algèbre générale

algèbre générale
Groupes.
1. Montrer que si a et b sont deux éléments d’un groupe G d’ordre p et q avec p et q premiers
entre eux et ab = ba, alors ab est d’ordre pq. Montrer que le résultat est en défaut si on ne
suppose plus que a et b commutent ou si on enlève l’hypothèse p et q premiers entre eux.
2. Groupes Z/nZ.
(a) Montrer que Z/aZ × Z/bZ est cyclique ssi a et b sont premiers entre eux.
(b) Soit le groupe (Z/nZ, +). Soit d un diviseur de n. Montrer que le groupe Z/nZ admet un
unique sous-groupe d’ordre d.
(c) Soit d un diviseur de n. Montrer qu’il y a exactement ϕ(d) éléments d’ordre d dans Z/nZ.
En déduire, en utilisant le théorème de Lagrange que
X
n=
ϕ(d)
d|n
(d) On cherche à déterminer tous les morphismes de groupes de Z/8Z dans Z/12Z.
i. Montrer que deux morphismes sont égaux ssi ils prennent la même valeur en 1.
ii. Montrer que l’ordre de l’image de 1 doit être un diviseur de 8 et de 12.
iii. En déduire qu’il y a exactement 4 morphismes de groupes de Z/8Z dans Z/12Z et les
expliciter.
iv. Montrer qu’il y a exactement m ∧ n morphismes de groupes de Z/nZ dans Z/mZ.
Les expliciter.
(e) Les groupes (Z/7Z)∗ et (Z/9Z)∗ sont-ils isomorphes ?
3. On note Un le groupe des racines n de l’unité dans C∗ .
(a) Soit G un sous-groupe fini de (C∗ , ∗). Montrer que tout élément de G est une racine de
l’unité. En déduire que les seuls sous-groupes finis de C∗ sont les groupes de la forme Un .
(b) Montrer l’équivalence
n|m ⇐⇒ Un ⊂ Um
(c) Montrer que l’intersection de Un et Um est égal à Ud avec d = m∧n. Montrer que l’ensemble
Un Um des produits zz 0 avec z dans Un et z 0 dans Um est égal à Ur avec r = m ∨ n.
4. Soit ϕ : G → G0 un morphisme de groupe et G est de cardinal fini.
(a) Soit y ∈ Imϕ et x0 ∈ ϕ−1 (y). Montrer que ϕ−1 (y) = x0 Kerϕ. En particulier, |Kerϕ| =
|ϕ−1 (y)|.
(b) En déduire que |G| = |Kerϕ||Imϕ|.
5. Théorème de Lagrange.
Soit G un groupe et H un sous-groupe de G.
(a) Montrer que la relation x ∼ y ssi x−1 y ∈ H est une relation d’équivalence sur G.
(b) Montrer que la classe de x est l’ensemble xH (classes à gauche).
(c) En déduire que si G est fini, alors le cardinal de H divise celui de G.
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(d) En déduire que si G est fini et g ∈ G, l’ordre de g divise le cardinal de G.
6. Soit p un nombre premier et
n
Up∞ = {z ∈ C ∃n ∈ N z p = 1}
(a) Montrer que Up∞ est un sous-groupe infini de (C∗ , ∗).
(b) Montrer que les sous-groupes propres de Up∞ sont exactement les Upn .
(c) Le résultat de (b) subsiste-t-il si l’on considère U(pq)∞ ?
7. On appelle caractère d’un groupe abélien fini G tout morphisme de groupes χ de G dans (C∗ , ∗).
b est un groupe pour la loi (χχ0 )(g) = χ(g)χ0 (g).
(a) Montrer que l’ensemble G
\ sur Z/nZ.
(b) Montrer que l’application χ → χ(1) est un isomorphisme de Z/nZ
Arithmétique.
8. Soit
p un nombre premier et k ∈ {1, . . . , p − 1}. Montrer que p divise le coefficient binomial
p
.
k
9. Soit p un nombre premier et k ∈ {1, . . . , p2 − 1}. Montrer que p divise le coefficient binomial
2
p2
. Montrer que p2 divise le coefficient pk si et seulement si k n’est pas un multiple de p.
k
10. Soit P ∈ Z[X] de la forme a0 + · · · + an X n avec a0 an 6= 0. On suppose que P admet une racine
rationnelle de représentant canonique p/q. Montrer que p divise a0 et q divise an .
11. Soit A ∈ Mn (Z). Montrer que A ∈ GLn (Z) ssi det(A) = ±1. Généraliser au cas de matrices à
coefficients dans un anneau commutatif.
12. Résoudre le système de congruences :


 x ≡ 1[7]
x ≡ 3[8]

