Colles MPSI_Semaine 2A, du 1-10 au 5-10

MPSI
Chapitre 14
RÉSONANCE D'INTENSITÉ, PUISSANCE EN RÉGIME SINUSOÏDAL PERMANENT
14-1 Dipôle RLC série en régime sinusoïdal permanent, résonance d'intensité
14-1-1 Circuit, limites de la modélisation utilisée
uR
i
R
e
L
uL
C
q
uC
Les résistances éventuelles de la bobine et du générateur sont incluses dans R.
On suppose la résistance de fuite du condensateur infinie et la capacité de la bobine (due aux spires
séparées les unes des autres par un vernis isolant) nulle.
On suppose que R est indépendante de . Or la géométrie des lignes de courant est modifiée par le
phénomène d'induction dû au champ magnétique créé par le courant lui-même. Il en résulte que les lignes de
courant se concentrent sur la surface des conducteurs, sur une épaisseur d'autant plus faible que  est plus
élevée. C'est "l'effet de peau" et il conduit à une augmentation de la résistance avec ..
14-1-2 Impédance du dipôle RLC série
1 

L'impédance complexe du dipôle RLC série est Z = R  j L 
 = Z exp(j) . Son impédance
C 

1 

2
L 


1 

2
C


 est le déphasage de e par rapport
R

L


est donc Z = |Z| =

 et  = Arg(Z) = Arctan
C 
R







R
à i. On remarque que Z = R 1  tan 2 ()  R cos  donc cos()  .
Z
14-1-3 Pulsation propre, facteur de qualité
Z est minimale et  = 0 pour  = 0. 0 est la pulsation propre du dipôle RLC série, elle vérifie la
L0
1
1

formule de Thomson L C 02 = 1 soit 0 =
. Le facteur de qualité est Q 
.
R
RC 0
LC
En posant x 

N T0


0 N 0
T
(pulsation réduite), la réactance du dipôle S  L 
1
s'écrit
C
2
1
1
1


encore S  L0 x 
= RQ  x   et l'impédance du dipôle est Z = R 1  Q 2  x   .
x
C 0 x
x


 
1 
S
Le déphasage de e par rapport à i est   Arc tan   soit encore   Arc tan  Q x    .
x 
R
 
Le rapport des amplitudes (ou des valeurs efficaces) des tensions aux bornes de R et de la source est
RI R
1
 
.
2
E Z
1


1  Q2  x  
x

14-1-4 Étude de la réponse du dipôle
L'étude de la réponse, en régime permanent, du dipôle R L C série à une excitation sinusoïdale peut
RI
donc se faire en étudiant les fonctions
= f(x) et  = g(x) et leur évolution en fonction du paramètre Q.
E
 
1
1 
et g( x )  Arc tan  Q x    .
f (x) 
2
x 
 
1

1  Q2  x  
x



f(0) = 0. f(1) = 1. f() = 0. g(0) =  . g(1) = 0. g() = .
2
2
1
1
1 2
x 3
x
x
et g' ( x )  Q
.
f ' ( x )  Q 2
2
3


1


1 2 

1  Q2  x  
2
1

Q
x



x


x 3  




f '(0) =
1
1
. f '(1) = 0. f '() = 0. g'(0) = . g'(1) = 2 Q. g'() = 0.
Q
Q

/2
Q
Q=20
/4
Q=5
Q=1
Q=0,2
x1
Q=0
x

0
x

0
x2
 /4
 /2
RI
E
Q=0
Q=0,2
1/ 2
Q=1
Q=20
Q
x1
x2
Q=5
14-1-5 Résonance d'intensité, surtension à la résonance
Le maximum d'amplitude de l'intensité correspond à Z minimale donc à x = 1 et  = 0, on a alors
résonance d'intensité. Dans ce cas,  est nul, i et e sont en concordance de phase, et Z = R. On peut noter,
avec l'indice 0 pour cette situation:
E
Z0 = R, S0 = 0, I0 =
, 0 = 0, cos(0 ) = 1.
R
Z0 = R donc UR0 = E et uR0 = e t .
1
  j QR   Z L 0 donc UL0 = j QRI et UC0 = – j QRI = – UL0. Les
ZL0 = j L0 = j QR et ZC0 =
j C 0
tensions aux bornes de L et de C sont donc opposées à chaque instant : uL0 = – uC0 t et elles ont même
amplitude : UL0 = UC0 = Q RI = Q E.
U
U
Le facteur de qualité est donc aussi le "facteur de surtension" à la résonance : Q  C0  L0 .
E
E
14-1-6 Acuité de la résonance, bande passante (à – 3 dB)
Calculons les pulsations 1 = x1 0 et 2 = x2 0 (avec x1 < x2) pour lesquelles I 
I0
2
. On a alors :
2
1
E
E

