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Logarithme népérien
Exercice 1 ( Vrai-Faux)
Soit 𝑓 la fonction définie par
1
() 2ln( )
x
fx x
, D son ensemble de définition et C sa courbe
représentative.
a. On a D =] 0, + [.
b. La courbe C admet une droite asymptote en +.
c. Pour tout x D, on a :
() 2
x
fx
.
d. Pour tout x D, on a :
2
12
'( ) 2(ln ) fx xx
.
Correction
a. Faux : On doit avoir
1x
et x >0 donc D=
]0,1[ ]1, [ 
.
b. Vrai :
1
lim ( )
xfx
et
lim ( ) 0
2
x
x
fx
donc
2
x
y
est asymptote de C.
c. Faux :
() 2
x
fx
si
10
ln( )x
, soit
ln( ) 0x
donc quand
11xx  
.
d. Vrai : Rappelons que
'
1'u
uu
et remarquons que
2
() 2 ln
x
fx x
; nous avons donc
22
1 1/ 1 1
'( ) 2 2
22
(ln ) (ln )
x
fx x x x
.
Exercice 2
1. On considère la fonction
2
:1
x
fx xx
. Montrer que 𝑓 est définie et dérivable sur
et déterminer la fonction dérivée 𝑓′ de 𝑓 .
2. On considère la fonction
2
ln
:ln ln 1
x
gx xx
et on désigne par sa courbe
représentative dans un repère orthonormal d’unités graphiques 1 cm.
a. Exprimer g en fonction de 𝑓 et préciser l’ensemble de définition de g .
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Exercices
4 ème
Logarithme népérien

Logarithme népérien
b. Déterminer la fonction dérivée g
’ de
g (on pourra utiliser la question 1.).
c. Etudier le signe de g
’.
d. Déterminer les limites de g en 0 et .
e. Dresser le tableau des variations de g .
f. Construire la courbe en précisant la tangente au point d’abscisse 1.
Correction
1. 𝑓 est un quotient de fonctions dérivables et le dénominateur ne s’annule pas, elle est
donc continue et dérivable sur .
22
22
22
1 2 1 1
'11
x x x x x
fx x x x x
.
2. a.
2ln ln
ln ln 1
x
g x f x
xx
donc, comme 𝑓 est définie sur , g est définie sur
0;
.
b.
' ' 'f g g f g
.
2
2
1 1 ln 1
' ' ln ln ln 1
x
g x f x
xx
xx
.
c. Le signe de g
’ dépend de celui de
2
1 ln 1 ln 1 lnx x x   
.
x
0
1/ e
e
1 ln x
+
+
0
−
1 ln x
−
0
+
+
g ’( x )
−
0
+
0
−
g ( x )
0
−1
1
3
0
d. En g se comporte comme les termes de plus haut degré en ln, soit
2
ln 1 1 0
ln
ln
xx
x  
; en 0 c’est pareil car ln 𝑥 tend vers , donc encore 0 comme limite.
f. Tangente au point d’abscisse 1 :
1yx
.

Logarithme népérien
Exercice 3
1. Soit
1
cos( ² )
32
() 1
x
fx x
; calculer
1
lim ( )
xfx
.
2.
3
( ) ln 5
ex
fx x
; calculer
lim ( )
xfx
.
3.
²3
( ) ln x
x
fx e
; calculer
lim ( )
xfx
.
4.
2ln 1
lim 2
x
x
x
.
5.
1
lim ln 1
xxx
.
Correction
1.
11
1
cos( ² ) ( ) (1)
32
lim lim '(1)
11
xx
xf x f f
xx
avec
( ) cos( ² )
321
(1) cos( ) cos( )
3 3 2
f x x
f
.
On calcule donc
'( ) 2 sin( ² )
3
f x x x
d'où
2 2 3
'(1) 2 sin( ) 2 sin 3
3 3 2
f
.
2.
33
lim lim ln ln 1
55
xx
ex ex
ee
xx
.
3.
² 3 3 3
lim ln lim ln( ² 3) ln lim ln( ² 1 ) lim ln ² ln 1
²²
x
x
x x x x
xx e x x x x
xx
e
,
or
3
lim ln 1 ln1 0
²
xx
et
ln
lim (ln ² ) lim (2ln ) lim 2 1
x x x
x
x x x x x x
car
ln
lim 0
x
x
x
.

Logarithme népérien
4.
2ln 1 ln 1
lim lim lim 0
22
x x x
xx
x x x
car
ln
lim 0
x
x
x
et
1
lim 0
2
xx
5.
0
1
ln 1
1 ln(1 )
lim ln 1 lim lim 1
1
x x X
X
x
xxX
x
.
Exercice 4
Soit ( un ) la suite définie sur
*
par
21 1 1 1
...
12
kn
n
kn
uk n n n
.
PARTIE A
1. Montrer que pour tout n de
*
,
132
2 2 2 1
nn n
uu
n n n
.
2. En déduire le sens de variation de la suite ( un ).
3. Établir alors que ( un ) est une suite convergente.
PARTIE B (L’objectif de cette partie est de déterminer la valeur de la limite de la suite ( un )).
Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; [ par :
1ln 1 x
fx xx
.
1. a. Justifier pour tout entier naturel n non nul l’encadrement :
1
1 1 1
1
n
ndx
n x n
.
b. Vérifier que
111 n
ndx f n
xn
.
c. En déduire que pour tout entier naturel n non nul,
1
01 fn nn
.
2. On considère la suite ( Sn ) définie sur
*
par
21 1 1 1
...
1 1 1 2 2 2 1
kn
n
kn
Sk k n n n n n n
.
a. Montrer que pour tout entier naturel n non nul,
0 1 ... 2 n f n f n f n S     
.
b. Déterminer les réels a et b tels que pour tout réel x distinct de −1 et de 0, on ait
111 ab
x x x x
.
c. En déduire l’égalité
1
21
nn
Snn
.
d. En utilisant les questions précédentes, déterminer alors la limite quand n tend vers de

Logarithme népérien
21 ... 2 kn
kn
f k f n f n f n
.
e. Vérifier que pour tout entier n > 1,
1
1 ... 2 ln 2
n
f n f n f n u n
.
f. Déterminer la limite de la suite ( un ).
Correction
21 1 1 1
...
12
kn
n
kn
uk n n n
.
PARTIE A
1.
11 1 1 1 1 1 1 1 1 1
... ...
1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2
nn
uun n n n n n n n n n
d’où
132
2 2 2 1
nn n
uu
n n n
.
2. La suite ( un ) est décroissante puisque
3 2 0n  
.
3. La suite est positive puisque somme de termes positifs ; elle est décroissante et minorée, elle converge
bien.
PARTIE B
1. a.
1
1 1 1 1 1 1
111
n
n
n x n dx
n x n n x n
.
b.
11
11
ln ln 1 ln ln
nn
n
n
n
dx x n n
xn
;
par ailleurs
1 1 1 1
ln ln
1
nn
fn
n n n n n
car
ln ln
ab
ba
.
c. Comme
1
1 1 1
1
n
ndx
n x n
, on a :
1 1 1 1 1 1 1 1
00
1 1 1 1
f n f n f n
n n n n n n n n n
.
2. a. Comme