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Christian Cumenge
Lycée Bellevue , Toulouse
X - option PC - concours 1998
Deuxième composition de Mathématiques
Correction
Première Partie
Nous noterons dans la suite
n
U
le vecteur d'origine Mn et d'extrémité Mn+1 et
n
Z
le vecteur d'affixe zn .
1.a) Le triangle OM0M1 est isocèle : les angles en M0 et M1 valent ; on en déduit en tenant compte
de l'orientation que
 2)
1
,
0
(ZZ 
. La condition d'élasticité entraine que le triangle OMnMn+1
est égal au triangle OMn-1Mn ; on aura donc toujours
) 1
,( n Z
n
Z
d'où
n
i
nzez 1
et
0
z
in
e
n
z
par une récurrence immédiate .
1.b) Introduisons le point
'1j
M
diamétralement opposé à Mj-1 : le triangle Mj-1Mj
'1j
M
est rectangle
en Mj ; comme l'angle en Mj est , on a MjMj-1=2cos ; la vitesse de la boule étant égale à 1, le temps mis
par la boule pour parcourir la corde Mj-1Mj est 2cos et le temps nécessaire pour atteindre Mn est
)cos(2 n
.
1.c) Tenant compte du temps nécessaire pour parcourir une corde nous notons dans cette question
cos2 t
u
. Si [u]=j , alors M(t) est sur la corde MjMj+1 , et , le mouvement étant uniforme, M(t) est
barycentre de Mj et Mj+1 avec les coefficients 1-(u-[u]) et (u-[u]) respectivement , d'où :
z(t) = (u-[u])zn+1+(1-(u-[u])zn =
)())(1(
0tzuu
i
euuz
in
e
2.a) Le mouvement de la boule est périodique si et seulement si il existe un entier naturel non nul N tel que
N
z
=z0 , soit N muliple de 2 , soit encore " commensurable à ". Ceci revient à dire que est
commensurable à :
q
p
, avec
q
p
une fraction irréductible.
Dans ce cas
)
2
(2
2q p
N
N
q
Np
NN 
est multiple de
2
si et seulement si
2
N
q
p
N
est
un entier. Appelons N0 le plus petit entier naturel non nul vérifiant cette condition (par exemple : N0=6 si =
/3 , N0=4 si = /4 , N0=10 si = /5 et N0=3 si = /6) ; la période est alors le temps nécessaire à la boule
pour parcourir N0 cordes de la trajectoire, soit :
)cos(2 0
q
p
NT 
où
q
p
est la forme réduite de .
2.b) Si le mouvement de la boule est périodique, sa trajectoire est une ligne polygonale fermée, donc une
partie fermée du plan.
(Remarque : image du compact [0,T] par une application continue).
Deuxième partie

3.a) La condition de choc donnée dans cette partie sur la composante radiale peut s'écrire :
)tan(
1
)tan( 1 rr f
d'où
)tan(
1
)tan(
n
nf
.
Comme
2
0
et
1,0f
, ceci prouve que
 )tan(lim n n
et
 2
lim
n
n
.
On en déduit que
  02lim
n
n
: le terme général de la série tend vers zéro, en étant de signe constant
négatif. On peut donc légitimement utiliser le critère d'équivalence .
Or
n
2
~cotan(
n)~
)(cotan
n
f
; la série de terme général
n
2
est donc de même nature que la
série géométrique de raison f ; elle est donc convergente.
3.b) Comme dans 1.a) , l'angle
),( 1nn ZZ 
a pour mesure
n
2
, ou encore
n
2
.
L'argument de zn est donc
 1
0)2(
nk
kk
; la suite (zn) , dont les éléments sont des complexes de
module 1 , est donc convergente et sa limite est Z=
0
zei
.
3.c) La composante tangentielle vt du vecteur vitesse est invariante au cours du mouvement, et est
strictement positive car
2 ,0
; d'autre part la corde MnMn+1 est de longueur
n
cos2
; le temps de
parcours Tn entre M0 et Mn est donc inférieur à
1
0cos
2nk
kk
v
.
Or
cotancotancos0 k
kk f
donc
0cos kk
est une série convergente ; la série
0cos
2
kk
v
est donc convergente : le point M d'affixe Z est donc atteint en un temps fini T.
4.a) La seule vérification à faire est celle de la définition et de la continuité à gauche de
)(tW
au temps T.
Le mouvement est rectiligne uniforme entre Mn et Mn+1 , de vecteur vitesse d'affixe :
n
n
i
n
nn
nn
v
e
z
TT zz n
cos2 1
)2(
1
1
où vn désigne la vitesse entre Mn et Mn+1 .
Or
Zzn
n
lim
,
tn
nvv 
lim
et :
n
n
n
n
n
n
n
n
iii
en
sin
cos2cos2 cos )2sin( 2
1
cos2 1)2cos( cos2 12
)2(
donc
i
e
n
i
n
n
cos2 1
lim )2(
car
2
lim
 n n
d'où
t
Tt izvTWtW   affixed' )()(lim 
4.b) Le vecteur
)(TW
est tangent au bord du billard; le mouvement de la boule pout
Tt 
est donc
circulaire uniforme de vitesse vt , vitesse tangentielle initiale.
4.c) Considérant que v0 est de module 1, on a vt=sin ; la vitesse angulaire est donc
sin
et le
mouvement pour
Tt 
est décrit par
)(
)( Tti Zetz 
( en sens rétrograde vu la définition de ).

