X) = 0 ⇔ P = 0 ou Q = 0
– A(X).P (X) = A(X).Q(X) et A(X) 6= 0 ⇒
P =Q
1.6 Composition
propriété 1.11 :
L’ensemble des polynômes est stable par composition :
n
n
P
P
Si P (X) =
ak X k alors P ◦ Q est un polynôme et P ◦ Q =
ak Qk .
k=0
k=0
De plus,
deg(P ◦ Q) = degP.degQ
exemples : en cours
2013/2014
2
l. garcia
chap 17 : Polynômes
Lycée Henri IV
HKBL
1.7 Polynôme dérivé
Définition 1.12 :
Soit
P (X) =
n
X
ak X k
=
an X n + an−1 X n−1 + ... + a1 X + a0
k=0
un polynôme.
On définit le polynôme dérivé de P par :
P 0 (X) =
n
P
kak X k−1
=
n.an X n−1 + (n − 1).an−1 X n−2 + ... + a1
k=1
exemples : en cours
Propriété 1.13 :
Soit P ∈ K[X] un polynôme.
1. si deg(P ) 6= 0 alors deg(P 0 )= deg(P ) − 1
2. P est constant si et seulement si P 0 = 0.
preuve : en cours
1.8 Dérivées successives
Définition 1.14 :
Soit P ∈ K[X] un polynôme.
On définit la dérivée n-ieme ( ou d’ordre n) du polynôme P par récurrence :
– P (0) = P
– ∀n ∈ N, P (n) = (P (n−1) )0
exemples : en cours
Cas particulier 1.15 :
La dérivée k-ième du polynôme X n est :
n(n − 1)...(n − k + 1)X n−k
(X n )(k) =
0
si k ≤ n
si k > n
propriété 1.16 :
Si P est de degré n alors :
– deg(P (k) ) = n − k si k ≤ n.
– P (k) = 0 si k > n.
preuve : en cours
II Division euclidienne
2.1 Divisibilité
définition 2.1 :
Soient deux polynômes A, B ∈ K[X].
On dit que A divise B, ou que B est un multiple de A, ou encore que B est factorisable par A, si et
seulement si il existe un polynôme Q ∈ K[X] tel que
B = Q.A
Exemple : en cours
cas particuliers 2.2 :
1. Si B = λA, avec λ ∈ K, on dit que A et B sont proportionnels.
2. Tout polynôme est divisible par les polynômes constants non nuls et par les polynômes non nuls qui lui
sont proportionnels.
3. Un polynôme dont les seuls diviseurs sont les polynômes constants ou proportionnels est dit irréductible.
4. Les polynômes de degré 0 et 1 sont toujours irréductibles
2013/2014
3
l. garcia
chap 17 : Polynômes
Lycée Henri IV
HKBL
Preuve : en cours
exemples : en cours
2.2 Division euclidienne
Théorème 2.3 :
Soient A, B ∈ K[X] deux polynômes. On suppose que B 6= 0.
Alors il existe un unique couple de polynômes (Q, R) de K[X] tel que :
1. A = BQ + R
2. degR < degB
Le polynôme Q est appelé quotient, et R le reste, de la division euclidienne de A par B.
Exemple : en cours
En pratique on détermine le quotient et le reste à l’aide de l’algorithme de division euclidienne ( en cours)
corollaire 2.4 :
Le polynôme B divise le polynôme A si et seulement si le reste de la division euclidienne de A par B est le
polynôme nul.
Preuve : en cours
III Racines d’un polynôme
3.1 Racine simple
définition 3.1 :
Soient P ∈ K[X] un polynôme et α ∈ K.
On dit que α est une racine du polynôme P si et seulement si :
P (α) = 0
exemples : en cours
Théorème 3.2 :
Soient P ∈ K[X] un polynôme et α ∈ K.
On a équivalence entre :
1. α est une racine de P
2. On peut factoriser P par (X − α) :
il existe un polynôme Q tel que P (X) = (X − α)Q(X)
Preuve : en cours
Exemple : en cours
corollaire 3.3 :
Soit P ∈ K[X] un polynôme.
Si P possède n racines distinctes, α1 , α2 , ..., αp , alors le polynôme :
p
Q
(X − αk )
=
(X − α1 )(X − α2 )...(X − αp )
k=1
divise P .
exemples : en cours
corollaire 3.4 :
Un polynôme P ∈ K[X] non nul de degré n possède au plus n racines dans K.
2013/2014
4
l. garcia
Lycée Henri IV
chap 17 : Polynômes
HKBL
preuve : en cours
corollaire 3.5 :
Un polynôme qui admet une infinité de racines est le polynôme nul.
preuve : en cours
3.2 racines multiples
Définition 3.6 :
Soient P ∈ K[X] un polynôme, α ∈ K et p ∈ N.
– On dit que α est une racine d’ordre p ( ou de multiplicité p ) de P si et seulement si (X − α)p divise P
