Asie 2016. Enseignement de spécialité

Asie 2016. Enseignement de spécialité
EXERCICE 4 (5 points) (candidats ayant suivi l’enseignementdespécialité)
L’objet du problème est l’étude d’une méthode de cryptage, dite « chiffrement de Hill », dans un cas particulier. Cette
méthode nécessite une matrice de la forme !ab
cd
",dontlescoefficientssontdesnombresentierschoisisentre0et
25, et tels que ad −bc soit premier avec 26.
Cette matrice est connue seulement de l’émetteur et du destinataire.
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.
Partie A : quelques résultats
1) On considère l’équation (E):9d−26m=1,oùdet mdésignent deux entiers relatifs.
a) Donner une solution simple de cette équation, de sorte que det msoient des nombres entiers compris
entre 0 et 3.
b) Démontrer que le couple (d;m)est solution de l’équation (E)si et seulement si :
9(d−3) = 26(m−1).
c) En déduire que les solutions de l’équation (E)sont les nombres entiers relatifs de la forme :
#d=26k+3
m=9k+1 ,avec k∈Z.
2) a) Soit nun nombre entier. Démontrer que si n=26k−1,aveckentier relatif, alors net 26 sont premiers
entre eux.
b) En déduire que les nombres 9d−28,avecd=26k+3et k∈Z,sontpremiersavec26.
Partie B : cryptage et décryptage
On considère la matrice A=!94
73
".
On utilisera le tableau suivant pour la correspondance entreleslettresetlesnombres.
A B C D E F G H I J K L M
012345678910 11 12
N O P Q R S T U V W X Y Z
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
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Méthode de cryptage (pour un
mot comportant un nombre pair
de lettres)
Exemple : avec le mot MATH
1. On regroupe les lettres par paires. MA TH
2. On remplace les lettres par les va-
leurs associées à l’aide du tableau précé-
dent, et on place les couples de nombres
obtenus dans des matrices colonne.
C1=!12
0"C2=!19 7"
3. On multiplie les matrices colonne par
la gauche par la matrice A=!94
73
"AC1=!108
84 "AC2=!199 154"
4. On remplace chaque coefficient des
matrices colonne obtenues par leur reste
dans la division euclidienne par 26.
108 = 4 ×26 + 4
84 = 3 ×26 + 6
On obtient : !4
6"!17
24"
5. On utilise le tableau de correspon-
dance entre lettres et nombres pour ob-
tenir le mot crypté.
EG RY
1) En cryptant par cette méthode le mot « PION », on obtient « LZWH ». En détaillant les étapes pour le mot « ES »,
crypter le mot « ESPION ».
2) Méthode de décryptage
Notation : lorsqu’on manipule des matrices de nombres entiers relatifs, on peut utiliser la notation « ≡»pour
parler de congruence coefficient par coefficient. Par exemple, on peut écrire :
!108
84 "≡!4 6"modulo 26 car 108 ≡4modulo 26 et 84 ≡6modulo 26.
Soient a,b,x,y,x′et y′des nombres entiers relatifs.
On sait que si x≡x′modulo 26 et y≡y′modulo 26 alors ax +by ≡ax′+by′modulo 26.
Ce résultat permet d’écrire que, si Aest une matrice 2×2,etBet Csont deux matrices colonne 2×1,alors:
B≡Cmodulo 26 implique AB ≡AC modulo 26.
a) Établir que la matrice Aest inversible, et déterminer son inverse.
b) Décrypter le mot XQGY.
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EXERCICE 4 : corrigé
Partie A : quelques résultats
1) a) 9×3−26 ×1=27−26 = 1 et donc le couple (3,1) est un couple solution.
b) Soit (d, m)un couple d’entiers relatifs.
9d−26m=1⇔9d−26m=9×3−26 ×1⇔9d−9×3=26m−26 ×1⇔9(d−3) = 26(m−1).
c) Soit (d, m)un couple d’entiers relatifs. D’après b), si le couple (d, m)est solution de l’équation (E),alorsl’entier
26 divise l’entier 9(d−3).Puisquelesentiers9et 26 sont premiers entre eux (d’après la question 1)a) et le théorème
de Bézout), le théorème de Gauss permet d’affirmer que l’entier 26 divise l’entier d−3.Parsuite,ilexisteunentier
relatif ktel que d−3=26kou encore d=26k+3.Demême,l’entier9divise l’entier m−1et donc il existe un entier
relatif k′tel que m−1=9k′ou encore m=9k′+1.
Réciproquement, soient ket k′deux entiers relatifs puis d=26k+3 et m=9k′+1.
9d−26m=1⇔9(d−3) = 26(m−1) ⇔9×26k=26×9k′⇔k=k′.
On a montré que les couples (d, m)d’entiers relatifs solutions de l’équation (E)sont les couples de la forme
(26k+3,9k+1),k∈Z.
2) a) Soient net kdeux entiers relatifs tels que n=26k−1.Alors(−1) ×n+k×26 = 1 et le théorème de Bézout
permet d’affirmer que net 26 sont premiers entre eux.
b) Soient det kdeux entiers relatifs tels que d=26k+3.
9d−28 = 9 ×26k+27−28 = 26(9k)−1.
n=9kest un entier et donc, d’après la question précédente, 9d−28 et 26 sont premiers entre eux.
Partie B : cryptage et décryptage
1) AES,onassocieC1=!4
18 ".AC1=!94 73
"! 4
18 "=!108 82 ".
Puisque 108 = 4 ×26 + 4 et 82 = 3 ×26 + 4,!108
82 "≡!4 4"[26] et donc ES est codé en EE.
Finalement, le mot ESPION est codé en EELZWH.
2) a) Soient a,b,cet dquatre réels puis B=!ab
cd
".
AB =!94
73
"! ab
cd
"=!9a+4c9b+4d
7a+3c7b+3d"
et donc
AB =I2⇔!9a+4c9b+4d
7a+3c7b+3d"=!10 01
"⇔⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
9a+4c=1
7a+3c=0
9b+4d=0
7b+3d=1
⇔
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
c=−7
3a
9a+4!−7
3a"=1
d=−9
4b
7b+3!−9
4b"=1
⇔
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
a=−3
c=7
b=4
d=−9
⇔B=!−34
7−9".
De plus, si B=!−34
7−9",alors
BA =!−34
7−9"! 94
73
"=!10
01
"=I2.
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Donc, la matrice Aest inversible et A−1=!−34
7−9".
b) XQ correspond à C′
1=!23
16 ".
AC1≡C′
1[26] ⇒A−1AC1≡A−1C′ 1[26] ⇒C1≡A−1C′ 1[26].
A−1C′
1=!−34
7−9"! 23 16 "=!−5 17 "≡!21 17 "[26].!21
17 "correspond à VR.
De même, GY correspond à C′
2=!6
24 ".A−1C′
2=!−34
7−9"! 6
24 "=!78 −174 "≡!0
8"[26].
!0
8"correspond à AI.
Finalement, le mot XQGY se décode en le mot VRAI.
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