Chute d`un bille dans un fluide - Poly
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POLY-PREPAS
Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux
- Section : i-Prépa annuel -
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Chapitre 7 : Chute d’une bille dans un fluide
I. Deux nouvelles forces :
a) la Poussée d’Archimède :
Tout corps immergé dans un fluide (liquide ou gaz) est soumis à une force verticale ascendante
⃗
, de
valeur égale au poids du volume V du fluide déplacé par le corps immergé :
⃗
= −
⃗
éé
⃗
= − éé.⃗
⃗
= − . éé.⃗
⃗
=
−
.
é
.
⃗
* ∶ ∶ =
.
b) Forces de frottement fluide :
· Pour des vitesses relativement faibles (régime laminaire) : ⃗= − .⃗
* A savoir : Le coefficient k dépend de la forme, de la surface, de la nature de l’objet ; pour une bille
de rayon r plongée dans un fluide de viscosité h : ⃗= −6
h
r.⃗ Formule de Stokes
(valable pour les vitesses faibles)
· Pour des vitesses plus élevées (régime turbulent) : ⃗= − .⃗²
· Généralisation, selon la vitesse de l’écoulement, les forces de frottement fluide sont de la
forme : ⃗= − .⃗
II. Chute d’une bille dans un fluide :
Système : {la bille}
Référentiel : terrestre considéré comme galiléen
Bilan des forces :
⃗
,
⃗
,
⃗
2ème Loi de Newton : ∑⃗=.⃗
63
⃗
+
⃗
+
⃗
= .
⃗
a) 1er cas : si on peut négliger la Poussée d’Archimède devant le poids P :
l’équation précédente devient :
⃗
+ ⃗ = .⃗
On projette sur un axe [Oz) vertical descendant : −=
d’où, avec =
et f = kv
=
−
+
Equation différentielle régissant les variations
de v au cours du temps
⇒∶
(
)
=
(
−
)
Point-Méthode :
Etant donnée l’équation différentielle
= −
+ (ED 1) et sachant que la bille est
lâchée à t = 0 sans vitesse initiale, déterminer A et B et b pour qu’une solution de cette équation
différentielle soit de la forme ()=+
Ø ()=+ donc :
= −
On remplace dans l’ED1 et on obtient : − = −
[+
]+
En développant : − = −
−
+ g
D’où : − = −
−
+ g
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En identifiant les coefficients on obtient :
− = −
0= −
+ g
soit : =
=
Ainsi : ()=
+
Ø Condition Initiale : (0)= 0
Or : (0)=
+
=
+
∶ 0 =
+ , ∶ = −
Ainsi, : ()=
−
On retrouve la solution générale : ()=
(−
)
b) Détermination de la vitesse-limite :
Ø 1ère méthode : quand t tend vers l’∞, lim→
= 0 et lim→(1−
) = 1
et = lim→
1−
=
d’où : =
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Ø 2ème méthode : on part de l’équation différentielle
= −
+
si = =,
=0
l’équation différentielle devient : 0 = −
+
et : =
La vitesse-limite de chute de la bille est donc :
=
c) Constante de temps :
La constante de temps est la durée au bout de laquelle la vitesse a atteint 63% de sa vitesse-limite
∶ ()=
1−
()= 63% = 0,63.
Soit à résoudre :
1−
= 0,63.
1−
= 0,63 ⟹
= 1 −0,63 = 0,37
ln(
) = ln0,37 ≈ ln
= −1 ⟹ −
= −1
∶
=
6
7
8
9
1
/
9
100%