et (X − α)p+1 ne divise pas P .
– Si α est racine d’ordre 1 de P , on dit que α est racine simple de P .
– Si α est racine d’ordre p ≥ 2 de P , on dit que α est racine multiple de P .
exemples : en cours
Théorème 3.7 :
Soient P ∈ K[X] un polynôme, α ∈ K et p ∈ K
On a équivalence entre :
1. α est une racine multiple d’ordre p de P
2. On peut factoriser P par (X − α)p :
il existe un polynôme Q tel que P (X) = (X − α)p Q(X) et Q(α) 6= 0.
Preuve : en cours
Exemple : en cours
théorème 3.8 :
Soient un polynôme P ∈ K[X], α ∈ K et r ∈ N. Alors :
α est une racine d’ordre r de P si et seulement si :
P (α) = P 0 (α) = ... = P (r−1) (α) = 0
et P (r) (α) 6= 0
preuve : en cours
exemples : en cours
3.3 Le théorème d’Alembert-Gauss
théorème 3.9 : le théorème fondamental de l’algébre
Soit un polynôme P ∈ C[X] de degré ≥ 1, alors P possède au moins une racine dans C.
Preuve : ADMIS
On en déduit le théorème suivant dans C :
théorème 3.10 :
Factorisation dans C[X] :
Soit P ∈ C[X] un polynôme non nul. Alors il existe α1 , ..., αm ∈ C non nécessairement deux à deux distincts, et
a ∈ C∗ tels que :
m
Q
P (x) = a
(X − αk )
k=1
2013/2014
5
l. garcia
Lycée Henri IV
chap 17 : Polynômes
HKBL
et celui-ci dans R :
théorème 3.11 :
Factorisation dans R[X] :
Soit P ∈ R[X] un polynôme non nul. Alors il existe α1 , ..., αr ∈ R non nécessairement deux à deux distincts,
(b1 , c1 ), ..., (bp , cp ) ∈ R2 non nécessairement deux à deux distincts tels que ∆i = b2i − 4ci < 0 pour tout i ∈
{1, ..., p} et a ∈ R∗ tels que :
p
r
Q
Q
P (x) = a
(X − αk )
(X 2 + bj K + cj )
k=1
j=1
exemples : en cours
Corollaire 3.12 :
1. Dans C[X] les seuls polynômes irréductibles sont les polynômes de degré 0 et de degré 1.
2. Dans R[X] les seuls polynômes irréductibles sont les polynômes de degré 0, de degré 1 et ceux de degré 2
dont le discriminant est strictement négatif.
preuve : en cours
2013/2014
6
l. garcia
chap 17 : Polynômes
Lycée Henri IV
HKBL
IV Fractions rationnelles
4.1 Définition
définition 4.1 :
On appelle fraction rationnelle le quotient de deux polynômes :
F fraction rationelle à coefficients dans K
∃A ∈ K[X] et B ∈ K[X]∗ :
⇔
F =
A
B
exemples : en cours
4.2 Décomposition en éléments simples
La méthode exposée ci-dessous permet d’intégrer n’importe quelle fraction rationnelle à coefficients réels.
Le cas général n’est pas à connaı̂tre par cœur, mais il faut savoir l’appliquer sur des exemples
décomposition en éléments simples 4.2 :
A
Soit F =
une fraction rationnelle.
B
1. Étape 1 :
Si deg A < deg B on passe à l’étape 3, sinon on effectue la division euclidienne de A par B :
A = BQ + R
avec deg R < deg B .
2. Étape 2 : On déduit de l’étape 1 la décomposition de la fraction rationnelle F :
F =Q+
R
B
3. Étape 3 : On va maintenant décomposer la fraction rationnelle
l’étape 1) en éléments simples.
R
A
( ou
si on avait deg A < deg B à
B
B
R
avec deg R < deg B . Alors :
B
(a) On factorise le polynôme B dans R[X] en produit de polynômes irréductibles dans R[X] :
Supposons donc que l’on ait une fraction
B(x) = a
q
Y
(X − αk )rk
p
Y
(X 2 + bj K + cj )sj
j=1
k=1
Avec :
– a ∈ R∗ .
– α1 , ..., αq qui sont les racines distinctes de B, de multiplicités respectives r1 , r2 , ..., rq .
– (b1 , c1 ), ..., (bp , cp ) ∈ R2 , tous deux à deux distincts et tels que ∆j = b2j − 4cj < 0 pour tout
j ∈ {1, ..., p}.
– Pour tout j ∈ [[1; p]], sj est un entier naturel égal au nombre de fois où le trinôme (X 2 + bj X + cj )
apparait dans la décomposition d’Alembert Gauss.
R
(b) On a alors la décomposition de
suivante, dite en éléments simples :
B


