Chute verticale d`un objet

Chute verticale d’un objet
Bilan des forces :
- le poids
- la force de frottement fluide (laminaire en v pour des objets petits avec une
vitesse faible, turbulente en v² pour des objets gros avec une vitesse fluide)
- la poussée d’Archimède
Equation du mouvement
Expression des forces :

P

f

mg

hv


Vg
On applique
la 2ème de loi de Newton :




P f
ma




m g h v m' g m a



( m m' ) g h v m a
 m m'  h 
a
g
v
m
m
m m'
Notons
m

 h
dv
g
v : Équation différentielle du mouvement
dt
m
On projette sur un axe vertical (Oz) :
dv
dt
Soit OG vecteur position : OG
dv
dt
z
h
v
m
h
z
m
g
g
0
h
vlim
m
0
Vitesse initiale à t 0 s , v(0)
dv
g
dt
gt
On obtient donc : v(t )
vlim
0
h
v
m
d OG
dt
g
Vitesse limite :
dv
vlim cte
dt
Par suite,
 
zk, v
g
gm
h


z k et a

dv
dt

zk

m' g
Chute libre d’un objet
Un objet est en mouvement de chute libre lorsqu’il n’est soumis qu’à l’action de
son poids.




P m a (2ème loi de Newton), et P m g
 
D’où a g
L’accélération est donc une constante vectorielle sous réserve que la chute se
fasse dans un champ de pesanteur uniforme.
Résolution de l’équation différentielle :
a
g
dv
dt
g
d2 z
d t2
g
z
g
On intègre :
et
v(t ) g t C1 or à t 0, v(0) 0 d' où v(t ) g t
On intègre de nouveau :
1 2
z (t )
gt
C2 or à t 0, z (0) 0
2
1 2
gt
D’où z (t )
2
z
gt