3 Polynômes - IMJ-PRG

J´erˆome Dubois “Alg`ebre et Analyse ´el´ementaires”
3Polynˆomes
Dans ce chap. Kd´esigne l’un des corps suivants : Q,R,C.
3.1 D´efinition de K[X]
1. D´efinition : Un polynˆome `a une ind´etermin´ee `a coefficients dans Kest une suite
infinie (ai)i∈N∈KNpresque nulle,c’est-`a-direpourlaquelleilexisten∈Ntel
que ai=0sii>n.
On note K[X]l’ensembledetouslespolynˆomes.
2. Notations : Au lieu d’´ecrire (ai)i∈N∈KNpour un ´el´ement de K[X], on ´ecrit
!i∈NaiXi,ouencorea0+a1X+...+anXnsi ai=0pouri>n.
Observons que deux polynˆomes sont ´egaux si, et seulement si, leurs coefficients
sont ´egaux.
3. D´efinitions : Soit P(X)=a0+a1X+...+anXnun polynˆome non nul.Le
degr´e de P(X)estnsi an"=0.OnnotecetentierdegP(X). Par convention, le
polynˆome nul a pour degr´e −∞.
Soit P(X)=a0+a1X+...+anXnun polynˆome non nul de degr´e n.Leco-
efficient dominant de P(X)estan,soncoefficient constant est a0.Onditque
P(X)estunitaire si an=1.
4. Op´erations.
(a) D´efinitions : Soient P(X)=!i∈NaiXiet Q(X)=!i∈NbiXideux po-
lynˆomes de K[X]. On d´efinit leur somme et leur produit par :
(P+Q)(X)="
i∈N
ciXiavec ci=ai+bi;
(PQ)(X)="
i∈N
diXiavec di=
i
"
j=0
ajbi−j=a0bj+a1bi−1+...+aib0.
(b) Proposition : Pour P(X),Q(X)∈K[X],ona:
deg(P+Q)(X)!max(deg P(X),deg Q(X))
deg(P·Q)(X)=degP(X)+degQ(X).
(c) Proposition : K[X]est un anneau commutatif pour les op´erations d´efinies
ci-dessus. L’unit´e est le polynˆome unit´e 1.Pr´ecis´ementnousavons:
i. l’op´eration +est associative, commutative, admet le polynˆome nul
pour ´el´ement neutre et tout polynˆome Padmet un inverse le polynˆome
−P,
ii. l’op´eration ·est associative, commutative et admet le polynˆome constant
´e g a l `a 1pour ´el´ement neutre,
iii. la loi ·est distributive par rapport `a la loi +:
P·(Q1+Q2)=P·Q1+P·Q2.
5. D´erivation :
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(a) D´efinition : soit P(X)=anXn+an−1Xn−1+...a
1X+a0un polynˆome
de degr´e n(i.e. an"=0),onappellepolynˆomed´eriv´edupolynˆomeP,le
polynˆome de degr´e n−1not´eP#(X)telque:
P#(X)=nanXn−1+(n−1)an−1Xn−2+...+2a2X+a1.
On d´efinit ensuite les polynˆomes d´eriv´es successifs.
Observons que si P(X)estdedegr´en,alorsP(n+1)(X)estlepolynˆome
nul.
(b) Propri´et´es : Soient P, Q deux polynˆomes, on a
i. (P+Q)#=P#+Q#.
ii. (P·Q)#=P#·Q+P·Q#.
iii. si deg P"1, alors deg P#=degP−1.
3.2 Polynˆomes vs. applications polynomiales
1. Applications polynomiales.
(a) Soit F(K)l’ensembledesapplicationsdeKdans lui mˆeme. Muni de la
somme et de la multiplication des applications, F(K)estunanneau.
Consid´erons l’application naturelle
Π:K[X]→F(K),P(X)="
i∈N
aiXi&→ #fP:x&→ "
i∈N
aixi$
Πestuneapplicationtelleque:
Π(P+Q)=Π(P)+Π(Q),
Π(P·Q)=Π(P)·Π(Q).
(b) D´efinition : une application polynomiale est une application dans
l’image de Π.
2. Remarques et observations :
(a) Observation : Lorsque K=R,uneapplicationpolynomialef=Π(P)est
application r´eelle d’une variable r´eelle d´erivable au sens usuel o`u :
∀x∈R,lim
t→x
f(x)−f(t)
x−texiste et vaut f#(x)=Π(P#)(x).
Autrement dit, on a
Π(P)#=Π(P#).
Il en r´esulte qu’une application polynomiale est une fonction continue.
