AL 2 – LOGIQUE – – ELEMENTS DE LA THEORIE DES

Algèbre 2. 1/6
ICAM Toulouse I1
1. ELEMENTS DE LOGIQUE
Définition 1 : On appelle propriété ou assertion une affirmation à laquelle on peut attacher
une valeur de vérité : soit vraie soit fausse
Exemples : 3 est un nombre impair (assertion vraie).
Paris est la capitale de l’Italie (assertion fausse).
Définition 2 : Un théorème ou proposition est une assertion vraie.
Règles logiques : on admet les règles suivantes
• Principe de non contradiction : on ne peut avoir P vraie et P fausse en même
temps
• Principe du tiers exclu : une propriété qui n’est pas vraie est fausse, et une
propriété qui n’est pas fausse est vraie.
Les opérateurs logiques permettent de combiner des propriétés pour en obtenir de nouvelles :
• Négation : la négation d’une propriété P est notée : non P ou  P ou
P
• Conjonction : ‘ et ’ notée ∧
• Disjonction inclusive : ‘ ou ’ notée ∨
• Implication : notée ⇒
• Equivalence : notée ⇔
Ils sont définis par la table de vérité :
P Q
 P P ∨
∨∨
∨ Q P ∧
∧∧
∧
Q
P ⇒
⇒⇒
⇒ Q P ⇔
⇔⇔
⇔ Q
V V F V V V V
V F F V F F F
F V V V F V F
F F V F F V V
AL 2
– LOGIQUE –
– ELEMENTS DE LA THEORIE DES ENSEMBLES –
1.1 Propositions – Règles logiques
P
V
F
Soit P une assertion, on appelle table de vérité de P la table :
1.2 Opérateurs logiques

Algèbre 2. 2/6
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Remarques :
(i) Dans l’implication P ⇒ Q, P s’appelle l’hypothèse et Q la conclusion.
(ii) On peut exprimer l’implication P ⇒ Q de l’une des façons suivantes :
• Pour que P, il faut Q ; Q est une condition nécessaire de P
• Pour que Q, il suffit P ; P est une condition suffisante pour Q
• Si P, alors Q.
(iii) L’implication Q ⇒ P est appelée réciproque de P ⇒ Q
(iv) On peut exprimer l’équivalence logique P ⇔ Q de l’une des façons suivantes :
• Pour que P, il faut et il suffit Q
• P est une condition nécessaire et suffisante (CNS) pour Q
• P si et seulement si Q
Définition 3 : Un théorème de logique (appelé aussi tautologie) est une assertion vraie
quelles que soient les valeurs de vérité des éléments qui la composent.
Exemples de tautologies :
1.3.1 P ⇒ P
1.3.2  ( P) ⇔ P
1.3.3 P ∨ (  P ) (c’est le principe du tiers exclu)
1.3.4 Lois de Morgan :
a)  ( P ∧ Q) ⇔ ( P ∨  Q )
b)  (P ∨ Q) ⇔ ( P ∧  Q )
c) P ∧ (Q ∨ R) ⇔ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)
d) P ∨ (Q ∧ R) ⇔ (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)
1.3.5 L’implication :
a) ( P ⇒ Q ) ⇔ (  P ∨ Q )
b) ( P ⇒ Q ) ⇔ ( Q ⇒  P ) contraposée
1.3.6 Négation d’une implication :
 (P ⇒ Q) ⇔ ( P et  Q)
1.3 Tautologie

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1.4.1. Transitivité
De (P ⇒ Q) vraie et (Q ⇒ R) vraie on déduit que (P ⇒ R) vraie.
1.4.2. Syllogisme
De P vraie et (P ⇒ Q) vraie on déduit que Q est vraie
1.4.3. Disjonction des cas
De [ (P ⇒ Q) vrai et ( P ⇒ Q) vraie ] on déduit que Q est vraie
1.4.4. Contraposition
De (P ⇒ Q) on déduit que ( Q ⇒  P)
Exemple : pour démontrer que ( a ≠ b ) ⇒ ( f(a) ≠ f(b) ) il est souvent plus facile de montrer
que ( f(a) = f(b) ) ⇒ ( a = b )
1.4.5. Raisonnement par l’absurde
Pour montrer que ( P ⇒ Q ) est vraie, on suppose que P est vraie et Q fausse, et on montre
que cela entraîne une contradiction.
Remarque : ce raisonnement par l’absurde utilise le résultat suivant :
[ ( P ⇒ Q ) vraie] , [ (P ∧ Q) fausse]
1.4.6. Méthode du contre exemple
Pour montrer que P ⇒ Q est faux , il suffit d’exhiber un cas où P est vrai et Q est faux
( négation d’une implication )
2. ENSEMBLES
On introduit deux nouveaux opérateurs (appelés quantificateurs) :
∀ : se lit « quel que soit » ou « pour tout »
∃ : se lit « il existe au moins un»
∃ ! : se lit « il existe un unique»
Attention ! On peut permuter deux quantificateurs identiques, mais on ne peut pas
permuter deux quantificateurs de nature différente.
Définition 4 : On appelle ensemble une collection d’objets, appelés éléments de cet
ensemble.
1.4 Principaux types de raisonnement
2.1 Quantificateurs

