AL 2 – LOGIQUE – – ELEMENTS DE LA THEORIE DES

Algèbre 2. 1/6
AL 2
– LOGIQUE –
– ELEMENTS DE LA THEORIE DES ENSEMBLES –
1. ELEMENTS DE LOGIQUE
1.1 Propositions – Règles logiques
Définition 1 : On appelle propriété ou assertion une affirmation à laquelle on peut attacher
une valeur de vérité : soit vraie soit fausse
Soit P une assertion, on appelle table de vérité de P la table :
Exemples :
P
V
F
3 est un nombre impair
(assertion vraie).
Paris est la capitale de l’Italie (assertion fausse).
Définition 2 : Un théorème ou proposition est une assertion vraie.
Règles logiques : on admet les règles suivantes
• Principe de non contradiction : on ne peut avoir P vraie et P fausse en même
temps
• Principe du tiers exclu : une propriété qui n’est pas vraie est fausse, et une
propriété qui n’est pas fausse est vraie.
1.2 Opérateurs logiques
Les opérateurs logiques permettent de combiner des propriétés pour en obtenir de nouvelles :
•
Négation : la négation d’une propriété P est notée : non P ou  P ou P
•
Conjonction : ‘ et ’ notée ∧
•
Disjonction inclusive : ‘ ou ’ notée ∨
•
Implication : notée ⇒
•
Equivalence : notée ⇔
Ils sont définis par la table de vérité :
P
V
V
F
F
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Q
V
F
V
F
P
F
F
V
V
P ∨ Q
V
V
V
F
P ∧ Q
V
F
F
F
P⇒Q
V
F
V
V
P⇔Q
V
F
F
V
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Remarques :
(i)
Dans l’implication P ⇒ Q, P s’appelle l’hypothèse et Q la conclusion.
On peut exprimer l’implication P ⇒ Q de l’une des façons suivantes :
•
Pour que P, il faut Q ; Q est une condition nécessaire de P
•
Pour que Q, il suffit P ; P est une condition suffisante pour Q
•
Si P, alors Q.
(ii)
(iii)
(iv)
L’implication Q ⇒ P est appelée réciproque de P ⇒ Q
On peut exprimer l’équivalence logique P ⇔ Q de l’une des façons suivantes :
•
Pour que P, il faut et il suffit Q
•
P est une condition nécessaire et suffisante (CNS) pour Q
•
P si et seulement si Q
1.3 Tautologie
Définition 3 : Un théorème de logique (appelé aussi tautologie) est une assertion vraie
quelles que soient les valeurs de vérité des éléments qui la composent.
Exemples de tautologies :
1.3.1
P⇒P
1.3.2
 ( P) ⇔ P
1.3.3
P ∨ (  P ) (c’est le principe du tiers exclu)
1.3.4
Lois de Morgan :
a)  ( P ∧ Q) ⇔ ( P ∨  Q )
b)  (P ∨ Q) ⇔ ( P ∧  Q )
c) P ∧ (Q ∨ R) ⇔ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)
d) P ∨ (Q ∧ R) ⇔ (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)
1.3.5
L’implication :
a) ( P ⇒ Q ) ⇔ (  P ∨ Q )
b) ( P ⇒ Q ) ⇔ ( Q ⇒  P ) contraposée
1.3.6
Négation d’une implication :
 (P ⇒ Q) ⇔ ( P et  Q)
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1.4 Principaux types de raisonnement
1.4.1. Transitivité
De (P ⇒ Q) vraie et (Q ⇒ R) vraie on déduit que (P ⇒ R) vraie.
1.4.2. Syllogisme
De P vraie et (P ⇒ Q) vraie on déduit que Q est vraie
1.4.3. Disjonction des cas
De [ (P ⇒ Q) vrai et ( P ⇒ Q) vraie ] on déduit que Q est vraie
1.4.4. Contraposition
De (P ⇒ Q) on déduit que ( Q ⇒  P)
Exemple : pour démontrer que ( a ≠ b ) ⇒ ( f(a) ≠ f(b) ) il est souvent plus facile de montrer
que ( f(a) = f(b) ) ⇒ ( a = b )
1.4.5. Raisonnement par l’absurde
Pour montrer que ( P ⇒ Q ) est vraie, on suppose que P est vraie et Q fausse, et on montre
que cela entraîne une contradiction.
