Techniques de calcul matriciel - Site Personnel de Arnaud de Saint

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©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2014-2015
Techniques de calcul matriciel
Introduction
Une matrice est un tableau de nombres avec lequel on pourra faire des opérations. C’est un objet
numérique qui peut coder des objets d’origines diverses :
• on connaît la matrice d’un système linéaire. Plus généralement, une matrice codera une application linéaire entre deux espaces vectoriels de dimension finie pour lesquels on aura choisi une
base. Dans le domaine de l’algèbre, vous verrez aussi l’année prochaine qu’une matrice symétrique
code une «forme quadratique».
• certains processus stochastiques (aléatoires) peuvent être modélisés (par exemple des chaînes de
Markov) par une matrice dite stochastique : c’est-à-dire une matrice dont les coefficients sont
positifs et dont la somme des coefficients de chaque ligne vaut 1. La «monstrueuse matrice de
Google» en est un exemple.
• certains graphes sont aussi représentés par des matrices dites d’adjacence.
• Une image numérique est une matrice de pixels. Par exemple pour une image en couleurs (RGB),
les pixels sont représentés par un triplet de nombres entiers représentant les niveaux de rouge
(Red), de vert (Green) et de bleu (Blue).
Dans ce chapitre, nous adoptons un point de vue purement matriciel. Le lien intime avec l’algèbre
linéaire sera abordé au chapitre suivant.
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Généralités
1.1
Opérations sur les matrices
On note Mn,p (K) l’ensemble des matrices à coefficients dans K avec n lignes et p colonnes. Si A est
une matrice de Mn,p (K), on note ai,j ses coefficients avec la convention que le premier indice i ∈ J1, nK
est celui des lignes et le second j ∈ J1, pK celui des colonnes 1 . On pourra noter A = (ai,j ).
Si une matrice possède autant de lignes que de colonnes, elle est dite carrée, on note Mn (K) =
Mn,n (K).
Définition 1 (Combinaisons linéaires et produit de matrices)
1. Soit A = (ai,j ) et B = (bi,j ) dans Mn,p (K).
On note A + B la matrice de Mn,p (K) dont les coefficients valent ai,j + bi,j .
Si λ ∈ K, on note λA la matrice de Mn,p (K) dont les coefficients valent λai,j .
2. Soit A = (aij ) ∈ Mp,n (K) et B = (bij ) ∈ Mn,q (K). On note AB = (cij ) la matrice de Mp,q (K)
dont les coefficients valent :
cij =
n
X
aik bkj .
k=1
Remarques :
1. Attention, en mathématiques les indices des matrices commencent à 1 contrairement par exemple au langage
Python où ils commencent à 0.
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• L’ensemble Mn,p (K) a une structure de K-espace vectoriel dont le vecteur nul est la matrice
nulle (tous les coefficients valent 0) de Mn,p (K).
• faire attention aux formats des matrices (sorte de relation de Chasles) pour le produit.
• Une matrice A est dite diagonale si ses coefficients non diagonaux sont nuls, c’est-à-dire ai,j = 0
pour i 6= j. Si D est diagonale, on la note D = diag(d1 , . . . , dn ) où les di sont ses coefficients
diagonaux. Ce seront nos «matrices préférées» pour faire des produits matriciels car
diag(d1 , . . . , dn ) × diag(t1 , . . . , tn ) = diag(d1 t1 , . . . , dn tn ).
• Nous expliquerons dans le prochain chapitre que ces opérations codent l’addition et composition
d’applications linéaires.
• la complexité de la multiplication matricielle dans Mn (K) est en O(n3 ) (multiplier deux matrices
de taille n nécessite n2 (n − 1) additions et n3 multiplications de réels).
