Correction - Colegio Francia

décembre 2003 - didier.ariba[email protected]
Correction
1.
(a)
7u – 13 v = 1
Les nombres 7 et 13 sont premiers entre eux, donc d'après le théorème de Bézout, il existe au moins une
solution à cette équation.
On constate aisément que (2;1) est un couple solution.
(b)
7u – 13 v = 1 équivaut à 14u – 26 v = 2, ou encore 14(2u) – 26(2v) = 4
On a donc u0 = 2u = 4 et v0 = 2v = 2
(c)
L'équation 14a - 26k = 4 est équivalente à 14(a – 4) – 26(k – 2) = 0 ou encore 14(a – 4) = 26(k – 2).
En divisant membre à membre par 2 on obtient : 7(a – 4) = 13(k – 2) : (E)
7 divise 13(k – 2) or 7 est premier avec 13 donc, d'après le théorème de Gauss, 7 divise (k – 2), c'est-à-dire
k – 2 = 7 (  Z) ou encore k = 7 + 2
En remplaçant dans (E), 7(a – 4) = 13(7 + 2 – 2) on a (a – 4) = 13, ou encore a = 13 + 4
S = {(13 + 4 ; 7 + 2) avec (  Z) }
2. (a)
La lettre F est associée au nombre n = 5. Celle-ci est codée K qui est associée à φ (n) = 10.
La lettre T est associée au nombre n = 19. Celle-ci est codée O qui est associée à φ (n) = 14.
φ(n) est le reste de la division euclidienne de an + b par 26, ou encore φ (n)  an +b [26]
On obtient donc le système
10 5 26
14 19 26
ab
ab
(b)
En soustrayant la deuxième ligne du système à la première, on obtient 14a  4 [26], c'est-à-dire qu'il existe k
entier relatif tel que 14a – 4 = 26k ou encore 14a – 26k = 4.
D'après la question 1.(c) cette équation a pour solution S = {(13 + 4 ; 7 + 2) avec (  Z) }
a = 13 + 4, pour que 0  a  25, on ne peut avoir que les valeurs de  suivantes : {0; 1},
c'est-à-dire a = 4 ou a = 17.
a = 4
10  5a + b [26]
10  54 + b [26]
10  20 + b [26]
b  –10 [26]
b = 26k' +10
Comme 0  b  25, on a b = 10
a = 17
10  5a + b [26]
10  517 + b [26]
10  85 + b [26]
10  85 + b [26]
10  7 + b [26]
b  –3 [26]
b = 26k" +3
Comme 0  b  25, on a b = 3
S' = {(4 ; 10) ; (17 ; 3)}

décembre 2003 - didier.ariba[email protected]
3 (a)
φ (n)  an +b [26]
Avec a = 17 et b = 3 on a φ (n)  17n +3 [26]
Lettre
G
A
U
S
S
n
6
0
20
18
18
17n + 3
105
3
343
309
309
φ (n)
1
3
5
23
23
Lettre
B
D
F
X
X
Remarque :
A la calculatrice, on peut enregistrer la fonction φ en Y1
Le mot GAUSS est codé BDFXX
(b)
φ (n) = φ (p) équivaut à 17n + 3  17p +3 [26] ou encore 17n  17p [26], c'est-à-dire 17(n – p)  0 [26].
Ayant raisonné en équivalence, si on a n  p, alors on aura n – p non congru à 0 modulo 26 (puisque n et p
inférieurs tous deux à 26). Comme 17 est premier avec 26, on n'aura jamais 17(n – p)  0 [26], c'est-à-dire
φ (n)  φ (p).
4. (a)
23 φ (n) + 9 – n  23 (17n + 3) + 9 – n  2317n + 233 + 9 – n  1n + 17 + 9 – n  0
on a donc 23 φ (n) + 9 – n  0 ou n  23 φ (n) + 9
Remarque : Ici, l'énoncé donne le nombre 23, lequel est le plus petit entier u tel que 17u 1 [26]. Dans le
cas où l'énoncé n'aurait pas donné ce nombre, il aurait fallu résoudre l'équation Diophantienne
17u – 26k = 1.
Lettre
K
T
G
Z
D
O
φ (n)
10
19
6
25
3
14
23 φ (n) + 9
239
446
147
584
78
331
n
5
4
17
12
0
19
Lettre
F
E
R
M
A
T