Exercice I:Chute d`une goutte de pluie (5,5 points)

BAC S 2010 Asie CALCULATRICE INTERDITE Correction © http://labolycee.org
Exercice II : CHUTE D’UNE GOUTTE DE PLUIE (5,5 points)
1. TEMPS CALME
1.1.1. La valeur de la poussée d’Archimède de l’air sur la goutte de pluie est égale à la valeur du
poids de l’air déplacé par la goutte : FA = 2.V.g.
1.1.2.
11
A 2 2 2
.V.g
P m.g
F .V.g .V.g
1.1.3.
A
P 1000 1 1000
F 1,3 1,3
= 0,77 × 1000 = 7,7 × 102
La valeur P du poids de la goutte de pluie est environ 770 fois plus grande que la valeur FA de la
poussée d’Archimède : donc FA est bien négligeable devant P.
1.2.1. Le système est la goutte de pluie et son mouvement est étudié dans le référentiel terrestre
supposé galiléen. On choisit un axe vertical (Oz) orienté vers le bas selon le vecteur unitaire
k
(voir schéma). En négligeant la poussée d’Archimède, la goutte est soumise à :
- son poids :
P m.g m.g.k
avec
g g.k
- la force de frottement :
GG
f K.v K.v .k   
La deuxième loi de Newton donne :
P
+
f
=
G
m.a
En projection de selon (Oz) :
mg – K.vG = m.aG
mg – K.vG = m.
G
dv
dt
G
dv
dt
= g –
K
m
.vG
Finalement :
G
dv
dt
= –
K
m
.vG + g
L’équation obtenue est bien de la forme :
G
dv
dt
= A.vG + B
avec : A = –
K
m
et B = g
1.2.2. B a la même unité que g donc B s’exprime en m.s2.
D’après l’équation différentielle A.vG à la même unité que B donc A.vG s’exprime en m.s2
Comme vG s’exprime en m.s1 alors A s’exprime en s1.
1.3.1. Accélération à la date t = 3,4 s :
GG
dv (t 3,4) A.v (t 3,4) B
dt
G
dv (t 3,4)
dt
= – 3,2410–1 21,0 + 10 = –3,24  2,10 + 10 = – 6,80 + 10 = 3,2 m.s2
1.3.2. Vitesse à la date t = 3,6 s :
vG(t = 3,6) = vG(t = 3,4) +
G
dv (t 3,4)
dt
. t
vG(t = 3,6) = 21,0 + 3,2 × 0,2 = 21,0 + 0,64 = 21,6 m.s1.
1.3.3. Pour que les valeurs des vitesses calculées par la méthode d’Euler, soient les plus
proches possibles des valeurs réelles, il faut diminuer le pas de calcul t.
O
k
z
P
f
G
g

1.4.1. Comme aG =
G
dv
dt
alors la valeur de l’accélération est égale au coefficient directeur de la
tangente à la courbe vG(t). Graphiquement, on constate qu’au cours du temps
G
dv
dt
diminue,
donc l’accélération diminue au cours du temps.
1.4.2. Lorsque le régime permanent est atteint, vG est constante donc aG =
G
dv
dt
= 0. En régime
permanent l’accélération est nulle.
La deuxième loi de Newton donne alors :
P
+
f
=
G
m.a 0
. Ainsi
P
+
f
0
donc en projection
selon l’axe vertical (Oz) orienté vers le bas : P – f = 0 soit finalement : P = f.
En régime permanent, la valeur du poids est égale à celle de la force de frottement.
1.4.3. En régime permanent vG = vlim et P = f
 m.g = K. vlim finalement :
lim m.g
vK
2. TEMPS VENTEUX
2.1. Après la rafale de vent, la goutte n’est soumise qu’à son poids.
La deuxième loi de Newton impose alors :
P
=
G
m.a
m.g
=
G
m.a
G
a
=
g
En projection dans le repère (Oxy), il vient :
x
Gy
a0
aag
Comme
G
Gdv
adt
alors
x
x
Gy
y
dv
a0
dt
adv
ag
dt
donc
x1
Gy2
v Cte
vv g.t Cte
À t = 0 on a :
02 2
v v v v.j v .i   
donc
G0
v (t 0) v
12
2
Cte v
0 Cte v
D’où :
x2
Gy
vv
vv g.t v
Comme
GdOG
vdt
alors
x2
G
y
dx
vv
dt
vdy
v g.t v
dt
donc
21
22
x v .t Cte'
OG 1
y g.t v.t Cte'
2
A t = 0 on a :
OG(0) 0
1
2
0 Cte' 0
0 0 Cte' 0
Finalement :
2
2
x v .t
OG 1
y g.t v.t
2
2.2. On isole le temps « t » de l’équation : x = v2.t que l’on reporte dans y(t) :
2
x
tv
2
22
1 x x
y(x) .g v.
2 v v
finalement
2
22
2
gv
y(x) .x .x
v
2v
.
Il s’agit de l’équation d’une parabole.
O
0
v
y
x
2
v
v
g