Chute d`un bille dans un fluide - Poly

POLY-PREPAS
Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux
- Section : i-Prépa annuel -
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Chapitre 7 : Chute d’une bille dans un fluide
I.
Deux nouvelles forces :
a) la Poussée d’Archimède :
Tout corps immergé dans un fluide (liquide ou gaz) est soumis à une force verticale ascendante
valeur égale au poids du volume V du fluide déplacé par le corps immergé :
⃗= − ⃗
⃗= −
⃗= −
.
⃗= −
.
∶
*
é
é
∶
é
é
=
é.
⃗
é.
⃗
é.
⃗
⃗ , de
.
b) Forces de frottement fluide :
·
Pour des vitesses relativement faibles (régime laminaire) : ⃗ = − . ⃗
* A savoir : Le coefficient k dépend de la forme, de la surface, de la nature de l’objet ; pour une bille
de rayon r plongée dans un fluide de viscosité h :
(valable pour les vitesses faibles)
·
·
II.
⃗ = −6 hr. ⃗
Pour des vitesses plus élevées (régime turbulent) : ⃗ = − . ⃗²
Formule de Stokes
Généralisation, selon la vitesse de l’écoulement, les forces de frottement fluide sont de la
forme : ⃗ = − . ⃗
Chute d’une bille dans un fluide :
Système : {la bille}
Référentiel : terrestre considéré comme galiléen
Bilan des forces : ⃗, ⃗, ⃗
2ème Loi de Newton : ∑ ⃗ = . ⃗
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⃗+ ⃗+
⃗=
. ⃗
a) 1er cas : si on peut négliger la Poussée d’Archimède
devant le poids P :
l’équation précédente devient :
⃗+ ⃗ =
−
On projette sur un axe [Oz) vertical descendant :
=
d’où, avec
= −
=
.⃗
et f = kv
+
Equation différentielle régissant les variations
de v au cours du temps
⇒
( )=
( −
∶
)
Point-Méthode :
Etant donnée l’équation différentielle
= −
+
(ED 1) et sachant que la bille est
lâchée à t = 0 sans vitesse initiale, déterminer A et B et b pour qu’une solution de cette équation
différentielle soit de la forme
Ø
( )=
+
( )=
+
donc :
= −
On remplace dans l’ED1 et on obtient : −
]+
En développant : −
D’où : −
= −
= −
63
−
−
+g
= −
+g
[ +
En identifiant les coefficients on obtient :
−
= −
+ g
0= −
=
soit :
=
( )=
Ainsi :
Ø Condition Initiale :
Or : (0) =
+
(0) = 0
Ainsi, :
=
∶ 0=
+
+
+
( )=
−
( )=
On retrouve la solution générale :
b) Détermination de la vitesse-limite
et
d’où :
= lim
=
∶
= −
( −
)
:
Ø 1ère méthode : quand t tend vers l’∞, lim
)=1
,
→
64
= 0 et lim
→
1−
=
→
(1 −
Ø 2ème méthode : on part de l’équation différentielle
=
si
=
,
=0
= −
l’équation différentielle devient : 0 = −
=
et :
+
+
La vitesse-limite de chute de la bille est donc :
=
c) Constante de temps
:
La constante de temps est la durée au bout de laquelle la vitesse a atteint 63% de sa vitesse-limite
∶
( )=
( ) = 63%
Soit à résoudre :
1−
ln(
1−
= 0,63
⟹
= 0,63.
= 0,63.
1−
) = ln 0,37 ≈ ln = −1
∶
65
= 1 − 0,63 = 0,37
⟹ −
=
= −1
Remarques :
·
Au bout de 5t, la vitesse est égale à la vitesse-limite, le régime permanent est atteint.
Preuve :
·
(5 ) =
1−
=
Reformulation de v(t)avec v
=
)~
(1 −
et τ ∶
( )=
1−
×1=
( −
.
=
)
d) 2ème cas : si on ne peut plus négliger la Poussée d’Archimède
P:
⃗+ ⃗+
On projette sur un axe [Oz) vertical descendant :
⃗=
−
. ⃗
−
devant le poids
=
Ø Si les frottements sont de la forme f = kv :
=
,
=
=
−
. .