donc Z = R 2 soit R 1  Q 2  x    R 1  1 donc x1 et x2 sont les solutions positives de

x
Z R 2

1
1
x
l'équation x    soit x 2   1  0 .
x
Q
Q
Les racines sont x  
1

2Q
1
2Q2
Leur différence est x = x 2  x 1 
 1 donc x 1  
1

2Q
1
2Q
2
 1 et x 2 
1

2Q
1
2Q2
1 .
2  1 1

0
Q
La bande passante en pulsation est  = 2 – 1, elle s'exprime donc par  
0 R
 .
Q
L
N0
R

.
Q
2L
On verra au chapitre 15 pourquoi on appelle encore la bande passante "bande passante à –3 décibels"
On voit que la bande passante est d'autant plus large que R est plus grand et L plus petit; elle ne
dépend pas de la capacité.
Il est plus intéressant de comparer  à 0 : la résonance est d'autant plus aiguë que le rapport
0 N 0
1
= Q est plus grand, donc le facteur de qualité exprime aussi l'acuité de la résonance, plus


 N x
il est grand, plus la résonance est aiguë.
Remarquons encore que pour les extrémités de la bande passante, Z1 = Z2 = R 2 . Il en résulte que


les réactances sont : S1 = – R et S2 = R et les déphasages sont alors :  1   et  2  .
4
4
La bande passante en fréquence est N = N2 – N1 =
14-2 Puissance électrocinétique en régime périodique
On ne considère ici que le cas des régimes lentement variables (ARQS).
14-2-1 Puissance instantanée, valeur moyenne de la puissance
La puissance électrocinétique instantanée reçue par un dipôle en régime continu ou lentement
variable est p = u i (convention récepteur).
L'énergie électrocinétique reçue de t1 à t2 par le dipôle est donc : W =
t2
t
u i dt .
1
t2
t u i dt
W
 1
La valeur moyenne de la puissance reçue entre t1 et t2 est donc  p 
t 2  t1
t 2  t1
14-2-2 Puissance moyenne en régime périodique
En régime périodique (lentement variable), on appelle "puissance moyenne" la valeur moyenne de
t1  nT
W t1 u i dt 0 u i dt


la puissance pour une durée d'un nombre entier de périodes : P 
nT
nT
T
La "puissance moyenne" ne s'identifie à 1a valeur moyenne exacte la puissance que pour un nombre
entier de périodes (ou pour un temps t2 – t1 >> T à certaines conditions).
T
14-2-3 Valeurs efficaces en régime périodique
La valeur efficace UEF d'une tension périodique u est la valeur de la tension continue qui, dans un
même conducteur ohmique, produirait en un nombre entier de périodes la même quantité de chaleur par
effet Joule que la tension périodique u.
On a donc, avec G, conductance du conducteur ohmique considéré :
T
P=G
UEF2
=
0 G u
2
dt
T
0 u
donc U EF 
2
dt
T
T
UEF est donc la racine carrée de la valeur moyenne de u2 sur une période (tension "quadratique
moyenne" sur une période).
La valeur efficace IEF d'une intensité périodique i est la valeur de l'intensité continue qui, dans un
même conducteur ohmique, produirait en un nombre entier de périodes, la même quantité de chaleur par
effet Joule que l'intensité périodique i.
On a donc, avec R, résistance du conducteur ohmique considéré :
T
P = R IEF2 =
0 R i
2
dt
T
T 2
donc I EF 
0 i
dt
T
IEF est donc la racine carrée de la valeur moyenne de i2 une période (intensité "quadratique moyenne"
sur une période).
14-3 Puissance moyenne en régime sinusoïdal permanent
14-3-1 Tension efficace, intensité efficace
Si  est le déphasage de la tension sur l'intensité dans le dipôle et U et I les amplitudes de u et de i,
T 2
on a par exemple : i = I cos(t ) et u = U cos(t + ). I EF 
On a donc : I EF 
I
2
0 I
cos 2 (t )dt
T
. Le même type de calcul donne : U EF 
0 1  cos(2t )dt
T
I
2T
.
U
2
14-3-2 Puissance moyenne, énergie reçue
UI
cos( 2t  )  cos()  .
2
à la date t2 = t1 + nT +  (avec   [0, T[ ) est
La puissance instantanée est : p = UI cos(t) cos(t + ) =
L'énergie électrocinétique reçue de la date t1
t1  nT  
t2
UI  t1  nT
W
cos( 2t  )dt  
cos( 2t  )dt   cos()dt 
 t
t1  nT
t1

