Nombres complexes et géométrie 1 Module, arguments et forme

Nombres complexes et géométrie
Dans tout ce chapitre, on suppose le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct
R = (0 ; ~u, ~v ).
1
1.1
Module, arguments et forme trigonométrique d’un complexe non nul
Définitions et conséquences
Soit z un complexe non nul et M le point d’affixe z.
On pose z = x + iy, avec x et y réels.
p
On appelle module de z, et on note |z|, le réel positif défini par : |z| = x2 + y 2 .
On a donc : |z| = OM .
−−→
On appelle argument de z, et on note arg z, toute mesure en radians de l’angle (~u ; OM ).
Conséquence
Si θ est un argument de z, alors cos θ =
et sin θ =
donc : x =
et y =
z peut s’écrire :
Cette forme est une forme trigonométrique de z.
Figure :
Remarques
- Si z est réel, son module est égal à sa valeur absolue.
- Si θ est un argument de z, alors (|z| ; θ) est un couple de coordonnées polaires de z.
1.2
Propriétés
– |z| = 0 ⇔
– zz =
1
– Caractérisations de sous-ensembles de C par les arguments :
– z ∈ R∗+ ⇔
– z ∈ R∗− ⇔
– z ∈ iR∗ ⇔
– Module et argument d’un produit : soit z et z 0 deux complexes non nuls.
On pose : |z| = r, |z 0 | = r0 , θ = arg z, θ0 = arg z 0 .
On a : z =
et z 0 =
, donc :
0
zz =
On en déduit : |zz 0 | =
et arg zz 0 =
Conséquences
2
2.1
Forme exponentielle
Notation exponentielle (exponentielle complexe)
On a vu que :
(cos θ + i sin θ)(cos θ0 + i sin θ0 ) =
Donc si on pose f (θ) = cos θ + i sin θ, on a : f (θ + θ0 ) =
On pose : cos θ + i sin θ = eiθ .
2.2
Forme exponentielle d’un complexe non nul
Soit z un complexe non nul. Alors z peut s’écrire : z =
Cette écriture est appelée forme exponentielle de z.
3
3.1
Géométrie dans le plan complexe
Affixes
Soit A et B deux points du plan d’affixes respectives zA et zB . Alors :
2
−→
– le vecteur AB a pour affixe
– le barycentre G de (A ; α), (B ; β) (α et β réels tels que α + β 6= 0) a pour affixe
zG =
En particulier, le milieu de [AB] a pour affixe
−
−
– Deux vecteurs →
v1 et →
v2 sont colinéaires si et seulement si
3.2
Calculs de distances
Soit A et B deux points du plan d’affixes respectives zA et zB . Alors :
AB =
3.3
Calculs d’angles
Soit A, B, C et D quatre points
deux à deux distincts, d’affixes respectives zA , zB , zC
du plan −→ −−→
zD − zC
.
et zD . Alors : (AB; CD) = arg
zB − zA
3.4
Représentation paramétrique d’un cercle
Soit C le cercle de centre Ω d’affixe ω et de rayon r.
Alors C est l’ensemble des points M du plan d’affixe
4
4.1
Ecriture complexe d’une transformation
Définition
Soit f une transformation du plan complexe qui, au point M d’affixe z, associe le point M 0
d’affixe z 0 .
L’écriture complexe de f est la relation donnant z 0 en fonction de z.
4.2
Translation
L’écriture complexe de la translation t de vecteur w
~ d’affixe w est : z 0 =
3
4.3
4.3.1
Homothétie
Définition (rappel...)
L’homothétie de centre Ω et de rapport k (k réel non nul) est la transformation qui, à tout
−−→
−−→
point M , fait correspondre le point M 0 tel que : ΩM 0 = k ΩM .
4.3.2
Ecriture complexe
L’écriture complexe de l’homothétie h de centre Ω d’affixe ω et de rapport k est :
z0 =
4.4
Rotation
L’écriture complexe de la rotation r de centre Ω d’affixe ω et d’angle θ est :
z0 =
4