q
p
X
R
1 X
=
fk +
Fk 
B
a
j=1
k=1
avec
∀k ∈ [[1; q]],
fk =
rk
X
i=1
et
∀j ∈ [[1; p]],
Fj =
sj
X
i=1
2013/2014
λi
(X − αk )i
βi X + γ i
(X 2 + bj X + cj )i
7
où λi ∈ R, ∀i ∈ [[1; rk ]]
où (βi , γi ) ∈ R2 , ∀i ∈ [[1; sj ]]
l. garcia
chap 17 : Polynômes
Lycée Henri IV
HKBL
Exemples : en cours
Remarques : cette méthode permet d’intégrer toutes les fractions rationnelles car les ”éléments simples” sont tous
intégrables par des formules directes qui utilisent :
– un logarithme
– une puissance négative
– la fonction Arctangente ( Chap 18).
intégration des éléments simples 4.3 :
Z
1
1. pour
dx on a :
(x − a)n
Z
Z
1
dx
(x − a)n
=


ln |x − a|
(x − a)−n+1

−n + 1
si
sinon
ax + b
dx, avec ∆ = p2 − 4q < 0, on a :
(x2 + px + q)n
Z
Z
ax + b
a
2x + p
dx =
dx
(x2 + px + q)n
2 (x2 + px + q)n
2. pour
n=1
Z
+
b − ap
2
dx
(x2 + px + q)n
puis
a
(a)
2
Z
(b)
Z
2x + p
dx
(x2 + px + q)n
b − ap
2
dx
(x2 + px + q)n
a
ln |x2 + px + q|
2 2
a (x + px + q)−n+1


2
−n + 1



=
n=1
sinon
Z
1
dx
(x2 + px + q)n
Z
p
4
1
On pose alors la changement de variable t = x +
,
et
le
calcul
de
dx se
2
2
2 4q − p
(x + px + q)n
ramène au calcul de
Z
1
dt
2
(t + 1)n
Z
1
Enfin on calcule Jn =
dt par récurrence sur l’indice n en faisant une IPP ( on prend pour
(t2 + 1)n
fonction ”u” la fonction u = 1 dans Jn ) . On trouve alors :
=
b−
ap 2
si
Jn =
(x2
x
+ 2n(Jn+1 − Jn )
+ 1)n
Et comme J1 (x) = arctan(x), on en déduit J2 , puis J3 à partir de J2 ...
Exercice 17.14
décomposer les fractions rationnelles suivantes puis en donner une primitive :
X3 + X2 − X + 2
1. f (X) =
X −3
X3 + X2 − X + 2
2. f (X) =
(X − 3)2
X3 + X2 − X + 2
X2 − 9
3
X + X2 − X + 2
4. f (X) =
X2 + 3
3. f (X) =
2013/2014
8
l. garcia