Soit a et b deux réels. La fonction f définie sur Ê par f(x) = ax+b est

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29 septembre 2016 FONCTIONS AFFINES 2nde 3
IFONCTION AFFINE
1 – DÉFINITION
Soit aet bdeux réels.
La fonction fdéfinie sur par f(x) = ax +best une fonction affine.
EXEMPLES
— La fonction fdéfinie sur par f(x) = x
2−3 est une fonction affine avec a=1 2et b=−3.
— La fonction fdéfinie pour tout réel x6=0 par f(x) = 2
x−3 n’est pas une fonction affine.
CAS PARTICULIERS
— Dans le cas où b=0, la fonction fdéfinie sur par f(x) = ax est appelée fonction linéaire.
— Dans le cas où a=0, la fonction fdéfinie sur par f(x) = best une fonction constante.
2 – PROPORTIONNALITÉ DES ACCROISSEMENTS
fest une fonction affine si, et seulement si, pour tous nombres réels distincts, on a :
f(x2)−f(x1)
x2−x1=a
❊DÉMONSTRATION
⇒Soit fune fonction affine définie sur par f(x) = ax +b.
Alors pour tous réels x16=x2on a :
f(x2)−f(x1)
x2−x1=ax2+b−ax1−b x2−x1=a(x2−x1) x2−x1=a
⇐Soit fune fonction définie sur telle que, pour tous réels x16=x2, on a f(x2)−f(x1)
x2−x1=a.
Alors, en particulier pour tout réel x6=0 on a :
f(x)−f(0)
x−0=f(x)−f(0) x=a
D’où f(x)−f(0) = ax. Soit en notant l’image de 0 f(0) = b, on obtient pour tout réel x,f(x) = ax +b.
Ainsi, fest une fonction affine.
EXEMPLE
Déterminer la fonction affine ftelle que f(−6) = 5 et f(3) = −1.
fest une fonction affine d’où pour tout réel x,f(x) = ax +bavec
a=f(3)−f(−6)
3−(−6)Soit a=−1−5 3+6=−2 3
Ainsi, f(x) = −2
3x+b. Or f(3) = −1 d’où
−2
3×3+b=−1⇔ −2+b=−1
⇔b=1
fest la fonction définie sur par f(x) = −2
3x+1.
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3 – VARIATION
Soit aet bdeux réels.
— Si aest positif, la fonction affine fdéfinie sur par f(x) = ax +best croissante.
— Si aest négatif, la fonction affine fdéfinie sur par f(x) = ax +best décroissante.
❊DÉMONSTRATION
Si aest positif :
Soit x1et x2deux réels tels que x16x2
Comme a>0, ax16ax2. D’où ax1+b6ax2+b
Soit f(x1)6f(x2)
Donc fest croissante
Si aest négatif :
Soit x1et x2deux réels tels que x16x2
Comme a60, ax1>ax2. D’où ax1+b>ax2+b
Soit f(x1)>f(x2)
Donc fest décroissante
4 – SIGNE DE ax +bAVEC a6=0
Soit fla fonction affine définie sur par f(x) = ax +bavec a6=0.
f(x)est du signe de apour les valeurs de xsupérieures à −b
a.
❊DÉMONSTRATION
Si a6=0 alors l’équation ax +b=0 admet pour solution x=−b
a.
Si a>0 alors fest strictement croissante :
donc pour tout réel x<−b
a,f(x)<f−b a
soit pour tout réel x<−b
a,f(x)<0
D’où le tableau du signe de f(x)
x−∞−b
a+∞
f(x)−0+
Si a<0 alors fest strictement décroissante :
donc pour tout réel x<−b
a,f(x)>f−b a
soit pour tout réel x<−b
a,f(x)>0
D’où le tableau du signe de f(x)
x−∞−b
a+∞
f(x) + 0−
Par conséquent, si a6=0 :
x−∞−b
a+∞
f(x) = ax +bsigne de −a0signe de a
5 – COURBE REPRÉSENTATIVE
Soit aet bdeux réels.
La courbe représentative de la fonction affine fdéfinie sur par f(x) = ax +best la droite Dd’équation
y=ax +b.
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a<0
1
1
0x
y
D
−b
a
a=0
1
1
0x
y
D
a>0
1
1
0x
y
D
−b
a
II INÉQUATIONS
Pour résoudre une inéquation à une inconnue on peut être amené à étudier le signe d’une expression.
Résoudre A(x)6B(x)équivaut à résoudre A(x)−B(x)60.
1 – ÉTUDE DU SIGNE D’UN PRODUIT
RÈGLE DES SIGNES D’UN PRODUIT
Le produit de deux nombres de même signe est positif. Le produit de deux nombres de signes contraires est
négatif.
TABLEAU DE SIGNES D’UN PRODUIT
Pour étudier le signe d’un produit :
— On étudie le signe de chaque facteur.
— On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs,
rangées dans l’ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
— On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne.
EXEMPLE
Résoudre dans l’inéquation (2x+3)26(3x−1)2
Pour tout réel x,
(2x+3)26(3x−1)2⇔(2x+3)2−(3x−1)260
⇔[(2x+3) + (3x−1)] ×[(2x+3)−(3x−1)] 60
⇔(2x+3+3x−1)(2x+3−3x+1)60
⇔(5x+2)(4−x)60
Étudions le signe du produit (5x+2)(4−x)à l’aide d’un tableau de signe.
On étudie les signe de chacun des facteurs du produit :
5x+260⇔x6−2
5et 4−x60⇔x>4
On résume dans un seul tableau le signe de chacun des facteurs et, on en déduit le signe du produit en utilisant
la règle des signes d’un produit :
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x−∞−2
54+∞
5x+2−0++
4−x++0−
(5x+2)(4−x)−0+0−
L’ensemble des solutions de l’inéquation (5x+2)(4−x)60 est S=−∞;−2
5∪4;+∞.
2 – ÉTUDE DU SIGNE D’UN QUOTIENT
RÈGLE DES SIGNES D’UN QUOTIENT
Le quotient de deux nombres de même signe est positif. Le quotient de deux nombres de signes contraires
est négatif.
TABLEAU DE SIGNES D’UN QUOTIENT
Pour étudier le signe d’un quotient :
— On cherche les valeurs qui annulent le dénominateur (valeurs interdites).
— On regroupe dans un tableau le signe de chaque terme.
— On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne.
EXEMPLE
Résoudre dans l’inéquation 2x+7
3x+2>2
Le quotient 2x+7
3x+2est défini pour tout réel xtel que le dénominateur 3x+26=0.
Comme 3x+26=0⇔x6=−2
3, le quotient 2x+7 3x+2est défini pour tout réel x6=−2 3:
2x+7
3x+2>2⇔2x+7 3x+2−2>0
⇔(2x+7)−2×(3x+2)
3x+2>0
⇔2x+7−6x−4
3x+2>0
⇔3−4x
3x+2>0
Étudions le signe du quotient 3−4x
3x+2à l’aide d’un tableau de signe.
On étudie les signe de chacun des termes du quotient :
3−4x60⇔x>3
4et 3x+260⇔x6−2 3
On résume dans un seul tableau le signe de chacun des termes et, on en déduit le signe du quotient en utilisant
la règle des signes d’un quotient.
La double barre dans le tableau indique que −2
3est une valeur interdite :
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x−∞−2
3
3
4+∞
3−4x++0−
3x+2−0++
3−4x
3x+2−+0−
L’ensemble des solutions de l’inéquation 3−4x
3x+2>0 est S=−2 3;3 4.
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