(b) Une fonction non nulle en exactement un point telle que la fonction de
Dirac
δ1:x&→ %1six=1
0sinon.
ne peut pas ˆetre l’image d’un polynˆome par Π.
(c) Si P(X)=!i∈NaiXi,alorsonnoterad´esormaisabusivement,pourtout
s∈K,P(s)l’´evaluationensde la fonction polynomiale associ´ee `a P(X):
P(s)=Π(P)(s)=fP(s)="
i∈N
aisi=a0+a1·s+...+an·sn.
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3. Propri´et´es de Π.
–Si K=Q,Rou C,alorsΠestinjective.
–Si K=Q,Rou C,alorsΠn’est pas surjec tive.
4. Formule de Taylor polynomiale.
(a) Observation : soit P(X)=anXn+an−1Xn−1+...a
1X+a0un polynˆome
de degr´e n,quelquesoitk,ona
ak=1
k!·P(k)(0) pour 0 !k!n,
ainsi
P(X)=P(0) + X
1! P#(0) + ...+Xn n!P(n)(0).
Cette formule se g´en´eralise en la Formule de Taylor polynomiale.
(b) Th´eor`eme (Formule de Taylor polynomiale) : Tout polynˆome P(X)de
degr´e inf´erieur ou ´egal `a nv´erifie :
P(X)=P(a)+ (X−a)
1! P#(a)+...+(X−a)n n!P(n)(a),quel que soit a∈K.
3.3 Division des polynˆomes
1. Division euclidienne
(a) Th´eor`eme : Soient P(X),D(X)∈K[X]tels que D(X)"=0.Ilexistealors
deux polynˆomes Q(X),R(X)∈K[X]tels que
P(X)=Q(X)D(X)+R(X)et deg R(X)<deg D(X).
De plus Q(X),R(X)sont uniquement d´etermin´es par ces conditions.
D´emonstration : Posons n=degPet m=degD.
i. Existence. Si Pest le polynˆome nul, alors on pose Q=R=0.SiPest
une constante non nulle de K,alorsonposeQ=0etR=Psi m>0,
et Q=D−1Pet R=0sim=0.Apr`escetteremarqueliminaire
on proc`ede par r´ecurrence sur le degr´e n"1dePet on suppose
l’existence d´emontr´ee pour tout couple ( & P, & Q)telsquedeg& P<n.
Posons
P(X)=anXn+...+a1X+a0avec an"=0
D(X)=bmXm+...+b1X+b0avec bm"=0
On distingue alors `a nouveau deux cas :
–sin<m,alorsonposeQ=0etR(X)=P(X).
–sin"m,alors
P(X)−an
bm
Xn−mD(X)=an−1Xn−1+...−an
bm
bm−1Xn−1+...
est de degr´e strictement inf´erieur `a n;onpeutdoncappliquerl’hy-
poth`ese de r´ecurrence au couple (P(X)−an
bmXn−mD(X),D(X)), il
existe donc deux polynˆomes & Q(X),R(X)telsque
P(X)−an
bm
Xn−mD(X)= & Q(X)D(X)+R(X)avec degR<deg D.
Il vient alors
P(X)='an
bm
Xn−m+& Q(X)(D(X)+R(X)avec degR<deg D
il suffit donc de poser Q(X)= an
bmXn−m+&
Q(X).
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ii. Unicit´e. Supposons qu’on puisse ´ecrire
P(X)=Q1(X)D(X)+R1(X)=Q2(X)D(X)+R2(X)
avec deg R1<deg Det deg R2<deg D. Si on avait Q1"=Q2,on
aurait D(X)(Q1(X)−Q2(X)) = R2(X)−R1(X), ce qui est impossible
car
deg(D(Q1−Q2)) "deg Det deg(R2−R1)<deg D.
Ainsi Q1=Q2,puisR1=R2.#
(b) Exemple : cas des polynˆomes `a coefficients entiers.
Proposition : Soient P(X),D(X)∈Q[X]deux polynˆomes `a coefficients
entiers. Si D(X)est unitaire, alors le quotient Q(X)et le reste R(X)
dans la division euclidienne P(X)=Q(X)D(X)+R(X)sont `a coefficients
entiers.
2. D´efinition : On dit que D(X)divise P(X)lorsquelerestedansladivision
euclidienne de P(X)parD(X)estnul.
3. Pratique de la division euclidienne.
La d´emonstration du Th´eor`eme de la division euclidienne contient une m´ethode
pratique de recherche du quotient et du reste dans une division. Cherchons
par exemple le quotient et le reste dans la division euclidienne de P(X)=
X5+X4−X3+X−1parD(X)=X3+X2+2.
