Chute verticale d`un objet

Chute verticale d’un objet
Bilan des forces :
- le poids
- la force de frottement fluide (laminaire en v pour des objets petits avec une
vitesse faible, turbulente en v² pour des objets gros avec une vitesse fluide)
- la poussée d’Archimède
Equation du mouvement
Expression des forces :
gmgvhfgmP 
'V
On applique la 2ème de loi de Newton :
v
m
h
g
mmm
a
amvhgmm
amgmvhgm
amfP
'
)'(
'
Notons
mmm '
v
m
h
g
tdvd 
: Équation différentielle du mouvement
On projette sur un axe vertical (Oz) :
v
m
h
g
tdvd
Soit
OG
vecteur position :
kzOG 
,
kz
td
OGd
v
et
kz
tdvd
a
gz
m
h
z
gv
m
h
tdvd
Vitesse limite :
0
lim tdvd
ctev
Par suite,
0
lim
v
m
h
g
hmg
vlim
Vitesse initiale à
0)0(,0 vst
g
tdvd
On obtient donc :
tgtv )(

Chute libre d’un objet
Un objet est en mouvement de chute libre lorsqu’il n’est soumis qu’à l’action de
son poids.
amP 
(2ème loi de Newton), et
gmP 
D’où
ga 
L’accélération est donc une constante vectorielle sous réserve que la chute se
fasse dans un champ de pesanteur uniforme.
Résolution de l’équation différentielle :
gzg
td zd
g
dt
vd
ga 2
2
On intègre :
tgtvvtCtgtv )(oùd'0)0(,0àor)( 1
et
tgz
On intègre de nouveau :
0)0(,0àor
2
1
)( 2
2ztCtgtz
D’où
2
2
1
)( tgtz