Algèbre 2.
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ICAM Toulouse I1
Notation : Lorsque x est un élément d’un ensemble E, on note x S E ;
Lorsque x n’est pas un élément d’un ensemble E, on note x T E.
Propriété : Négation d’une phrase quantifiée
Soit P une proposition dépendant d’une variable x et E un ensemble, alors :
(∀ x ∈ E, P) ⇔ (∃ x ∈E, P)
(∃ x ∈ E, P) ⇔ (∀x ∈ E, P)
Exemples :
1. La négation de la proposition (∀x ∈ E, x.0 = 0) est (∃ x ∈E, x.0 ≠ 0).
2. La négation de la proposition : [ ∀a ∈E ,∀ε>0, ∃ η>0, ∀x∈E, (Ix – aI≤ η ⇒ If(x)-f(a)I≤ ε)]
est : [∃a ∈E , ∃ε > 0, ∀η > 0, ∃x ∈E, (I x – aI ≤ η) ∧ (If(x) – f(a)I > ε) ]
Définition 5 : Soient A et B deux ensembles. On dit que A est inclus dans B ou que A est une
partie de B si pour tout x de A, x est élément de B ( ∀x∈A, x∈B ) . On note alors A ⊂ B.
On note P (E) l’ensemble des parties de l’ensemble E, et on note ∅ la partie vide de E.
Exemple : Pour E = {a ; b}, P (E) = {∅ ; {a},{b} ;{a ; b} }
Propriétés :
• A ⊂ B ⇔ ( x∈A ⇒ x∈B ) ; on a ∅ ⊂ A , A ⊂ A pour tout ensemble A.
• A = B ⇔ (A ⊂ B et B ⊂ A ) .
• La négation de A ⊂ B est notée A ⊄ B ceci veut dire : ∃x∈A, x∉B.
• A ≠ B ⇔ (A ⊄ B) ou (B ⊄ A).
• (A ⊂ B et B ⊂ C) ⇒ (A ⊂ C) transitivité
Définition 6 : Soient E un ensemble, A et B des parties de E, on note :
C
E
(A) ={ x∈E, x∉A} complémentaire de A dans E
A∩B = {x∈E, x∈A et x∈B} intersection de A et B
A∪B = {x∈E, x∈A ou x∈B} réunion de A et B
A \ B = {x∈A, x ∉B} = A∩
C
E
(B) différence A moins B
A∆B = (A \ B) ∪ (B \ A) différence symétrique de A et B
Propriétés : lois de Morgan
• La réunion et l’intersection de deux ensembles sont commutatives et associatives.
• Elles sont également distributives l’une par rapport à l’autre :
A ∩ (B ∪ C)=(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) et A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
•
•
Notation : soit (E
i
)
i∈N
une famille de parties de E, on note :
i
∈
= {x
∈
E /
∃
∃∃
∃
i
∈N ,
x
∈
E
i
} et
i
∈
= {x
∈
E /
i
∈N ,
x
∈
E
i
}
2.2 Ensemble
P