Asie 2016. Enseignement de spécialité

Asie 2016. Enseignement de spécialité
EXERCICE 4 (5 points) (candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité)
L’objet du problème est l’étude d’une méthode
dite « chiffrement de Hill », dans un cas particulier. Cette
! de cryptage,
"
a b
méthode nécessite une matrice de la forme
, dont les coefficients sont des nombres entiers choisis entre 0 et
c d
25, et tels que ad − bc soit premier avec 26.
Cette matrice est connue seulement de l’émetteur et du destinataire.
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.
Partie A : quelques résultats
1) On considère l’équation (E) : 9d − 26m = 1, où d et m désignent deux entiers relatifs.
a) Donner une solution simple de cette équation, de sorte que d et m soient des nombres entiers compris
entre 0 et 3.
b) Démontrer que le couple (d ; m) est solution de l’équation (E) si et seulement si :
9(d − 3) = 26(m − 1).
c) En déduire que les solutions de l’équation (E) sont les nombres entiers relatifs de la forme :
#
d = 26k + 3
, avec k ∈ Z.
m = 9k + 1
2) a) Soit n un nombre entier. Démontrer que si n = 26k − 1, avec k entier relatif, alors n et 26 sont premiers
entre eux.
b) En déduire que les nombres 9d − 28, avec d = 26k + 3 et k ∈ Z, sont premiers avec 26.
Partie B : cryptage et décryptage
"
9 4
.
7 3
On utilisera le tableau suivant pour la correspondance entre les lettres et les nombres.
On considère la matrice A =
!
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
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Méthode de cryptage (pour un
mot comportant un nombre pair
de lettres)
Exemple : avec le mot MATH
1. On regroupe les lettres par paires.
2. On remplace les lettres par les valeurs associées à l’aide du tableau précédent, et on place les couples de nombres
obtenus dans des matrices colonne.
3. On multiplie les matrices colonne
par
!
"
9 4
la gauche par la matrice A =
7 3
4. On remplace chaque coefficient des
matrices colonne obtenues par leur reste
dans la division euclidienne par 26.
MA TH
! "
12
C1 =
0
AC1 =
! "
19
C2 =
7
! "
108
84
AC2 =
108 = 4 × 26 + 4
84 = 3 × 26 !
+ 6"
4
On obtient :
6
!
"
199
154
! "
17
24
5. On utilise le tableau de correspondance entre lettres et nombres pour obtenir le mot crypté.
EG RY
1) En cryptant par cette méthode le mot « PION », on obtient « LZWH ». En détaillant les étapes pour le mot « ES »,
crypter le mot « ESPION ».
2) Méthode de décryptage
Notation : lorsqu’on manipule des matrices de nombres entiers relatifs, on peut utiliser la notation « ≡ » pour
parler de congruence coefficient par coefficient. Par exemple, on peut écrire :
! " ! "
108
4
≡
modulo 26 car 108 ≡ 4 modulo 26 et 84 ≡ 6 modulo 26.
84
6
Soient a, b, x, y, x′ et y ′ des nombres entiers relatifs.
On sait que si x ≡ x′ modulo 26 et y ≡ y ′ modulo 26 alors ax + by ≡ ax′ + by ′ modulo 26.
Ce résultat permet d’écrire que, si A est une matrice 2 × 2, et B et C sont deux matrices colonne 2 × 1, alors :
B ≡ C modulo 26 implique AB ≡ AC modulo 26.
a) Établir que la matrice A est inversible, et déterminer son inverse.
b) Décrypter le mot XQGY.
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EXERCICE 4 : corrigé
Partie A : quelques résultats
1) a) 9 × 3 − 26 × 1 = 27 − 26 = 1 et donc le couple (3, 1) est un couple solution.
b) Soit (d, m) un couple d’entiers relatifs.