On admet les propriétés suivantes que nous démontrerons dans le prochain chapitre.
Proposition 2 Le produit matriciel est bilinéaire et associatif, c’est-à-dire :
1. si A et B sont dans Mp,n (K) et C et D dans Mn,q (K), pour tout λ et µ dans K, on a :
(λA + µB)C = λAC + µBC
et
A(λC + µD) = λAC + µAD.
2. si A ∈ Mp,n (K), B ∈ Mp,q (K), A ∈ Mq,r (K), on a :
(A × B) × C = A × (B × C).
Remarque : ces propriétés permettent de montrer que l’ensemble Mn (K) muni de l’addition et de
la multiplication est un anneau dont l’élément unité est la matrice In = diag(1, . . . , 1). En particulier,
∀A ∈ Mn (K), on a A × In = In × A = A.
1.2
Quelques particularités de ce produit
L’examen de la taille 2 est en général très instructive. Posons
N=
!
0 1
0 0
et
M=
!
0 0
.
1 0
• Ces deux matrices vérifient N 2 = 0 et M 2 = 0, pourtant elles ne sont pas nulles. Elles sont dites
nilpotentes. En particulier, Mn (K) est un anneau non intègre.
!
!
1 0
0 0
• De plus, N M =
et M N =
. Le produit matriciel n’est donc pas commutatif
0 0
0 1
pour n > 2. Ainsi sauf si A et B commutent, en général (AB)2 6= A2 B 2 .
• Pout tout λ ∈ K, si R =
infinité de racines carrées.
!
1 λ
, on a R2 = I2 . Autrement dit, la matrice I2 admet une
0 −1
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1.3
3
Matrices élémentaires
Proposition 3 (Matrices élémentaires) Soit i ∈ J1, nK et j ∈ J1, pK. On note Ei,j la matrice de
Mn,p (K) dont tous les coefficients sont nuls sauf celui de la ligne i et de la colonne j qui vaut 1. On
appelle matrices élémentaires de Mn,p (K) les matrices Ei,j pour i ∈ J1, nK et j ∈ J1, pK.
• La famille (E11 , E12 , . . . , E1p , E21 , . . .) formée par les matrices élémentaires rangées par ordre
lexicographique est une base de Mn,p (K), que l’on appellera base canonique. Ainsi
dim Mn,p (K) = np.
• On a Eij Ekl = δjk Eil avec δjk = 1 si j = k et 0 sinon.
1.4
Notion de polynôme de matrice et de polynôme annulateur
P
Soit M ∈ Mn (K) et P = pi=0 ai X i un polynôme de K[X]. Puisqu’une combinaison linéaire et
un produit de matrices de Mn (K) est encore une matrice de Mn (K), on note P (M ) la matrice de
Mn (K) définie par :
P (M ) =
p
X
ai M i = ap M p + · · · + a1 M + a0 In .
i=0
Remarques :
• un polynôme en M commute avec la matrice M , c’est-à-dire P (M ) × M = M × P (M ).
• lorsque P (M ) = 0, on dit que P est un polynôme annulateur de M .
• Soit P, Q ∈ K[X], M ∈ Mn (K) et λ ∈ K, on a
(P Q)(M ) = P (M )Q(M )
2
et (λP + Q)(M ) = λP (M ) + Q(M ).
Quelques techniques et outils matriciels
2.1
Calculs de puissances n-ièmes
Voici quelques recettes à découvrir en exercice :
1. Si D est diagonale avec D = diag(d1 , . . . , dp ), alors Dn = diag(dn1 , . . . , dnp ).
2. L’astuce de type «Pacman» (P DP −1 )n = P Dn P −1 est à connaître (P désigne une matrice
inversible).
3. Utilisation du binôme de Newton : si A et B sont deux matrices de Mn (K) qui commutent,
alors pour tout n ∈ N, on a
!
n
X
n
(A + B)n =
Ak B n−k .
k
k=0
En particulier calcul de (λIp + N )n avec N nilpotente.
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4. Utilisation d’un polynôme annulateur :
si P est un polynôme annulateur de la matrice A, c’est-à-dire si P (A) = 0, on écrit la division
euclidienne de X n par P : il existe des polynômes Q et R tels que X n = QP + R. On a alors la
relation matricielle :
An = P (A) ×Q(A) + R(A).
| {z }
0
Ainsi
An
= R(A), et il suffit donc de chercher le reste R.
5. Utilisation de récurrence, par exemple :


