Décomposition en facteurs premiers - Les

Décomposition
en facteurs
premiers
Problème : Les
nombres de
Fermat
Cours :
Décomposition en
facteurs premiers
Divisibilité et division euclidienne - TS
Décomposition en facteurs premiers
Les nombres de Fermat
LPO de Chirongui
5 juillet 2015

Décomposition
en facteurs
premiers
Problème : Les
nombres de
Fermat
Cours :
Décomposition en
facteurs premiers
1 - Problème : Les nombres de Fermat- I
En 1640 le mathématicien Pierre de Fermat pensait que tous les
nombres Fn=22n+1étaient premiers (on appelle ces nombres les
nombres de Fermat).
Vérifiez à l’aide de votre calculatrice que F0,F1,F2,F3et F4sont premiers.
En 1732, Euler prouve que F5n’est pas premier. On le vérifie facilement
aujourd’hui avec un logiciel comme Xcas. Vérifiez le en entrant
factoriser_entier (225+1)ou factor((225+1)
Que pensez-vous de F6?
Aujourd’hui encore factoriser un nombre de Fermat...est long et compliqué.
Sachant que F30 s’écrit avec 108chiffres et que vous écrivez 5 chiffres par
seconde, combien vous faudrait-il de temps pour écrire F30 ?
Vérifiez que tous les nombres de Fermat sont impairs.
Démontrez par récurrence que pour tout entier nnon nul
F0F1...Fn−1=Fn−2
Déduire des deux questions précédentes que si dest un diviseur commun à
2 nombres de Fermat alors d=1
Sachant que tout entier admet au moins un facteur premier, déduire de ce
qui précède une démonstration de l’infinité des nombres premiers.

Décomposition
en facteurs
premiers
Problème : Les
nombres de
Fermat
Cours :
Décomposition en
facteurs premiers
Savoir faire
Déterminer les
diviseurs d’un entier
Exercices
Déterminer le
nombre de diviseurs
d’un entier
Exercices
2 - Cours : Décomposition en facteurs premiers- I
Théorème:
Tout entier naturel au moins égal à 2 est premier ou produit de
nombres premiers.

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en facteurs
premiers
Problème : Les
nombres de
Fermat
Cours :
Décomposition en
facteurs premiers
Savoir faire
Déterminer les
diviseurs d’un entier
Exercices
Déterminer le
nombre de diviseurs
d’un entier
Exercices
2 - Cours : Décomposition en facteurs premiers- II
Démonstration:
On raisonne par l’absurde.
La propriété est vraie pour les premiers entiers :
2;3;4=22:5;6=2x3...
Supposons qu’elle ne soit pas vraie pour tous les entiers et notons n
le premier entier ni premier, ni produit de nombres premiers.
n admet un diviseur premier p et on peut donc écrire n=p×doù
1<d<n.
Comme n est le premier entier ne satisfaisant pas la propriété, d la
satisfait mais l’écriture n =p×d même alors à une contradiction.

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en facteurs
premiers
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nombres de
Fermat
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facteurs premiers
Savoir faire
Déterminer les
diviseurs d’un entier
Exercices
Déterminer le
nombre de diviseurs
d’un entier
Exercices
2 - Cours : Décomposition en facteurs premiers- III
Théorème:
admis
La décomposition d’un entier naturel n en produit de nombres
premiers est unique