Correction 1. (a) 7u – 13 v = 1 Les nombres 7 et 13 sont premiers entre eux, donc d'après le théorème de Bézout, il existe au moins une solution à cette équation. On constate aisément que (2;1) est un couple solution. (b) 7u – 13 v = 1 équivaut à 14u – 26 v = 2, ou encore 14(2u) – 26(2v) = 4 On a donc u0 = 2u = 4 et v0 = 2v = 2 (c) L'équation 14a - 26k = 4 est équivalente à 14(a – 4) – 26(k – 2) = 0 ou encore 14(a – 4) = 26(k – 2). En divisant membre à membre par 2 on obtient : 7(a – 4) = 13(k – 2) : (E) 7 divise 13(k – 2) or 7 est premier avec 13 donc, d'après le théorème de Gauss, 7 divise (k – 2), c'est-à-dire k – 2 = 7 ( Z) ou encore k = 7 + 2 En remplaçant dans (E), 7(a – 4) = 13(7 + 2 – 2) on a (a – 4) = 13, ou encore a = 13 + 4 S = {(13 + 4 ; 7 + 2) avec ( Z) } 2. (a) La lettre F est associée au nombre n = 5. Celle-ci est codée K qui est associée à φ (n) = 10. La lettre T est associée au nombre n = 19. Celle-ci est codée O qui est associée à φ (n) = 14. φ(n) est le reste de la division euclidienne de an + b par 26, ou encore φ (n) an +b [26] 10 5a b 26 On obtient donc le système 14 19a b 26 (b) En soustrayant la deuxième ligne du système à la première, on obtient 14a 4 [26], c'est-à-dire qu'il existe k entier relatif tel que 14a – 4 = 26k ou encore 14a – 26k = 4. D'après la question 1.(c) cette équation a pour solution S = {(13 + 4 ; 7 + 2) avec ( Z) } a = 13 + 4, pour que 0 a 25, on ne peut avoir que les valeurs de suivantes : {0; 1}, c'est-à-dire a = 4 ou a = 17. a=4 a = 17 10 5a + b [26] 10 5a + b [26] 10 54 + b [26] 10 517 + b [26] 10 20 + b [26] 10 85 + b [26] b –10 [26] 10 85 + b [26] b = 26k' +10 10 7 + b [26] Comme 0 b 25, on a b = 10 b –3 [26] b = 26k" +3 Comme 0 b 25, on a b = 3 S' = {(4 ; 10) ; (17 ; 3)} décembre 2003 - [email protected] 3 (a) φ (n) an +b [26] Avec a = 17 et b = 3 on a φ (n) 17n +3 [26] Lettre G A U S n 6 0 20 18 17n + 3 105 3 343 309 φ (n) 1 3 5 23 Lettre B D F X S 18 309 23 X Remarque : A la calculatrice, on peut enregistrer la fonction φ en Y1 Le mot GAUSS est codé BDFXX (b) φ (n) = φ (p) équivaut à 17n + 3 17p +3 [26] ou encore 17n 17p [26], c'est-à-dire 17(n – p) 0 [26]. Ayant raisonné en équivalence, si on a n p, alors on aura n – p non congru à 0 modulo 26 (puisque n et p inférieurs tous deux à 26). Comme 17 est premier avec 26, on n'aura jamais 17(n – p) 0 [26], c'est-à-dire φ (n) φ (p). 4. (a) 23 φ (n) + 9 – n 23 (17n + 3) + 9 – n 2317n + 233 + 9 – n 1n + 17 + 9 – n 0 on a donc 23 φ (n) + 9 – n 0 ou n 23 φ (n) + 9 Remarque : Ici, l'énoncé donne le nombre 23, lequel est le plus petit entier u tel que 17u 1 [26]. Dans le cas où l'énoncé n'aurait pas donné ce nombre, il aurait fallu résoudre l'équation Diophantienne 17u – 26k = 1. Lettre φ (n) 23 φ (n) + 9 n Lettre K 10 239 5 F T 19 446 4 E G 6 147 17 R Z 25 584 12 M D 3 78 0 A O 14 331 19 T décembre 2003 - [email protected]