2  1
Le premier terme de la somme est nul, le second est compris entre –  et +  et le troisième est
UI
( t 2  t 1 ) cos()    W  UI ( t 2  t 1 ) cos()   , ou, avec les valeurs
(t2 – t1) cos(). On a donc
2
2
efficaces : U EF I EF (t 2  t 1 ) cos()    W  U EF I EF (t 2  t 1 ) cos()  
Pour un nombre entier de périodes t2 = t1 + nT ( = 0) : W = nT UEF IEF cos(). En divisant par la
durée nT, on obtient :
UI
cos( )  U EF I EF cos( )
La puissance moyenne P 
2
UI
 U EF I EF , le facteur de puissance est cos() et
La puissance apparente (en V.A) est PA 
2
P  PA cos() .
On voit sur l'encadrement effectué précédemment pour W que l'énergie électrocinétique reçue ne vaut
W = P (t2 – t1) = UEFIEF cos() que dans l'un des cas suivants :
- si t2 – t1 = n T,
- si t2 – t1 cos() >> , donc si t2 – t1 >> T et cos() pas trop petit.
14-3-3 Remarque
Pour une puissance moyenne donnée reçue par un utilisateur du réseau E.D.F. l'intensité efficace sera
d'autant plus grande et les pertes par effet Joule le long des lignes de transport seront d'autant plus grandes
que le facteur de puissance sera plus petit. Aussi, E.D.F. impose aux utilisateurs de compenser l'effet inductif
des bobinages des moteurs par l'effet capacitif de condensateurs de telle façon que le facteur de puissance
soit d'au moins 0,9 sous peine d'amendes.
14-3-4 Autre expression de la puissance moyenne.
Pour un dipôle linéaire d'impédance complexe Z = R + j S on a u = Z i et  = Arg(u) – Arg(i) donc
R
Φ = Arg(Z), le facteur de puissance est cos() =
Z
RI 2
2
UI
ZI 2 R
 RI EF .
La puissance moyenne est P =
soit P 
cos() 
2
2
2 Z
Sur un nombre entier de périodes ou sur un temps très long, si cos() n'est pas trop petit, l'énergie
reçue est W = RIEF2 (t2 – t1).
L'énergie dissipée par effet Joule est, d'après la définition de IEF : WJ = RIEF2 (t2 – t1). En un nombre
entier de périodes toute l'énergie électrocinétique reçue est donc alors dissipée par effet Joule.
14-3-5 Adaptation d'impédance
Pour un dipôle d'impédance complexe Z = R + j S branché sur un générateur de f.é.m. complexe
E
E
e = E exp(j t), d'impédance complexe z = r + j s, on a I 
donc I 
.
Zz
(R  r ) 2  (S  s) 2
La puissance moyenne reçue par le dipôle P 
RI 2
RE 2
=
2
2 (R  r ) 2  (S  s) 2


elle sera maximale pour
 R 

d
(R  r ) 2  (R  r ) 2  2R (R  r )


0
E, r et s donnés si on adapte le dipôle de telle façon que S = – s et
dR
(R  r ) 4
soit R2 + 2 Rr + r2 – 2 R2 – 2 Rr = r2 – R2 = 0 donc R = r . Le dipôle est donc adapté en puissance si et
seulement si Z  z * (z* pour conjugué de z).
2
E 2 E EF

La puissance moyenne maximale est PM 
.
8r
4r