Remarque : ce raisonnement par l’absurde utilise le résultat suivant :
[ ( P ⇒ Q ) vraie] , [ (P ∧ Q) fausse]
1.4.6. Méthode du contre exemple
Pour montrer que P ⇒ Q est faux , il suffit d’exhiber un cas où P est vrai et Q est faux
( négation d’une implication )
2. ENSEMBLES
2.1 Quantificateurs
On introduit deux nouveaux opérateurs (appelés quantificateurs) :
∀ : se lit « quel que soit » ou « pour tout »
∃ : se lit « il existe au moins un»
∃ ! : se lit « il existe un unique»
Attention ! On peut permuter deux quantificateurs identiques, mais on ne peut pas
permuter deux quantificateurs de nature différente.
Définition 4 : On appelle ensemble une collection d’objets, appelés éléments de cet
ensemble.
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Notation : Lorsque x est un élément d’un ensemble E, on note x S E ;
Lorsque x n’est pas un élément d’un ensemble E, on note x T E.
Propriété : Négation d’une phrase quantifiée
Soit P une proposition dépendant d’une variable x et E un ensemble, alors :
 (∀ x ∈ E, P) ⇔ (∃ x ∈E,  P)
 (∃ x ∈ E, P) ⇔ (∀x ∈ E,  P)
Exemples :
1. La négation de la proposition (∀x ∈ E, x.0 = 0) est (∃ x ∈E, x.0 ≠ 0).
2. La négation de la proposition : [ ∀a ∈E ,∀ε>0, ∃ η>0, ∀x∈E, (Ix – aI≤ η ⇒ If(x)-f(a)I≤ ε)]
est : [∃a ∈E , ∃ε > 0, ∀η > 0, ∃x ∈E, (I x – aI ≤ η) ∧ (If(x) – f(a)I > ε) ]
2.2 Ensemble P (E)
Définition 5 : Soient A et B deux ensembles. On dit que A est inclus dans B ou que A est une
partie de B si pour tout x de A, x est élément de B ( ∀x∈A, x∈B ) . On note alors A ⊂ B.
On note P (E) l’ensemble des parties de l’ensemble E, et on note ∅ la partie vide de E.
Exemple : Pour E = {a ; b}, P (E) = {∅ ; {a},{b} ;{a ; b} }
Propriétés :
• A ⊂ B ⇔ ( x∈A ⇒ x∈B ) ; on a ∅ ⊂ A , A ⊂ A pour tout ensemble A.
• A = B ⇔ (A ⊂ B et B ⊂ A ) .
• La négation de A ⊂ B est notée A ⊄ B ceci veut dire : ∃x∈A, x∉B.
• A ≠ B ⇔ (A ⊄ B) ou (B ⊄ A).
• (A ⊂ B et B ⊂ C) ⇒ (A ⊂ C) transitivité
Définition 6 : Soient E un ensemble, A et B des parties de E, on note :
CE(A) ={ x∈E, x∉A}
complémentaire de A dans E
A∩B = {x∈E, x∈A et x∈B}
intersection de A et B
A∪B = {x∈E, x∈A ou x∈B}
réunion de A et B
A \ B = {x∈A, x ∉B} = A∩ CE(B) différence A moins B
A∆B = (A \ B) ∪ (B \ A)
différence symétrique de A et B
Propriétés : lois de Morgan
• La réunion et l’intersection de deux ensembles sont commutatives et associatives.
• Elles sont également distributives l’une par rapport à l’autre :
A ∩ (B ∪ C)=(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) et A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
• A∩B = A∪B
• A∪B = A∩B
Notation :
soit (Ei)i∈N une famille de parties de E, on note :
∪E
i
i∈ℕ
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= {x∈E / ∃ i∈N , x∈Ei }
et
∩E
i
= {x∈E / ∀ i∈N , x∈Ei }
i∈ℕ
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2.3 Partition
Définition 7 : I ⊂ N; (Ei)i∈I une famille de parties d’un ensemble E est une partition de E si :
Ei = E
∪
i∈I
2
∀(i; j) ∈ I / i ≠ j , Ei ∩ E j = ∅

∀i ∈ I , E i ≠ ∅
Exemple : E = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} E1={1 ; 2 ; 3} E2={4 ; 5} E3={6} (Ei)i∈{1,2,3} est une
partition de E.