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Notation : Lorsque x est un élément d’un ensemble E, on note x S E ;
Lorsque x n’est pas un élément d’un ensemble E, on note x T E.
Propriété : Négation d’une phrase quantifiée
Soit P une proposition dépendant d’une variable x et E un ensemble, alors :
 (∀ x ∈ E, P) ⇔ (∃ x ∈E,  P)
 (∃ x ∈ E, P) ⇔ (∀x ∈ E,  P)
Exemples :
1. La négation de la proposition (∀x ∈ E, x.0 = 0) est (∃ x ∈E, x.0 ≠ 0).
2. La négation de la proposition : [ ∀a ∈E ,∀ε>0, ∃ η>0, ∀x∈E, (Ix – aI≤ η ⇒ If(x)-f(a)I≤ ε)]
est : [∃a ∈E , ∃ε > 0, ∀η > 0, ∃x ∈E, (I x – aI ≤ η) ∧ (If(x) – f(a)I > ε) ]
Définition 5 : Soient A et B deux ensembles. On dit que A est inclus dans B ou que A est une
partie de B si pour tout x de A, x est élément de B ( ∀x∈A, x∈B ) . On note alors A ⊂ B.
On note P (E) l’ensemble des parties de l’ensemble E, et on note ∅ la partie vide de E.
Exemple : Pour E = {a ; b}, P (E) = {∅ ; {a},{b} ;{a ; b} }
Propriétés :
• A ⊂ B ⇔ ( x∈A ⇒ x∈B ) ; on a ∅ ⊂ A , A ⊂ A pour tout ensemble A.
• A = B ⇔ (A ⊂ B et B ⊂ A ) .
• La négation de A ⊂ B est notée A ⊄ B ceci veut dire : ∃x∈A, x∉B.
• A ≠ B ⇔ (A ⊄ B) ou (B ⊄ A).
• (A ⊂ B et B ⊂ C) ⇒ (A ⊂ C) transitivité
Définition 6 : Soient E un ensemble, A et B des parties de E, on note :
C
E
(A) ={ x∈E, x∉A} complémentaire de A dans E
A∩B = {x∈E, x∈A et x∈B} intersection de A et B
A∪B = {x∈E, x∈A ou x∈B} réunion de A et B
A \ B = {x∈A, x ∉B} = A∩ C
E
(B) différence A moins B
A∆B = (A \ B) ∪ (B \ A) différence symétrique de A et B
Propriétés : lois de Morgan
• La réunion et l’intersection de deux ensembles sont commutatives et associatives.
• Elles sont également distributives l’une par rapport à l’autre :
A ∩ (B ∪ C)=(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) et A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
•
A
B
A
B
∩
=
∪
•
A
B
A
B
∪
=
∩
Notation : soit (E
i
)
i∈N
une famille de parties de E, on note :
i
i
E
∈
∪
ℕ
= {x ∈ E / ∃
∃∃
∃ i ∈N , x ∈ E
i
} et
i
i
E
∈
∩
ℕ
= {x ∈ E /
∀
i ∈N , x ∈ E
i
}
2.2 Ensemble P
(E)

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Définition 7 : I ⊂ N; (E
i
)
i∈I
une famille de parties d’un ensemble E est une partition de E si :
i
i I
2i j
i
E E
(i; j) I /i j, E E
i I , E
∈
∪ =
∀ ∈ ≠ ∩ =∅
∀ ∈ ≠∅
Exemple : E = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} E
1
={1 ; 2 ; 3} E
2
={4 ; 5} E
3
={6} (E
i
)
i∈{1,2,3}
est une
partition de E.
Définition 8 : Soient E et F deux ensembles. On appelle produit cartésien de E et F
l’ensemble : E × F = { x = (x
1 ;
x
2
) , x
1
∈E , x
2
∈F }
Exemple : Soient E = {1 ; 2}, F = {a ; b ; c}.
E × F = { (1 ; a) ; (1 ; b) ; (1 ; c) ; (2 ; a) ; (2 ; b) ; (2 ; c)} mais (a ; 1) ∉ E × F.
Remarques :
(i) Cette définition s’étend au produit cartésien d’une famille d’ensembles.
(ii) On note E × E = E
2
.
3. RELATIONS
Définition 9 : Soient E et F deux ensembles, on appelle relation binaire R de E vers F un
triplet (E ; F ; G) où G est une partie de E × F (appelé graphe de la relation).
On dit que le couple (x ; y) ∈ E × F vérifie la relation R lorsque (x ; y) ∈ G, et on note alors
x R
RR
R y
Remarque : si E = F une relation binaire R de E vers E est dite relation sur E.
Définition 10 : Soit R une relation sur un ensemble E. On dit que :
R est réflexive si ∀x ∈ E x R x
R est symétrique si ∀(x ; y) ∈ E
2
x R y ⇒ y R x
R est transitive si ∀(x ; y ; z)∈E
3
, ( x R y ) ∧ ( y R z ) ⇒ x R z
R est antisymétrique si ∀(x ; y)∈E
2
, ( x R y) ∧ (y R x ) ) ⇒ x = y
2.3 Partition
2.4 Produit cartésien
3.1 Définitions
3.2 Relation d’équivalence