 x ≡ 2[9]
13. Déterminer le reste de
3000 )
(1000)(2000
modulo 19.
14. (a) Résoudre dans Z/7Z l’équation x2 + x + 1 = 0.
(b) Résoudre dans Z/101Z l’équation x2 + x + 1 = 0.
On pourra utiliser la question 16c
(c) Résoudre dans Z/143Z l’équation x2 + x + 11 = 0.
Utiliser le Théorème chinois.
15. (a) Montrer que le cardinal de GLn (Z/pZ) est
|GLn (Z/pZ)| =
n−1
Y
(pn − pk )
k=0
n
On montrera que l’on a p −1 choix pour la première colonne, pn −p choix pour la deuxième
colonne,...
2
(b) Déterminer le cardinal de SLn (Z/pZ).
16. Carrés dans Z/pZ.
Soit p ≥ 3 un nombre premier.
(a) En considérant l’application f : x → x2 de (Z/pZ)∗ dans lui-même, montrer qu’il y a
exactement (p + 1)/2 carrés dans Z/pZ.
(b) Pour x ∈ (Z/pZ)∗ , on note xp = x(p−1)/2 . Montrer que xp ∈ {−1, 1}.
(c) Montrer que x est un carré de (Z/pZ)∗ ssi xp = 1.
(d) Montrer que
X
x
=0
p
∗
x∈(Z/pZ)
(e) Montrer que −1 est un carré dans Z/pZ ssi p ≡ 1[4].
(f) Montrer qu’il y a une infinité de nombres premiers congrus à −1 modulo 4.
Raisonner par l’absurde en supposant qu’il n’y en a qu’un nombre fini p1 , . . . , pr et introduire l’entier 4p1 . . . pr − 1.
17. Fonction de Möbius.
On définit µ : N∗ → {0, 1, −1} comme suit : µ(1) = 1, µ(n) = 0 si contient un facteur carré,
µ(p1 . . . pr ) = (−1)r si les pi sont des nombres premiers distincts.
(a) Montrer que la fonction µ est multiplicative au sens de l’arithmétique : si m et n sont
deux entiers premiers entre eux, on a µ(mn) = µ(m)µ(n).
P
(b) Montrer que pour tout entier n ≥ 2 on a d|n µ(d) = 0.
(c) Soit f : N∗ →P
A une application où A désigne un groupe abélien noté additivement. On
pose : g(n) = d|n f (d). Démontrer la formule d’inversion de Möbius :
f (n) =
X
µ(n/d)g(d)
d|n
(d) En déduire la formule
ϕ(n) =
X
µ(n/d)d
d|n
Anneaux.
18. Montrer que toute suite croissante d’idéaux de Z est stationnaire. Cela est-il encore vrai dans
K[X] ?
19. Soit A un anneau commutatif. On note
N il(A) = {a ∈ A, ∃n ∈ N, an = 0}
(a) Montrer que N il(A) est un idéal de A.
3
(b) Si I est un idéal de A, on note
√
I = {a ∈ A, ∃n ∈ N, an ∈ I}
p
√
Montrer que I est un idéal de A. Vérifier que N il(A) = (0).
√
(c) Si A = Z et n ≥ 1, déterminer nZ.
√
√
20. On pose Z[ 2] = {a + b 2 ∈ R, (a, b) ∈ Z2 }.
√
(a) Montrer que Z[ 2] est un sous-anneau de R.
√
√
√
Pour z = a + b 2 ∈ Z[ 2], on pose z̄ = a − b 2 et N (z) = z z̄
(b) Montrer que N est multiplicative.
√
(c) Montrer que z est inversible dans Z[ 2] ssi N (z) = ±1.
√
√
(d) Montrer que Z[ 2] et Z[ 3] sont isomorphes en tant que groupes mais non isomorphes
en tant qu’anneaux.
Polynômes.
21. Soit n ≥ 2 et P = 1 + X + · · · + X n /n!. Le polynôme P a-t-il une racine multiple dans C ?
22. Déterminer les n ≥ 3 tels que (X − 1)n − (X n − 1) ait au moins une racine multiple dans C.
23. Factoriser (X + 1)n − (X − 1)n dans C. En déduire, en posant n = 2p + 1 et en testant en 0,
l’égalité :
p
Y
1
kπ
=√
cotan
2p + 1
2p + 1
k=1
24. On cherche à déterminer les polynômes à coefficients complexes vérifiant la relation :
P (X 2 ) = P (X)P (X + 1)
(a) Soit P un polynôme non constant vérifiant la relation. Montrer que si z est racine de P il
en est de même de z 2 . En déduire que toute racine de P est de module 0 ou 1.
(b) Montrer que si z est racine de P alors z − 1 est de module 0 ou 1. En déduire que les
seules racines possibles pour P sont 0, 1, −j, −j 2 .
(c) Montrer alors que les polynômes solutions sont 0, 1 et les polynômes de la forme (X 2 −X)n
avec n ≥ 1.
25. Soit m et n deux entiers supérieurs ou égaux à 1. On note d = m ∧ n. Montrer que
Xm − 1 ∧ Xn − 1 = Xd − 1
Si K est un sous-corps de C, on peut raisonner en termes de racines. Sinon, appliquer l’algorithme d’Euclide.
26. Soit K un sous-corps de C. Déterminer les polynômes tels que P 0 |P .
Introduire les racines de P sur C avec leur multiplicité.
27. Soit P ∈ C[X] non constant.
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(a) Déterminer la décomposition en éléments simples de P 0 /P .
(b) En déduire que les racines de P sont dans l’enveloppe convexe des racines de P .
Pn−1
28. Soit n ≥ 1, a0 ∈ R∗+ , (a1 , . . . , an−1 ) ∈ (R+ )n et P = X n − k=0
ak X k .
(a) Montrer que dans R∗+ , P admet un zéro unique r.
(b) Montrer que toute racine complexe de P est de module inférieur ou égal à r.
(c) Démontrer les inégalités :
r ≤ max(1,
n−1
X
ak )
k=0
et
r < 1 + max0≤k≤n−1 ak
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