II. Décomposition d`un entier en produit de - Playmaths

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Nombres premiers
I. Nombres premiers
1) Définition :
On dit qu’un entier naturel p est premier s’il possède deux diviseurs distincts positifs, 1 et
lui-même.
Exemples :
1 n’est pas premier
17 est premier
27 n’est pas premier
2) Propriété
Tout entier naturel non premier n > 1 admet un diviseur premier p tels que 2 ≤ p ≤
n
.
Dem :
n n’est pas premier il admet des diviseurs autres que 1 et lui-même.
Soit E l’ensemble des diviseurs de n privé de 1 et n.
E n’est pas vide ( car n n’est pas premier)
D’après l’axiome du plus petit élément, il existe un plus petit élément de E, noté p.
Si p non premier, p possèderait un diviseur p’ distinct de 1 et de lui-même.
p’ < p et p’ diviserait n car il divise p, d’où p appartiendrait à E.
Ce qui contredit le fait que p est le plus petit élément de E.
Donc p est premier.
On suppose que n = pq avec p < q car p est le plus petit diviseur premier de n.
Comme p < q, on a
qppp 
d’où p² < n puis p <
n
.
Ex 1 à 9 p.64
II. Décomposition d’un entier en produit de facteurs
premiers
1) Propriété
Tout entier naturel supérieur ou égal à 2 se décompose en produit de facteurs premiers.
Cette décomposition est unique à l’ordre près des facteurs.
On note alors n
r
21 r
21 p...pp 
où p1, p2, …, pr sont des nombres premiers distincts et
r
21 ,...,, 
sont des entiers naturels non nuls.
Exemples :

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Démonstration :
Existence :
Si n est premier, la propriété est établie.
Sinon, le plus petit diviseur de n > 1 est premier. On le note p1.
Il existe donc n1 tel que n = p1 n1.
On peut définir n1 =
1
p
n
avec n1 < n. ( p1 ≥ 2)
Si n1 est premier, la propriété est établie.
Sinon, on réitère le processus : il existe p2 premier et on peut définir n2 =
2
1
p
n
avec n2 < n1.
On peut créer ainsi une suite (nk) d’entiers naturels, strictement décroissante.
Cette suite est finie (principe de descente infinie) et son dernier terme est premier.
En regroupant les facteurs premiers identiques, on obtient n
r
21 r
21 p...pp 
Unicité :
On démontre l’unicité par récurrence à l’aide du théorème de Gauss.
L’unicité est claire pour n = 2.
On suppose que la décomposition est unique pour tout entier strictement inférieur à un n
donné, et on montre que la décomposition de n en produit de facteurs premiers est unique.
On suppose que n admet deux décompositions distinctes en produit de facteurs premiers :
n
r
21 p...pp 
s
21 q...qq 
Si p1 était premier avec qi pour tout 1≤ i ≤ s, alors d’après le théorème de Gauss, p1 serait
premier avec
s
21 q...qq 
; or p1 divise n =
s
21 q...qq 
d’où une contradiction.
Donc p1 n’est pas premier avec tous les qi.
Donc il existe i tel que p1 et qi ne sont pas premiers entre eux.
Comme ce sont des nombres premiers, on a nécessairement p1 = qi.
Le nombre
1
p
n
admettrait deux décompositions distinctes ;
n1 =
r
2p...p
s
1i1i21 q...qq...qq  
ce qui contredit l’hypothèse de récurrence car n1 < n (car p2 ≥ 2).
On en déduit que n admet une décomposition unique.
On a ainsi démontré par récurrence l’unicité de la décomposition pour tout n ≥ 2.
Ex 14-15-16
2) Propriété
En notant
r
21 r
21 p...pp 
la décomposition d’un entier naturel n en produit de facteurs
premiers, tout diviseur de n admet une décomposition en produit de facteurs premiers de la
forme :
r
21 r
21 p...pp 
Où
r
21 ,...,, 
sont des entiers naturels tels que pour tout 1 ≤ i ≤ r, on a
ii
0
.
Exemple :

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Dem :
Les nombres
r
21 r
21 p...pp 
sont des diviseurs de
r
21 r
21 p...pp 
.
Réciproquement, en notant d un diviseur de n =
r
21 r
21 p...pp 
, tout facteur premier de d
divise n, donc appartient à la liste p1, p2, …, pn. On en déduit que la décomposition en produit
de facteurs premiers de d peut s’ecrire par extension
r
21 r
21 p...pp 
.
Le cas où
0
i
correspond à l’absence du facteur pi.
Ex 22-23-24 p.65