ù:
,
− −
.
∶
∶
. .
−
si
=
=
l’équation différentielle devient : 0 =
et :
=
( −
66
. .
−
− −
− −
.
= .( −
Vitesse-limite :
=
.
)−
,
.( −
)
. .
=0
)−
.
.
=
Ø Si les frottements sont de la forme f = kv² , on obtiendrait de même :
= .( −
et
)−
=
( −
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²
)
Enoncé des exercices du Chapitre 7 :
Chute d’un bille dans un fluide
Partie A : exercices sur la Poussée d’Archimède
exercice 1 :
On place un glaçon parallélépipédique de masse M = 200g et de hauteur H = 20 cm dans de l’eau salée
de masse volumique reau salée = 1,027 g/mL. La masse volumique de la glace est rglace = 0,917 g/mL.
Le glaçon se trouvant à l’équilibre, calculer h, la hauteur émergée de celui-ci.
exercice.2 :
Un ballon météorologique a une masse de 5,00 kg lorsqu’il est vide et un rayon de 2,879 m quand il
est entièrement gonflé à l’hélium. Il porte une petite charge d’instruments de masse 10 kg, de volume
négligeable. On prend g = 9,81 m/s²
Sachant que l’air et l’hélium on respectivement des masses volumiques de 1,16 kg/m3 et 0,160
kg/m3, le ballon peut-il décoller ?
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Partie B : exercices sur la Chute d’une bille dans un fluide
exercice 1 : Goutte de pluie
1. Une goutte d’eau supposée sphérique, de rayon r = 1 mm, tombe de la base d’un nuage situé à
1000 m au-dessus du sol. On suppose qu’à l’instant initial la vitesse de la goutte est nulle.
On prendra, comme origine des temps, l’instant où la goutte quitte la base du nuage, et, comme origine
de l’espace, l’endroit où la goutte quitte le nuage.
a) En supposant que seul le poids de la goutte s’exerce sur elle, établir la loi horaire de son
mouvement.
b) Calculer la valeur de la vitesse de la goutte lorsqu’elle atteint le sol ; cela vous paraît-il
acceptable ?
2. En fait, la goutte arrive au sol avec une vitesse v = 10 m/s. Expliquer la différence entre cette
valeur et celle précédente. Comment appelle-t’on cette vitesse ?
3.
a) Donner l’expression de la Poussée d’Archimède ; la calculer
b) Comparer Poussée d’Archimède et poids de la goutte ; conclure
4. On modélise les frottements qui s’exercent sur la goutte par une force unique d’expression f
= k r v , où k est un coefficient à déterminer.
a)
b)
c)
d)
établir l’équation différentielle du mouvement
en déduire l’expression de vlim en fonction des données
calculer k et t, temps caractéristique du système
au bout de combien de temps la goutte d’eau atteint-elle sa vitesse limite ?
Données : reau = 1,0.103 kg.m-3 ; rair = 1,2 kg.m-3 ; g = 9,8 m.s-2
exercice 2 : Chute d'une gouttelette de pluie
Les microgouttelettes d'eau (supposées sphériques de rayon r) d'un nuage tombe dans l'atmosphère
avec une vitesse v.
1. Faire un bilan des forces agissant sur la gouttelette lors de sa chute verticale et les représenter
sur un schéma. La force de frottement due à l'air a pour expression : ⃗ = −6
⃗ où h
représente le coefficient de viscosité de l'air.
2. Vérifier que la Poussée d'Archimède peut être négligée.
Etablir l'équation différentielle de la gouttelette dans ce cas.
3. En déduire l'expression de la vitesse limite de chute en fonction de reau, r, g et h
4. Calculer cette vitesse limite.
5. Comparer cette vitesse limite à celle d'une goutte de pluie dont le rayon vaudrait r' = 200 r.
Données : r = 1mm ; reau= 1000 kg/m3 ; rair= 1,3 kg/m3 ; h = 20 10-6 SI ; g = 10 m/s²
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