mod n

Inverse d’un entier a modulo un entier naturel n,
et plus généralement résolution de l’équation ax b (mod n)
Auteur : Maxime COUSIN
Niveaux scolaires
Tremplin prépa
Terminale S vers CPGE scientifiques
Mots clés : arithmétique, congruence,
PGCD, théorème de Bézout, théorème
de Gauss, algorithme, …
ENONCE
Point d’appui : un extrait de l’exercice de spécialité mathématiquesdu BAC S, Antilles-Guyane,
septembre 2015.
Partie A :
On considère l’équation 51x − 26y = 1 où x et y sont des nombres entiers relatifs.
1) Justifier, en énonçant un théorème du cours, que cette équation admet au moins un couple solution.
2)a) Donner un couple solution (x0 ; y0) de cette équation.
b) Déterminer l’ensemble des couples solutions de cette équation.
Partie B :
(…)
2) En utilisant la partie A, déterminer l’entier a tel que 0 a 25 et 51a 1 (26).
L’entier a cherché ici est ce que l’on appelle un inverse de l’entier 51 modulo 26.
L’élève de TS ayant choisi la spécialité mathématique doit donc savoir trouver de tels entiers. Pour
ceux n’ayant pas suivi la spécialité mathématique, il est vivement conseillé de s’approprier la correction
proposée et d’une façon générale d’entrer dans le « monde » de l’arithmétique avant l’entrée en CPGE…
Ces inverses modulo un entier naturel n sont des cas particuliers des solutions d’équations de la
forme ax b (mod n). Dans l’esprit de ce qui se passe en CPGE, on va chercher à résoudre ces équations
d’une façon générale. Les seuls théorèmes de terminale suffisent pour cela.
A partir de cette résolution, on pourra écrire un algorithme général donnant les solutions,
algorithme que l’on codera à la calculatrice.
1. Résolution de l’extrait du bac S, Antilles-Guyanne, septembre 2015
Partie A :
1) Il s’agit du théorème de Bézout.
Les entiers a et b sont premiers entre eux si et seulement si il existe un couple d’entiers (u ; v)
vérifiant au + bv = 1.
On a ici :
PGCD(51, 26) = PGCD(51, 51 - 2×26) = PGCD( 51, -1) = 1.
Les entiers 51 et 26 sont premiers entre eux et d’après le théorème de Bézout, on sait alors que
l’équation 51x – 26y = 1 admet au moins un couple solution.
2) a) On a de façon évidente 51(-1) – 26(-2) = 1 ; le couple (-1 ; -2) est un couple solution de cette
équation.
b) On va raisonner par analyse-synthèse.
• Analyse : Si le couple d’entiers (X ; Y) est solution de cette équation, alors on a :
51X – 26Y = 1 ; or 51(-1) – 26(-2) = 1, donc 51X – 26 Y = 51(-1) – 26(-2),
et alors 51(X + 1) = 26 (Y + 2).
Ainsi 51 divise 26(Y + 2) et PGCD(51, 26) = 1, donc d’après le théorème de Gauss, 51 divise Y + 2.
Il existe alors un entier k tel que Y + 2 = 51k.
Mais alors 51(X + 1) = 26(51k) et donc X + 1 = 26k.
Finalement, si (X ; Y) est solution de cette équation, alors X = -1 + 26k et Y = -2 + 51k avec k entier.
• Synthèse : Si X = -1 + 26k et Y = -2 + 51k avec k entier, alors :
51X – 26Y = 51(-1 + 26k) – 26(-2 + 51k) = 51(-1) – 26(-2) + 51(26k) – 26(51k) = 1.
• Conclusion : les solutions de l’équation 51x – 26y = 1 sont les couples d’entiers
(-1 + 26k ; -2 + 51k) où k est un entier.
Partie B :
(…)
2) On doit déterminer l’entier a tel que 0 a 25 et 51a 1 (26).
La proposition 51a 1 (26) équivaut à la proposition : il existe un entier q tel que 51a – 26q = 1.
D’après la partie A, cela signifie que le couple (a ; q) est solution de l’équation 56x – 26y = 1 et par
suite, il existe un entier k tel que a = -1 + 26k.
Or 0 a 25, donc 0 -1 + 26k 25, id est k = 1.
Ainsi, l’entier cherché est a = 25.
2. Résolution dans l’ensemble des entiers de l’équation ax
b (mod n)
Soit (a ; b ; n) un triplé d’entiers vérifiant a entier naturel non nul et n entier naturel.
On peut en effet se limiter à a entier naturel, car par exemple l’équation -2x 3 (mod 5) est équivalente à
l’équation 2x -3 (mod 5).
On appelle dans l’ensemble des entiers (E) l’équation ax b (mod n).
On a :
( E ) ⇔ ∃k ∈ ,ax − nk = b .
On pose d = PGCD(a, n).
Il existe alors un couple d’entiers naturels (a’ ; n’) vérifiant : a = da’ et b = db’ et PGCD(a’ ; b’) = 1.