1 1 1


• avec A = 1 1 1, on a A2 = 3A donc An = 3n−1 A.
1 1 1
• avec R(θ) =
2.2
!
cos θ − sin θ
. On a 2 R(θ)2 = R(2θ) donc R(θ)n = R(nθ).
sin θ cos θ
La trace d’une matrice
Proposition 4 On appelle trace d’une matrice carrée A la somme de ses coefficients diagonaux. On
la note Tr(A). La trace vérifie les deux propriétés suivantes :
• La trace est une forme linéaire sur Mn (K).
• Si A et B sont dans Mn (K), on a :
Tr(AB) = Tr(BA).
Remarques :
• Nous verrons dans le chapitre suivant que la trace est un invariant de similitude : deux matrices
semblables auront même trace. Nous verrons aussi plus tard que le déterminant d’une matrice
est aussi un invariant de similitude. En attendant, pour la taille 2, on peut retenir la définition
suivante :
!
a b
det
= ad − bc.
c d
• en taille 2, un calcul montre que si A est une matrice de M2 (K), le polynôme suivant P est un
polynôme annulateur de A :
P = X 2 − Tr(A)X + det(A).
• L’ensemble des matrices de Mn (K) dont la trace est nulle est un hyperplan de Mn (K).
2.3
Matrices symétriques et transposée d’une matrice
Définition 5 Soit A = (ai,j ) une matrice de Mn (K).
1. Elle est dite symétrique si ses coefficients sont symétriques par rapport à la diagonale, c’est-à-dire
si :
∀(i, j) ∈ J1, nK2 , ai,j = aj,i .
2. Ce résultat est naturel si l’on sait que cette matrice code une rotation de centre O et d’angle θ et que la multiplication
des matrices code la composition des applications linéaires.
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2. Elle est dite antisymétrique si :
∀(i, j) ∈ J1, nK2 , ai,j = −aj,i .
Remarque : en particulier, si A est antisymétrique, ses coefficients diagonaux sont nuls puisque
ai,i = −ai,i .
Proposition 6 Soit A = (ai,j ) une matrice de Mn,p (K). On appelle transposée de A, notée t A la
matrice de Mp,n (K), dont les coefficients sont les symétriques de ceux de A par rapport à la diagonale,
c’est-à-dire t A = (aj,i ). La transposée vérifie les propriétés suivantes :
• elle est linéaire et involutive (c’est-à-dire ∀A ∈ Mn,p (K), t (t A) = A). C’est en particulier une
symétrie de Mn (K).
• ∀(A, B) ∈ Mn,p (K) × Mp,q (K),
t (AB)
= t B t A.
Remarque : si on note φ : Mn (K) → Mn (K) l’endomorphisme qui à une matrice associe sa transposée, on a Ker(φ − id) = {M ∈ Mn (K) | t M = M } = Sn (K) l’ensemble des matrices symétriques et
Ker(φ + id) = {M ∈ Mn (K) | t M = −M } = An (K) l’ensemble des matrices antisymétriques. Cela
montre Sn (K) et Sn (K) sont des sous-espaces vectoriels de Mn (K). Ils sont de plus supplémenatires,
car φ étant une symétrie, on a
Mn (K) = Ker(φ − id) ⊕ Ker(φ + id) = Sn (K) ⊕ An (K).
2.4
Produits de matrices triangulaires et de matrices blocs
On sait que le produit de matrices diagonales est encore une matrice diagonale. On peut généraliser
aux matrices triangulaires supérieures et inférieures.
Proposition 7 Une matrice A = (ai,j ) de Mn (K) est dite triangulaire supérieure (resp. inférieure)
si ses coefficients en-dessous (resp. au-dessus) de la diagonale sont nuls, c’est-à-dire
∀(i, j) ∈ J1, nK2 , (i > j ⇒ ai,j = 0)
(resp. i < j ⇒ ai,j = 0).
Le produit de deux matrices triangulaires supérieures de Mn (K) (resp. triangulaires inférieures)
est encore une matrice triangulaire supérieure (resp. triangulaire inférieure).
Proposition
8 (Produits de matrices blocs) On considère les matrices M =
′
′
A B
C ′ D′
, où
A, A′ , B, B ′ , C, C ′
et
D, D′
sont des matrices vérifiant :
• Le nombre de colonnes de A et C est égal au nombre de lignes de A′ et B ′
• Le nombre de colonnes de B et D est égal au nombre de lignes de C ′ et D′
On a alors l’égalité
MN =
AA′ + BC ′ AB ′ + BD′
CA′ + DC ′ CB ′ + DD′
!
A B
C D
et N =
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Le groupe des matrices inversibles
Définition 9 Une matrice A de Mn (K) est dite inversible s’il existe une matrice B de Mn (K) telle
que AB = BA = In . Une telle matrice B est unique, on la note A−1 .
Proposition 10 L’ensemble GLn (K) des matrices inversibles de Mn (K) est un groupe pour la loi ×.
Si A et B sont dans GLn (K), on a
(AB)−1 = B −1 A−1 .
Deux questions se posent ainsi :
• Comment savoir si une matrice A est inversible ?
• Si elle est inversible, comment calculer son inverse ?
Quelques éléments de réponse :
• On regarde si le système associé AX = Y admet une unique solution. Si c’est le cas, la solution
X = A−1 Y permet d’obtenir l’expression de A−1 .


2 1 1


Exemple : la matrice A = 1 2 1 est inversible d’inverse
1 1 2


3 −1 −1

1
−1
3 −1.

4
−1 −1 3
En particulier, une matrice triangulaire sera inversible ssi ses coefficients diagonaux sont non
nuls. De plus si A est inversible et triangulaire supérieure, alors son inverse est encore une
matrice triangulaire supérieure.
• On démontrera plus tard qu’une matrice A ∈ Mn (K) est inversible si et seulement si det A 6= 0.
!
a b
En attendant, on retient le cas de la taille 2 : la matrice
est inversible ssi son déterminant
c d
ad − bc 6= 0 et alors
!−1
!
1
a b
d −b
=
.
c d
ad − bc −c a
• On peut utiliser un polynôme annulateur et exhiber ainsi une matrice B telle que AB = BA = In .
Par exemple si A ∈ Mn (K) vérifie A2 −5A+6In = 0, alors A est inversible et A−1 = −1
6 (A−5In ).
De même, on montre qu’une matrice nilpotente n’est jamais inversible.