Algèbre 2.
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1. ELEMENTS DE LOGIQUE
Définition 1 : On appelle propriété ou assertion une affirmation à laquelle on peut attacher
une valeur de vérité : soit vraie soit fausse
Exemples : 3 est un nombre impair (assertion vraie).
Paris est la capitale de l’Italie (assertion fausse).
Définition 2 : Un théorème ou proposition est une assertion vraie.
Règles logiques : on admet les règles suivantes
Principe de non contradiction : on ne peut avoir P vraie et P fausse en même
temps
Principe du tiers exclu : une propriété qui n’est pas vraie est fausse, et une
propriété qui n’est pas fausse est vraie.
Les opérateurs logiques permettent de combiner des propriétés pour en obtenir de nouvelles :
Négation : la négation d’une propriété P est notée : non P ou P ou
P
Conjonction : et notée
Disjonction inclusive : ou notée
Implication : notée
Equivalence : notée
Ils sont définis par la table de vérité :
P Q
P
P
Q P
Q
P
Q P
Q
V
V
F V V
V V
V
F
F V
F
F
F
F
V
V V
F
V F
F
F
V F
F
V
V
AL 2
– LOGIQUE –
– ELEMENTS DE LA THEORIE DES ENSEMBLES –
1.1 Propositions – Règles logiques
P
V
F
Soit P une assertion, on appelle table de vérité de P la table :
1.2 Opérateurs logiques
Algèbre 2.
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Remarques :
(i) Dans l’implication P Q, P s’appelle l’hypothèse et Q la conclusion.
(ii) On peut exprimer l’implication P Q de l’une des façons suivantes :
Pour que P, il faut Q ; Q est une condition nécessaire de P
Pour que Q, il suffit P ; P est une condition suffisante pour Q
Si P, alors Q.
(iii) L’implication Q P est appelée réciproque de P Q
(iv) On peut exprimer l’équivalence logique P Q de l’une des façons suivantes :
Pour que P, il faut et il suffit Q
P est une condition nécessaire et suffisante (CNS) pour Q
P si et seulement si Q
Définition 3 : Un théorème de logique (appelé aussi tautologie) est une assertion vraie
quelles que soient les valeurs de vérité des éléments qui la composent.
Exemples de tautologies :
1.3.1 P P
1.3.2 ( P) P
1.3.3 P ( P ) (c’est le principe du tiers exclu)
1.3.4 Lois de Morgan :
a) ( P Q) ( P Q )
b) (P Q) ( P Q )
c) P (Q R) (P Q) (P R)
d) P (Q R) (P Q) (P R)
1.3.5 L’implication :
a) ( P Q ) ( P Q )
b) ( P Q ) ( Q P ) contraposée
1.3.6 Négation d’une implication :
(P Q) ( P et Q)
1.3 Tautologie
Algèbre 2.
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1.4.1. Transitivité
De (P Q) vraie et (Q R) vraie on déduit que (P R) vraie.
1.4.2. Syllogisme
De P vraie et (P Q) vraie on déduit que Q est vraie
1.4.3. Disjonction des cas
De [ (P Q) vrai et ( P Q) vraie ] on déduit que Q est vraie
1.4.4. Contraposition
De (P Q) on déduit que ( Q P)
Exemple : pour démontrer que ( a b ) ( f(a) f(b) ) il est souvent plus facile de montrer
que ( f(a) = f(b) ) ( a = b )
1.4.5. Raisonnement par l’absurde
Pour montrer que ( P Q ) est vraie, on suppose que P est vraie et Q fausse, et on montre
que cela entraîne une contradiction.
Remarque : ce raisonnement par l’absurde utilise le résultat suivant :
[ ( P Q ) vraie] , [ (P Q) fausse]
1.4.6. Méthode du contre exemple
Pour montrer que P Q est faux , il suffit d’exhiber un cas où P est vrai et Q est faux
( négation d’une implication )
2. ENSEMBLES
On introduit deux nouveaux opérateurs (appelés quantificateurs) :
: se lit « quel que soit » ou « pour tout »
: se lit « il existe au moins un»
! : se lit « il existe un unique»
Attention !
On peut permuter deux quantificateurs identiques, mais on ne peut pas
permuter deux quantificateurs de nature différente.
Définition 4 : On appelle ensemble une collection d’objets, appelés éléments de cet
ensemble.
