Réduction des endomorphismes... et des matrices

u(x) = λx

K R C
E1⊕E2=E u E1E2E
u◦u=uKer (u−E) = E1Ker (u) = E2
v∈ L(E)v◦v=v F1:= Ker (v−E)F2:= Ker (v)
v F1F2
Ker (v−E) Ker (v)
v Diag(1, ..., 1,0, ..., 0) =
1
(0)
1
0
(0)
0
=
Ir0
· · · · · · ·
0 0
E1⊕E2=E u E1E2
E u ◦u=EKer (u−E) = E1Ker (u+E) = E2
v∈ L(E)v◦v=EF1:= Ker (v−E)F2:= Ker (v+E)
v F1F2
Ker (v−E) Ker (v+E)
v Diag(1, ..., 1,−1, ..., −1) = 
Ip0
· · · · · · ·
0−In−p
u∈ L(E)u2−(a+b)u+ab E= 0 Ker (u−aE)
Ker (u−bE)u
E=R2u π/2u
E u
E
E
V1, ..., VkE=V1⊕ · · · ⊕ Vku|Vi
x7→ λix i ∈[[1, k]] u=
k
X
i=1
λipipiVi
u∈ L(E)u λ ∈Cu−λE
λ x ∈E
u(x) = λx λ Ker (u−λE)
Eλ(u)Eλ
u(u)

−→
0
Mat(u, E) = Diag(λ1, ..., λn)λi
λ u −λEMat(u−λE,E) = Diag(λ1−λ, ..., λn−λ)
λ λi
1 0 1 −1
x7→ λx
λiDiag(λ1, ..., λn)
µ1In10
0µkInk
n1+···+nk=n
µi
u
λ1λ2Eλ1Eλ2
λ1λ2λ3Eλ1Eλ2Eλ3
λ1, ..., λk
u∈ L(E)
u
E
u⇐⇒ E=M
λ∈(u)
Ker (u−λE)
u∈ L(E)
u, v ∈ L(E)u◦v=v◦u u v

u
u∈ L(E)P=a0+a1X+· · · +akXk∈K[X]
P(u) := a0E+a1u+· · · +akuk,
ui=u◦u◦ · · · ◦ u
| {z }
i
u∈ L(E)P7→ P(u) (K[X],+, ., ×)
(L(E),+, ., ◦)
A=
011
101
110
A2−A−2I3= 0 P=X2−X−2 =
(X−2)(X+ 1) Xn=QnP+αnX+βn2n= 2αn+βn
(−1)n=−αn+βnαn=2n−(−1)n
3βn=2n+ 2(−1)n 3A
An=2n−(−1)n
3A+2n+ 2(−1)n 3I3.
α0Inα0
PαkXk
u
u∈ L(E)P∈K[X] Ker (P(u)) Im (P(u)) u
u=P(v)v∈ L(E)P∈K[X]u◦v=v◦u
A∈ Mn(K)A
A
Kn
u P ∈n(K)P−1AP

A=
111
111
111
1
u2
1
−1
0
1
0
−1
C=
1
1
1
AC = 3C
uER3F
P= Pas
E→F = Mat( E,F,E) = 
1 1 1
−101
0−1 1
D= Mat(u, F) = Diag(1,1,3)
ACi=λCiAP =P D
D= Mat(u, F) =
P−1AP
Eu −−−−→
AE
IdEx
PIdE yP−1
Fu −−−−→
DF
P−1AP
A1C6= 0 A AC
A C C
R=0−1
1 0 ∈ M2(R)
π
2R2R
R=0−1
1 0 ∈ M2(C)C1=1 −iC2=1 i
RC1=−iC1RC2=iC2D=−i0
0iP=1 1 i−iR=P DP −1R
C
A, B ∈ Mn(K)KP∈n(K)
B=P−1AP
A B Kn
200
020
002
210
020
002
100
020
003
300
020
001
100
020
003
110
020
003
A
A