9d − 26m = 1 ⇔ 9d − 26m = 9 × 3 − 26 × 1 ⇔ 9d − 9 × 3 = 26m − 26 × 1 ⇔ 9(d − 3) = 26(m − 1).
c) Soit (d, m) un couple d’entiers relatifs. D’après b), si le couple (d, m) est solution de l’équation (E), alors l’entier
26 divise l’entier 9(d − 3). Puisque les entiers 9 et 26 sont premiers entre eux (d’après la question 1)a) et le théorème
de Bézout), le théorème de Gauss permet d’affirmer que l’entier 26 divise l’entier d − 3. Par suite, il existe un entier
relatif k tel que d − 3 = 26k ou encore d = 26k + 3. De même, l’entier 9 divise l’entier m − 1 et donc il existe un entier
relatif k ′ tel que m − 1 = 9k ′ ou encore m = 9k ′ + 1.
Réciproquement, soient k et k ′ deux entiers relatifs puis d = 26k + 3 et m = 9k ′ + 1.
9d − 26m = 1 ⇔ 9(d − 3) = 26(m − 1) ⇔ 9 × 26k = 26 × 9k ′ ⇔ k = k ′ .
On a montré que les couples (d, m) d’entiers relatifs solutions de l’équation (E) sont les couples de la forme
(26k + 3, 9k + 1), k ∈ Z.
2) a) Soient n et k deux entiers relatifs tels que n = 26k − 1. Alors (−1) × n + k × 26 = 1 et le théorème de Bézout
permet d’affirmer que n et 26 sont premiers entre eux.
b) Soient d et k deux entiers relatifs tels que d = 26k + 3.
9d − 28 = 9 × 26k + 27 − 28 = 26(9k) − 1.
n = 9k est un entier et donc, d’après la question précédente, 9d − 28 et 26 sont premiers entre eux.
Partie B : cryptage et décryptage
!
"
!
"!
" !
"
9 4
4
108
1) A ES, on associe C1 =
. AC1 =
=
.
7 3 " 18! "
82
!
108
4
Puisque 108 = 4 × 26 + 4 et 82 = 3 × 26 + 4,
≡
[26] et donc ES est codé en EE.
82
4
4
18
Finalement, le mot ESPION est codé en EELZWH.
!
"
a b
2) a) Soient a, b, c et d quatre réels puis B =
.
c d
!
"!
" !
9 4
a b
9a + 4c
AB =
=
7 3
c d
7a + 3c
9b + 4d
7b + 3d
"
et donc
⎧
9a + 4c = 1
⎪
⎪
!
" !
"
⎨
9a + 4c 9b + 4d
1 0
7a + 3c = 0
AB = I2 ⇔
=
⇔
7a + 3c 7b + 3d
0 1
⎪ 9b + 4d = 0
⎪
⎩
7b + 3d = 1
⎧
7
⎪
c=− a
⎪
⎪
3
⎪
"
!
⎪
⎪
7
⎪
⎪
9a + 4 − a = 1
⎪
⎪
⎨
3
9
⇔
d=− b
⎪
⎪
4
⎪
⎪
⎪
⎪
!
"
⎪
⎪
⎪
9
⎪
⎩ 7b + 3 − b = 1
4
⎧
a = −3
⎪
⎪
⎪
⎪
!
"
⎨ c=7
−3 4
b=4
⇔
⇔B=
.
7 −9
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
d = −9
!
"
−3 4
De plus, si B =
, alors
7 −9
!
"!
" !
"
−3 4
9 4
1 0
BA =
=
= I2 .
7 −9
7 3
0 1
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−1
Donc, la matrice A est inversible et A
b) XQ correspond à C1′ =
!
23
16
=
!
−3
7
4
−9
"
.
"
.
AC1 ≡ C1′ [26] ⇒ A−1 AC1 ≡ A−1 C1′ [26] ⇒ C1 ≡ A−1 C1′ [26].
!
"!
" !
" !
"
!
"
−3 4
23
−5
21
21
A−1 C1′ =
=
≡
[26].
correspond à VR.
7 −9
16
17
17
17
!
"
!
"!
" !
" !
"
6
−3 4
6
78
0
De même, GY correspond à C2′ =
. A−1 C2′ =
=
≡
[26].
24
7 −9
24
−174
8
!
"
0
correspond à AI.
8
Finalement, le mot XQGY se décode en le mot VRAI.
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