X5+X4−X3+X−1X3+X2+2
X5+X4+2X2X2−1
−X3−2X2+X−1
−X3−X2−2
−X2+X+1
En cons´equence, le quotient est X2−1etlereste−X2+X+1.
3.4 Racines des polynˆomes
1. D´efinition : Soit P(X)=!n
i=0 aiXiun polynˆome dans K[X]. Pour r∈K,on
pose P(r)=Π(P)(r)=!n
i=0 airi.Onditquerest une racine (on dit encore
que rest un z´ero)siP(r)=0.
2. Notation : On notera Z(P)⊂Kl’ensemble des racines du polynˆome P(X)∈
K[X].
3. Proposition : rest une racine de P(X)si, et seulement si, X−rdivise P(X).
D´emonstration. — La condition est suffisante :siX−rdivise P(X), alors il
existe Q(X)∈K[X]telqueP(X)=(X−r)Q(X), donc
P(r)=Π(P)(r)=Π(X−r)(r)·Π(Q)(r)=0.
La condition est n´ecessaire :Soitrune racine de P(X). Effectuons la division
euclidienne de P(X)par(X−r), il existe donc Q(X)∈K[X]etunpolynˆome
constant Rtels que P(X)=(X−r)Q(X)+R.Oronafacilement
0=P(r)=Π(P)(r)=Π(X−r)(r)·Π(Q)(r)+R=R
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donc (X−r)diviseP(X). #
4. Le th´eor`eme fondamental de l’Alg`ebre :
(a) Th´eor`eme de d’Alembert–Gauss :Dans C[X]tout polynˆome admet
au moins une racine ; on dit que Cest alg´ebriquement clos
Ce th´eor`eme fondamental et classique est admis.
Par exemple : X2+1=(X−i)(X+i).
(b) Remarque : Dans R[X]cen’estpluslecas,parexempleX2+1 n’a pas de
racine dans R;parcontre(d’apr`esleth´eor`emedesvaleursinterm´ediaires)
tout polynˆome de R[X]dedegr´eimpairposs`edeaumoinsuneracine.
5. Th´eor`eme : Un polynˆome de degr´e d"0aauplusdracines dans K.
D´emonstration. — Le r´esultat ´etant ´evident si d=0,onsupposedanslasuite
que d>0etqu’ilestvraijusqu’aurangd−1. Soit P(X)∈K[X]unpolynˆome
de degr´e d.SiP(X)n’apasderacine,iln’yarienad´emontrer;sinonP(X)
poss`ede une racine r∈Ket il existe donc (voir Prop. 3 §3.4) Q(X)∈K[X]de
degr´e d−1telqueP(X)=(X−r)Q(X). On a donc Z(P)={r}∪Z(Q). Par
l’hypoth`ese de r´ecurrence "Z(Q)!d−1, il s’en suit donc que P(X)poss`edeau
plus 1 + (d−1) = dracines. #
6. Cons´equence : On d´eduit du th´eor`eme pr´ec´edent que le seul polynˆome P(X)
de degr´e inf´erieur ou ´egal `a d"0admettantaumoinsd+1 racines distinctes
est le polynˆome nul.
7. Racine multiple.
(a) D´efinition : Soient P(X)∈K[X], r∈Ket m∈N∗.Onditquerest
racine d’ordre mde P(X)si(X−r)mdivise P(X)et(X−r)m+1 ne divise
pas P(X).
(b) Observation : La d´efinition pr´ec´edente peut se reformuler ainsi : rest
racine d’ordre mde P(X)si,etseulementsi,ilexisteunpolynˆomeQ(X)
tel que :
P(X)=(X−r)m·Q(X)avecQ(r)"=0.
(c) Proposition : Soit P(X)∈K[X]un polynˆome non nul, alors r∈Kest
racine d’ordre mde P(X)si, et seulement si,
(i)P(i)(r)=0pour 0!i!m−1et (ii)P(m)(r)"=0.
Ici P(i)(X)d´esigne la i-`eme d´eriv´ee de P(X).
D´emonstration. — C’est une cons´equence simple de la formule de Taylor
polynomiale. #
8. Cas des racines rationnelles.
(a) Observation : Tout polynˆome `a coefficients dans Qet de degr´e 1 poss`ede
exactement une racine rationnelle.
(b) Proposition : Soit P(X)=anXn+···+a1X+a0Z[X]un polynˆome `a
coefficients entiers. Si le nombre rationnel (´ecrit sous forme irr´eductible)
p/q est racine de P(X)alors qdivise anet pdivise a0.
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