Nombres complexes et géométrie 1 Module, arguments et forme

Nombres complexes et g´eom´etrie
Dans tout ce chapitre, on suppose le plan complexe muni d’un rep`ere orthonormal direct
R= (0 ; ~u, ~v).
1 Module, arguments et forme trigonom´etrique d’un com-
plexe non nul
1.1 D´efinitions et cons´equences
Soit zun complexe non nul et Mle point d’affixe z.
On pose z=x+ iy, avec xet yr´eels.
On appelle module de z, et on note |z|, le r´eel positif d´efini par : |z|=px2+y2.
On a donc : |z|=OM.
On appelle argument de z, et on note arg z, toute mesure en radians de l’angle (~u ;−−→ OM).
Cons´equence
Si θest un argument de z, alors cos θ= et sin θ=
donc : x= et y=
zpeut s’´ecrire :
Cette forme est une forme trigonom´etrique de z.
Figure :
Remarques
- Si zest r´eel, son module est ´egal `a sa valeur absolue.
- Si θest un argument de z, alors (|z|;θ) est un couple de coordonn´ees polaires de z.
1.2 Propri´et´es
–|z|= 0 ⇔
–zz =
1

– Caract´erisations de sous-ensembles de Cpar les arguments :
–z∈R∗
+⇔
–z∈R∗
−⇔
–z∈iR∗⇔
– Module et argument d’un produit : soit zet z0deux complexes non nuls.
On pose : |z|=r,|z0|=r0,θ= arg z,θ0= arg z0.
On a : z= et z0= , donc :
zz0=
On en d´eduit : |zz0|= et arg zz0=
Cons´equences
2 Forme exponentielle
2.1 Notation exponentielle (exponentielle complexe)
On a vu que :
(cos θ+ i sin θ)(cos θ0+ i sin θ0) =
Donc si on pose f(θ) = cos θ+ i sin θ,ona:f(θ+θ0) =
On pose : cos θ+ i sin θ= eiθ.
2.2 Forme exponentielle d’un complexe non nul
Soit zun complexe non nul. Alors zpeut s’´ecrire : z=
Cette ´ecriture est appel´ee forme exponentielle de z.
3 G´eom´etrie dans le plan complexe
3.1 Affixes
Soit Aet Bdeux points du plan d’affixes respectives zAet zB. Alors :
2

– le vecteur −→ AB a pour affixe
– le barycentre Gde (A;α), (B;β) (αet βr´eels tels que α+β6= 0) a pour affixe
zG=
En particulier, le milieu de [AB] a pour affixe
– Deux vecteurs −→ v1et −→ v2sont colin´eaires si et seulement si
3.2 Calculs de distances
Soit Aet Bdeux points du plan d’affixes respectives zAet zB. Alors :
AB =
3.3 Calculs d’angles
Soit A,B,Cet Dquatre points du plan deux `a deux distincts, d’affixes respectives zA,zB,zC
et zD. Alors : (−→ AB;−−→ CD) = arg zD−zC
zB−zA.
3.4 Repr´esentation param´etrique d’un cercle
Soit Cle cercle de centre Ω d’affixe ωet de rayon r.
Alors Cest l’ensemble des points Mdu plan d’affixe
4 Ecriture complexe d’une transformation
4.1 D´efinition
Soit fune transformation du plan complexe qui, au point Md’affixe z, associe le point M0
d’affixe z0.
L’´ecriture complexe de fest la relation donnant z0en fonction de z.
4.2 Translation
L’´ecriture complexe de la translation tde vecteur ~w d’affixe west : z0=
3

4.3 Homoth´etie
4.3.1 D´efinition (rappel...)
L’homoth´etie de centre Ω et de rapport k(kr´eel non nul) est la transformation qui, `a tout
point M, fait correspondre le point M0tel que : −−→ ΩM0=k−−→ ΩM.
4.3.2 Ecriture complexe
L’´ecriture complexe de l’homoth´etie hde centre Ω d’affixe ωet de rapport kest :
z0=
4.4 Rotation
L’´ecriture complexe de la rotation rde centre Ω d’affixe ωet d’angle θest :
z0=
4