Ex2 P11 CHUTE D`UNE GOUTTE D`EAU

Ex2 P11 CHUTE D’UNE GOUTTE D’EAU DANS L’AIR
Données :
On étudie la chute d’une goutte d’eau dans l’air . Elle est soumise à la force de frottement fluide :
. vk - = F
v
est le vecteur vitesse de la goutte à un instant quelconque durant sa chute
A. Établissement de l’équation différentielle du mouvement
1) Comparer les valeurs du poids de la goutte et de la poussée d’Archimède qu’elle subit. Montrer qu’on peut négliger une de
ces forces par rapport à l’autre.
2) Comparer la valeur de la force de frottement fluide ( pour v= 10 m/s ) à celle du poids de la goutte. Conclure.
3) Établir l’équation différentielle du mouvement
. β + vα =
dt vd
Exprimer  et  puis calculer-les numériquement.
B. Résolution analytique de l’équation différentielle
L’équation différentielle précédente a pour solution :
. )
= e - 1 (A v tB -
A et B sont 2 constantes.
On a représenté ci-contre le graphe de la vitesse v = f ( t ). On note vlim la vitesse limite de la goutte.
1) Que représente la constante A ? Exprimer littéralement A et calculer-le numériquement.
2) Déterminer l’expression littérale de la constante B. Faire l’application numérique.
3) On pose :
.
k m
= τ
Exprimer  en fonction de B. Montrer que  a la dimension d’un temps.
4) Réécrire l’expression de la solution v = f ( t ) en fonction de vlim et de .
5) Retrouver graphiquement les valeurs de vlim et de  , en justifiant.
6) Superposer au graphe ci-dessous le graphe v = h (t) de la vitesse pour une chute libre.
C. Résolution de l’équation différentielle par une méthode numérique, la méthode d’Euler
Pour un intervalle de temps t petit, l’équation différentielle s’écrit :
)
Δt
vΔ
(
t =  vt +  ( 1 )
D’autre part : v t + t = vt + vt ( 2 )
À partir des valeurs connues de v0 ( conditions initiales ) et de t (le pas de calcul qu’on choisit), on calcule les valeurs successives
de la vitesse en utilisant les relations ( 1 ) et ( 2 ).
1) Vérifier que : α = - 0,33 SI et  = 9,8 SI.
2) Compléter le tableau suivant, pour t = 2 s. Porter les points sur le graphe. Conclure.
t ( s )
0
2
4
6
8
vitesse v ( m/s )
v0 = …..
v1 = …..
vt ( m/s)
v0 = …….
v1 = ….
rayon de la goutte r = 0,50 mm
volume de la goutte V =
3
4
π r3 = 5,2 . 10 –10 m3
valeur du champ de pesanteur g = 9,8 m/s²
masse de la goutte m = 5,2 . 10 –7 kg
coefficient de frottement fluide pour la goutte : k = 6 π η r
coefficient de viscosité de l’air : η = 1,8.10-5 SI
masse volumique de l’eau ρeau = 1,0.103 kg/m3
masse volumique de l’air ρair = 1,3 kg/m3