5.a)
t t
T
dg
Tt
dg
t0
))((
1
))((
1
=
Tdg
t0
))((
1
+
t
T
dg
Ttt
))(()
11
(
= A(t)+B(t)
Or g est continue et périodique, donc bornée sur R par une constante K , d'où :
tKT
tA . )( 
et
KTt
Ttt T
tB )(
).(
)( 
On en déduit :
)(lim)(lim tBtA tt  
=0 et on conclut :
t t
T
tdg
Tt
dg
t0
0))((
1
))((
1
(lim
5.b) Pour
Tt 
on a
)()()( TtTt 
, d'où :
t
T
TtT
T
duug
Tt
dg
Tt
)()(
)(
)(
)(1
))((
1
;
Or la valeur moyenne d'une fonction périodique sur un intervalle d'amplitude a quand
a
tend vers la
valeur moyenne de la fonction sur une période , donc :
t
T
tduugdg
Tt
2
0
)(
2
1
))((
1
lim
et, en utilisant 5.a) :
t
tdgdg
t0
2
0
)(
2
1
))((
1
lim
.
Troisième partie
6.a)
G
est une partie non vide de R minorée par 0 ; elle possède donc une borne inférieure a.
6.b) Supposons a=0 ;
Ga
donc
Znna ,
est inclus dans G.
Soit x dans
G
et n=
a
x
; alors y=x-na est dans G et vérifie :
ay 0
, donc y=0 .
Si x est dans G et stictement négatif alors (-x) est élément de
G
, donc (-x) est multiple de a , donc x
est multiple de a . On a donc
ZnanG  ,.
; on peut conclure par double inclusion :
ZnanGG a ,.
.
6.b) Si a=0 n'est pas adhérent à
G
, il existe
0
tel que
,0 G
soit vide, donc est un
minorant de
G
, et la borne inférieure de
G
n'est pas 0.
On conclut : 0 est un point adhérent à
G
.
Pour montrer que tout point x de
2
R
est adhérent à G , nous montrons que tout intervalle
 xx ,
(
>0) contient un point de G. Puisque 0 est adhérent à
G
, il existe g
G
tel que o<g< ; soit
gxn /
et
1
g
=ng ; alors
1
g
G et
 xg1
, ce qui donne le résultat :
RG 
.
7.a) Il est clair que
H
est un sous-groupe du groupe additif de R ; il suffit ainsi, d'après 6.a) et 6.b) , de
prouver que :
aH 
)inf(
n'est pas stictement positif.

Or, si c'est le cas,
H
est du type Ga ; en particulier Ga (pour k=0) et
a
G 2
(pour l=0), soit
=p.a et
aq.2 
, avec p et q deux entiers, donc
qp2
est une fraction, ce qui est exclu. On est par
conséquent dans le cas du 6.c) : tout nombre réel est un point adhérent à
H
.
7.b) Il existe une suite tendant vers 0 d'éléments de
H
de la forme
nn lk 2
; si une infinité de ces
kn sont des entiers positifs on dispose directement d'une sous-suite tendant vers 0 constituée d'éléments de S
. Si ce n'est pas le cas, on a une infinité de kn négatifs et la sous-suite correspondant à ceux-ci est une suite
d'éléments de
'
S
tendant vers 0.
7.c) Si la suite (kn) est bornée, la suite (ln) l'est également car dans le ccas contraire la suite (-kn +2ln )
serait non bornée donc divergente. Comme la suite (kn) n'est pas bornée on peut extraire de la suite (-kn +2ln
) une sous-suite _ notée encore (-kn +2ln ) _ vérifiant la condition supplémentaire : (kn) ten en croissant
vers l'infini.
Posons
nnn lk
 2
, (
n) étant alors une suite tendant vers 0 de nombres stictement positifs. On
peut extraire de (
n) une sous-suite
)(n
décroissante tendant vers 0; on obtient :
)(2)( )()1()()1()1()( nnnnnn llkk
.
En posant Kn=
)()1( nn kk
et Ln=
)()1( nn ll
on a
02  
nn LK
avec Kn N .
7.d) Le raisonnement de 7.b) et 7.c) peut être repris pour un réel positif quelconque x en remplaçant S
par
xlkZlNklkxS  2,,2)(
; x est alors adhérent à
S (x) , S (x) est évidemment inclus dans S et donc tout nombre réel positif est un point adhérent à S .
8.a) Soit une mesure positive de l'argument de
0
/zz
et (kn +2ln ) une suite de S
tendant vers ;
alors
)2(
0
nn
n
lki
kezz 
tend vers z .
8.b) Comme l'angle de réflexion est , la distance de O à la corde MnMn+1 est
)sin(
. De même
tout point de la couronne est situé sur une corde AB faisant un angle avec (AO) ; un tel point est barycentre
du système pondéré (A( ),B(1- )) . Choisissons une suite (
n
k
z
) telle que
Ak
nzz n
lim
(
A
z
étant l'affixe de
A) et posons tn tel que M(tn) soit le barycentre du système pondéré (
))1(),(( 1
nn kk MM
(voir 1.c)) .
La suite z(tn) a alors z pour limite.
8.c) Les points du billard adhérents à la trajectoire de M0 sont donc les points de la couronne
C
.