2.4 Produit cartésien
Définition 8 : Soient E et F deux ensembles. On appelle produit cartésien de E et F
l’ensemble : E × F = { x = (x1 ; x2) , x1∈E , x2∈F }
Exemple : Soient E = {1 ; 2}, F = {a ; b ; c}.
E × F = { (1 ; a) ; (1 ; b) ; (1 ; c) ; (2 ; a) ; (2 ; b) ; (2 ; c)}
mais (a ; 1) ∉ E × F.
Remarques :
(i)
Cette définition s’étend au produit cartésien d’une famille d’ensembles.
(ii)
On note E × E = E2.
3. RELATIONS
3.1 Définitions
Définition 9 : Soient E et F deux ensembles, on appelle relation binaire R de E vers F un
triplet (E ; F ; G) où G est une partie de E × F (appelé graphe de la relation).
On dit que le couple (x ; y) ∈ E × F vérifie la relation R lorsque (x ; y) ∈ G, et on note alors
xRy
Remarque : si E = F une relation binaire R de E vers E est dite relation sur E.
Définition 10 : Soit R une relation sur un ensemble E. On dit que :
R est réflexive si ∀x ∈ E x R x
R est symétrique si ∀(x ; y) ∈ E2 x R y ⇒ y R x
R est transitive si ∀(x ; y ; z)∈E3, ( x R y ) ∧ ( y R z ) ⇒ x R z
R est antisymétrique si ∀(x ; y)∈E2, ( x R y) ∧ (y R x ) ) ⇒ x = y
3.2 Relation d’équivalence
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Définition 11 : Soit R une relation sur un ensemble E. On dit que R est une relation
d’équivalence si elle est réflexive, symétrique et transitive.
Définition 12 : Soient R une relation d’équivalence sur E et x∈E .
On appelle classe d’équivalence de x l’ensemble : x = { y ∈ E, y R x }.
L’ensemble des classes d’équivalence forme une partition de E appelé ensemble quotient de
E par R et noté E / R .
Exemples :
• L’égalité dans R est une relation d’équivalence
• Dans N* la relation x ≡ y [5] ⇔ ∃k∈Z / x – y = 5k (congruence modulo 5)
dans ce cas N* / R = { 0, 1, 2, 3, 4 }
3.3 Relation d’ordre
Définition 13 : Soit R une relation sur un ensemble E. On dit que R est une relation d’ordre
si elle est réflexive, antisymétrique et transitive.
Une relation d’ordre R sur E est dite relation d’ordre total lorsque :
∀(x ; y) ∈ E2 x R y ou y R x
Un ensemble muni d’une relation d’ordre total est appelé un ensemble totalement ordonné.
Exemples :
≤ dans R ( ou Z ou Q ...) est une relation d’ordre total ;
⊂ dans un ensemble E est une relation d’ordre partiel
| dans N* (relation divise) est une relation d’ordre partiel
Remarque : on note souvent (E, ≤) un ensemble totalement ordonné.
Définition 14 : Soient (E, ≤ ) un ensemble ordonné et A ⊂ E.
On dit que m ∈ A est le plus grand élément (resp. le plus petit élément) de A, on le note
max A (resp. min A) si :
∀x ∈ A m ≥ x ( resp.∀x ∈ A m ≤ x).
On dit que m ∈ E est un majorant (resp. minorant) de A si :
∀x ∈ A m ≥ x ( resp. ∀x ∈ A m ≤ x).
On dit que A est majorée (resp. minorée) si il existe au moins un majorant (resp. minorant)
de A dans E. Si A est majorée et minorée, on dit que A est bornée
On appelle borne supérieure (respectivement borne inférieure) de A, le plus petit des
majorants (respectivement le plus grand des minorants) de A lorsqu’il existe; on le note sup A
(respectivement inf A).
Exemple : A = [ 2 ; 5 [ n’admet pas dans R de plus grand élément mais admet une borne
supérieure : sup A = 5.
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