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Christian Cumenge
Lycée Bellevue , Toulouse
X - option PC - concours 1998
Deuxième composition de Mathématiques
Correction
Première Partie
Nous noterons dans la suite


U n le vecteur d'origine Mn et d'extrémité Mn+1 et Z n le vecteur d'affixe zn .
Le triangle OM0M1 est isocèle : les angles en M0 et M1 valent  ; on en déduit en tenant compte
 
de l'orientation que ( Z , Z )    2   . La condition d'élasticité entraine que le triangle OMnMn+1
1.a)
0 1
est égal au triangle OMn-1Mn ; on aura donc toujours
i
d'où z n 1  e z n et z
1.b)
n
e
Introduisons le point
in 
z
0
 
(Z , Z
)
n n 1
par une récurrence immédiate .
M 'j 1 diamétralement opposé à Mj-1 : le triangle Mj-1Mj M 'j 1 est rectangle
en Mj ; comme l'angle en Mj est  , on a MjMj-1=2cos ; la vitesse de la boule étant égale à 1, le temps mis
par la boule pour parcourir la corde Mj-1Mj est 2cos et le temps nécessaire pour atteindre Mn est
2n cos( ) .
1.c)
Tenant compte du temps nécessaire pour parcourir une corde nous notons dans cette question
t
u
. Si [u]=j , alors M(t) est sur la corde M jMj+1 , et , le mouvement étant uniforme, M(t) est
2 cos 
barycentre de Mj et Mj+1 avec les coefficients 1-(u-[u]) et (u-[u]) respectivement , d'où :
z(t) = (u-[u])zn+1+(1-(u-[u])zn = e
in
z (1  u  u   e
0
i
(u  u ))  z (t )
2.a)
Le mouvement de la boule est périodique si et seulement si il existe un entier naturel non nul N tel que
z N =z0 , soit N muliple de 2 , soit encore " commensurable à ". Ceci revient à dire que  est
p
p
une fraction irréductible.
 , avec
q
q
2 Np
N
p
p N
Dans ce cas N  N 
est
  2 (  N ) est multiple de 2 si et seulement si N 
q
2
q
q 2
commensurable à  :

un entier. Appelons N0 le plus petit entier naturel non nul vérifiant cette condition (par exemple : N0=6 si =
/3 , N0=4 si =/4 , N0=10 si =/5 et N0=3 si =/6) ; la période est alors le temps nécessaire à la boule
pour parcourir N0 cordes de la trajectoire, soit :

p
p
est la forme réduite de
.
T  2 N 0 cos(  ) où

q
q
2.b)
Si le mouvement de la boule est périodique, sa trajectoire est une ligne polygonale fermée, donc une
partie fermée du plan.
(Remarque : image du compact [0,T] par une application continue).
Deuxième partie
3.a)
La condition de choc donnée dans cette partie sur la composante radiale peut s'écrire :
tan( r ) 
1
tan( r 1 )
f
d'où
tan( n ) 
1
tan( ) .
fn


et f  0,1 , ceci prouve que lim tan( n )   et lim  n 
.
n 
n 
2
2

On en déduit que lim 2 n    0 : le terme général de la série tend vers zéro, en étant de signe constant
Comme 0   
n
négatif. On peut donc légitimement utiliser le critère d'équivalence .
Or

2
  n ~cotan(n)~ f ncotan ( ) ; la série de terme général 2 n   est donc de même nature que la
série géométrique de raison f ; elle est donc convergente.
3.b)
Comme dans 1.a) , l'angle
L'argument de zn est donc

 
(Z n , Z n1 ) a pour mesure   2 n , ou encore 2 n   .
k  n 1
 (2
k 0
k
  ) ; la suite (zn) , dont les éléments sont des complexes de
i
module 1 , est donc convergente et sa limite est Z= e z0 .
3.c)
La composante tangentielle vt du vecteur vitesse est invariante au cours du mouvement, et est
strictement positive car
 
   0, 
 2
; d'autre part la corde MnMn+1 est de longueur 2 cos  ; le temps de
n
parcours Tn entre M0 et Mn est donc inférieur à
Or 0  cos  k  cotan k  f cotan
k
2 k  n 1
 cos  k .
v k 0

donc
 cos
k 0
k
est une série convergente ; la série
2 
 cos  k est donc convergente : le point M d'affixe Z est donc atteint en un temps fini T.
v k 0

4.a)
La seule vérification à faire est celle de la définition et de la continuité à gauche de W (t ) au temps T.
Le mouvement est rectiligne uniforme entre Mn et Mn+1 , de vecteur vitesse d'affixe :
zn 1  zn
ei ( 2 n  )  1
où vn désigne la vitesse entre Mn et Mn+1 .
 zn
2 cos  n
Tn 1  Tn
vn
Or lim z n  Z , lim vn  vt et :
n 
i ( 2 n  )
n 
 2 cos 2  n

cos(2 n   )  1 1 sin( 2 n   )

 i
 
 i sin  n 
2 cos  n
2 cos  n
2
cos  n
 2 cos  n

i ( 2 n  )



e
1
 i car lim  n 
donc lim
d'où lim W (t )  W (T ) d' affixe  izvt
n 
n  2 cos 
t T
2
n
e
1

