Fonctions affines

Ch 8 : Fonctions affines
8h
2 sem
Sens de variation d’une fonction affine, Signe de ax + b
Signe d’un produit, signe d’un quotient, résolutions d’inéquations simples
1) Caractérisation d’une fonction affine
Définition :
Une fonction f définie sur est une fonction affine si et seulement si il existe deux réels a et b tels que pour
tout réel x, f(x) = ax + b
Cas particuliers :
 Si b=0, la fonction f définie par f(x) = ax est une fonction linéaire.
 Si a=0, la fonction f définie par f(x)=b est une fonction constante.
Propriété :
 F est une fonction affine si, et seulement si, l’accroissement de la fonction est proportionnel à
l’accroissement de la variable.
 Autrement dit, x1 et x2 étant deux réels distincts, f(x1) et f(x2) leurs images, on a :
12
12 xx ))-f(xx( f
= a
(nombre constant).
Propriété :
La représentation graphique de la fonction affine f définie par f(x) = ax + b est la droite (D) d’équation réduite
y=ax+b
 Le nombre a est appelé coefficient directeur (ou pente) de la droite (D)
 Le nombre b, tel que f(0) = b, est appelé l’ordonnée à l’origine de la droite (D).
2) Sens de variation d’une fonction affine
Propriété :
Soit f une fonction affine définie par f(x) = ax + b
 Si a est strictement positif, la fonction f est croissante sur
 Si a est strictement négatif, la fonction f est décroissante sur
 Si a est nul, la fonction f est constante sur
Démonstration :
Soit f la fonction définie par f(x) = ax + b.
Soient m et p deux réels tels que m < p, déterminons f(p) - f(m)
f(p) – f(m) = (ap + b) - (am + b) = a(p - m)
Le signe de f(p)-f(m) est le même que celui de a :
 Si a > 0 alors f(p) - f(m) > 0 soit f(m) < f(p) donc f est strictement croissante sur .
 Si a = 0 alors f(p) - f(m) = 0 soit f(m) = f(p) donc f est constante sur .
 Si a < 0 alors f(p) - f(m) < 0 soit f(m) > f(p) donc f est strictement décroissante sur .

3) Signe d’une fonction affine
Propriété :
Démonstration :
Déterminons le ou les antécédents de 0 par le fonction f.
Pour les trouver, il nous faut résoudre l'équation f(x) = 0.
f(x) = 0 équivaut à a.x + b =0 équivaut à a.x = -b équivaut à x = -b/a
Donc l'unique antécédent de 0 par la fonction f est -b/a.
 Quand a est négatif, la fonction f est décroissante.
Positionnons -b/a dans le tableau de variation de f.
 Donc lorsque x est situé avant -b/a, alors f(x) est plus
grand que f(-b/a) = 0 donc avant -b/a, f(x) est positif.
 De même lorsque x est situé après -b/a, alors f(x) est
plus petit que f(-b/a) = 0 donc après -b/a, f(x) est
négatif.
 Quand a est positif, la fonction f est croissante.
Positionnons là encore -b/a dans le tableau de
variation de f.
 Lorsque x est plus petit que -b/a, alors f(x) est
également plus petit que f(-b/a) = 0 donc avant -b/a,
f(x) est négatif.
 Lorsque x est plus grand que -b/a, alors f(x) est
également plus grand que f(-b/a) = 0 donc après -b/a,
f(x) est positif.
4) Résoudre algébriquement une inéquation
Signe d’un produit, signe d’un quotient :
Signe de a
-
-
+
+
Signe de b
-
+
-
+
Signe de a * b
Ou
b
a
(b
0)
+
-
-
+
Application à la résolutions d’inéquations :
Résoudre une inéquation d’inconnue x, c’est trouver toutes les valeurs de x vérifiant l’inégalité. Les valeurs
trouvées sont appelées « solutions de l’inéquation ».

Remarque :
L’ensemble des solutions se note souvent S.
Méthode :
Pour résoudre une inéquation :
1. On transpose tous les termes dans un même membre de l’inéquation
2. On factorise éventuellement ce membre (identités remarquables, recherche de facteur commun).
3. On étudie le signe du membre factorisé à l’aide d’un tableau de signe
4. On conclut
Exemple :
Résoudre (x-2)² 9