1.4 Principaux types de raisonnement
2.1 Quantificateurs
Algèbre 2.
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Notation : Lorsque x est un élément d’un ensemble E, on note x S E ;
Lorsque x n’est pas un élément d’un ensemble E, on note x T E.
Propriété : Négation d’une phrase quantifiée
Soit P une proposition dépendant d’une variable x et E un ensemble, alors :
( x E, P) ( x E, P)
( x E, P) (x E, P)
Exemples :
1. La négation de la proposition (x E, x.0 = 0) est ( x E, x.0 0).
2. La négation de la proposition : [ a E ,∀ε>0, η>0, xE, (Ix – aI≤ η If(x)-f(a)I≤ ε)]
est : [a E , ∃ε > 0, ∀η > 0, x E, (I x – aI ≤ η) (If(x) – f(a)I > ε) ]
Définition 5 : Soient A et B deux ensembles. On dit que A est inclus dans B ou que A est une
partie de B si pour tout x de A, x est élément de B ( xA, xB ) . On note alors A B.
On note P (E) l’ensemble des parties de l’ensemble E, et on note la partie vide de E.
Exemple : Pour E = {a ; b}, P (E) = { ; {a},{b} ;{a ; b} }
Propriétés :
A B ( xA xB ) ; on a A , A A pour tout ensemble A.
A = B (A B et B A ) .
La négation de A B est notée A B ceci veut dire : xA, xB.
A B (A B) ou (B A).
(A B et B C) (A C) transitivité
Définition 6 : Soient E un ensemble, A et B des parties de E, on note :
C
E
(A) ={ xE, xA} complémentaire de A dans E
AB = {xE, xA et xB} intersection de A et B
AB = {xE, xA ou xB} réunion de A et B
A \ B = {xA, x B} = A
C
E
(B) différence A moins B
AB = (A \ B) (B \ A) différence symétrique de A et B
Propriétés : lois de Morgan
La réunion et l’intersection de deux ensembles sont commutatives et associatives.
Elles sont également distributives l’une par rapport à l’autre :
A (B C)=(A B) (A C) et A (B C) = (A B) (A C).
A
B
A
B
=
A
B
A
B
=
Notation : soit (E
i
)
iN
une famille de parties de E, on note :
i
i
E
= {x
E /
i
N ,
x
E
i
} et
i
i
E
= {x
E /
i
N ,
x
E
i
}
2.2 Ensemble
P
(E)
Algèbre 2.
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Définition 7 : I N; (E
i
)
iI
une famille de parties d’un ensemble E est une partition de E si :
i
i I
2i j
i
E E
(i; j) I /i j, E E
i I , E
∪ =
∩ =
∀ ∈
Exemple : E = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} E
1
={1 ; 2 ; 3} E
2
={4 ; 5} E
3
={6} (E
i
)
i{1,2,3}
est une
partition de E.
Définition 8 : Soient E et F deux ensembles. On appelle produit cartésien de E et F
l’ensemble : E × F = { x = (x
1 ;
x
2
) , x
1
E , x
2
F }
Exemple : Soient E = {1 ; 2}, F = {a ; b ; c}.
E × F = { (1 ; a) ; (1 ; b) ; (1 ; c) ; (2 ; a) ; (2 ; b) ; (2 ; c)} mais (a ; 1) E × F.
Remarques :
(i) Cette définition s’étend au produit cartésien d’une famille d’ensembles.
(ii) On note E × E = E
2
.
3. RELATIONS
Définition 9 : Soient E et F deux ensembles, on appelle relation binaire R de E vers F un
triplet (E ; F ; G) où G est une partie de E × F (appelé graphe de la relation).
On dit que le couple (x ; y) E × F vérifie la relation R lorsque (x ; y) G, et on note alors
x R
RR
R y
Remarque : si E = F une relation binaire R de E vers E est dite relation sur E.
Définition 10 : Soit R une relation sur un ensemble E. On dit que :
R est réflexive si x E x R x
R est symétrique si (x ; y) E
2
x R y y R x
R est transitive si (x ; y ; z)E
3
, ( x R y ) ( y R z ) x R z
R est antisymétrique si (x ; y)E
2
, ( x R y) (y R x ) ) x = y
2.3 Partition
2.4 Produit cartésien
3.1 Définitions
3.2 Relation d’équivalence
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