4.b)
Le vecteur W (T ) est tangent au bord du billard; le mouvement de la boule pout
circulaire uniforme de vitesse vt , vitesse tangentielle initiale.
t  T est donc
Considérant que v0 est de module 1, on a vt=sin ; la vitesse angulaire est donc   sin  et le
 i ( t T )
mouvement pour t  T est décrit par z (t )  Ze
( en sens rétrograde vu la définition de  ).
4.c)
t
5.a)
T
t
t
1
1
1
1
1
) g ( ( )) d = A(t)+B(t)
g ( ( )) d 
g ( ( )) d =  g ( ( )) d + ( 


t t  T T
t0
t T T
t0
Or g est continue et périodique, donc bornée sur R par une constante K , d'où :
T .K
T
et B(t ) 
(t  T ) K
t
t.(t  T )
On en déduit : lim A(t )  lim B (t ) =0 et on conclut :
A(t ) 
t 
t 
t
t
1
1
lim (  g ( ( )) d 
g ( ( )) d  0
t  t
t  T T
0
5.b)
Pour
t  T on a  (t )   (T )   (t  T ) , d'où :
t
1
1
g ( ( )) d 

t T T
  (t  T )
 (T )  ( t T )
g (u )du


;
(T )
Or la valeur moyenne d'une fonction périodique sur un intervalle d'amplitude a quand
valeur moyenne de la fonction sur une période , donc :
a   tend vers la
2
t
1
1
g ( ( )) d 
g (u )du et, en utilisant 5.a) :


t  t  T
2

T
0
lim
2
t
1
1
lim  g ( ( )) d 
g ( )d .
t  t
2 0
0
Troisième partie
6.a)
G  est une partie non vide de R minorée par 0 ; elle possède donc une borne inférieure a.
a  G donc na, n  Z est inclus dans G.
x

Soit x dans G et n=   ; alors y=x-na est dans G et vérifie : 0  y  a , donc y=0 .
a

Si x est dans G et stictement négatif alors (-x) est élément de G , donc (-x) est multiple de a , donc x
est multiple de a . On a donc G  n.a,n  Z ; on peut conclure par double inclusion :
G  Ga  n.a,n  Z  .
6.b)
Supposons a=0 ;
6.b)
Si a=0 n'est pas adhérent à G , il existe
 0


minorant de G , et la borne inférieure de G

tel que
G   0,   soit vide, donc  est un
n'est pas 0.

On conclut : 0 est un point adhérent à G .
R 2 est adhérent à G , nous montrons que tout intervalle x   , x    (


>0) contient un point de G. Puisque 0 est adhérent à G , il existe g  G tel que o<g< ; soit
G R.
n  x / g  et g1 =ng ; alors g1  G et g1  x   , ce qui donne le résultat :
Pour montrer que tout point x de
7.a)
Il est clair que H  est un sous-groupe du groupe additif de R ; il suffit ainsi, d'après 6.a) et 6.b) , de
prouver que :
inf( H  )  a n'est pas stictement positif.
Or, si c'est le cas, H  est du type Ga ; en particulier
=p.a et 2  q.a , avec p et q deux entiers, donc
  Ga
 2p


q
(pour k=0) et
2  Ga (pour l=0), soit 
est une fraction, ce qui est exclu. On est par
conséquent dans le cas du 6.c) : tout nombre réel est un point adhérent à H  .
7.b)
Il existe une suite tendant vers 0 d'éléments de
H  de la forme kn   2ln ; si une infinité de ces
kn sont des entiers positifs on dispose directement d'une sous-suite tendant vers 0 constituée d'éléments de S

. Si ce n'est pas le cas, on a une infinité de kn négatifs et la sous-suite correspondant à ceux-ci est une suite
d'éléments de
S ' tendant vers 0.
7.c)
Si la suite (kn) est bornée, la suite (ln) l'est également car dans le ccas contraire la suite (-kn+2ln)
serait non bornée donc divergente. Comme la suite (kn) n'est pas bornée on peut extraire de la suite (-kn+2ln
) une sous-suite _ notée encore (-kn+2ln) _ vérifiant la condition supplémentaire : (kn) ten en croissant
vers l'infini.
Posons  k n   2ln   n , (n) étant alors une suite tendant vers 0 de nombres stictement positifs. On
peut extraire de (n) une sous-suite
 
 (n )
décroissante tendant vers 0; on obtient :
  ( n )    ( n 1)  (k ( n 1)  k ( n ) )   2 (l ( n 1)  l ( n ) )
.
 0 avec Kn  N .
En posant Kn= k ( n 1)  k ( n ) et Ln= l ( n 1)  l ( n ) on a K n   2Ln 

7.d)
par
Le raisonnement de 7.b) et 7.c) peut être repris pour un réel positif quelconque x en remplaçant S
S  ( x)  k  2l k  N , l  Z , k  2l  x ; x est alors adhérent à

S (x) , S (x) est évidemment inclus dans S et donc tout nombre réel positif est un point adhérent à S .




8.a)
alors
8.b)
Soit  une mesure positive de l'argument de
z k n  z0 e
i ( k n   2ln )
z / z0 et (kn+2ln) une suite de S tendant vers  ;
tend vers z .
Comme l'angle de réflexion est  , la distance de O à la corde MnMn+1 est
sin(  ) . De même
tout point de la couronne est situé sur une corde AB faisant un angle  avec (AO) ; un tel point est barycentre
du système pondéré (A(),B(1-)) . Choisissons une suite ( z k n ) telle que lim z k n  z A ( z A étant l'affixe de
n 
A) et posons tn tel que M(tn) soit le barycentre du système pondéré ( ( M k n ( ), M k n1 (1   )) (voir 1.c)) .
La suite z(tn) a alors z pour limite.
8.c)
Les points du billard adhérents à la trajectoire de M 0 sont donc les points de la couronne
C .