Modèle mathématique.

TS Fiche de révisions Fonctions polynômes et exponentielle
Exercice 1:
f est la fonction définie sur [ 0 ; + [ par f ( x ) = 3x – 3
x + 1 .
1. Déterminer f ’( x ) , la fonction dérivée de cette fonction f , puis les variations de f .
( on dressera le tableau de variations )
2. Déterminer une équation de la tangente à Cf en 1. Cette tangente sera noté T1 .
3. Tracer Cf et T1 dans un repère.
4.
a. Prouver que si x > 5 alors 2 < f ( x ) < 3 .
b. 10 est-il un majorant de cette fonction f sur ] 5 ; + [ ?
c. Quels sont les entiers naturels non nuls x tels que x + 1 divise 3x – 3 ?
Exercice 2 :
On note f et g les fonction définies respectivement par : f ( x ) = 2x ( 1 – x ) et g ( x ) = 8
3 x3 – 2 x2 + 2 x.
1. Déterminer les variations de ces deux fonctions f et g.
2. Démontrer que Cf et Cg ( les courbes représentatives de ces fonctions ) ont la même tangente à l’origine du repère.
3.
a. Déterminer la position relative de Cf par rapport à cette tangente.
b. Déterminer la position relative de Cg par rapport à cette tangente.
c. Tracer , sur [ –0,5 ; 1 ] , dans un même repère Cf , Cg ainsi que cette tangente.
( repère orthogonal (O; i; j ) avec
||
i
||
= 1 cm et
||
j
||
= 2 cm
Exercice 3:
On rappelle que :
● exp est une fonction dérivable sur IR.
● sa fonction dérivée, notée exp’ , est telle que , pour tout nombre réel x , exp’ ( x ) = exp (x ) .
● exp ( 0 ) = 1.
En n’utilisant que ces trois propriétés de la fonction exp, démontrer que pour tout nombre réel x , exp( x ) exp( – x ) = 1
Exercice 4 : Cochez la (ou les) bonnes réponse(s).
● Une bonne réponse = un point ● une mauvaise réponse = moins 0,5 point ● pas de réponse = 0 point.
(Si le total est négatif, il sera ramené à 0)
A
B
C
D
pour h voisin de 0,
f ( a + h ) est voisin de
f ( a )
f ’( a )  h
f( a ) + h  f ’(a)
f ’(a)
si f est dérivable sur IR, la dérivée de
x  f ( 2 – x ) est
x  f ’( 2 – x )
x  –f ’( 2 – x )
x  f ’(x – 2 )
– 2 f ’ ( 2 – x )
(e1/2 ) – 4 =
e2/4
1
e2
(e–1 )2
1
e–2
si f est définie sur [ 0 ; 1 ] telle que
f ’( x ) = 0 et f ( 0 ) = 1 alors
f ( x ) = x
f ( x ) =1
f ( x ) = x + 1
f ( x ) = 0
si f est définie sur ]0 ; + [
telle que f ’( x ) = – [ f ( x ) ]2
on peut avoir
f ( x ) = 1
x
f ( x ) = 1
x + 5
f ( x ) = – 2
x
f ( x ) = – 1
x
Si f est définie et dérivable sur IR
telle que f ’( x ) = 2  f ( x ) et f ( 0 ) = 3
on peut avoir
f ( x ) = 2 exp ( 3 x)
f ( x ) = 3 exp ( 2x )
f ( x ) = (e 2x )3
e 3x + 2

Exercice 5 :
x ) ex

Exercice 6 :
On considère la fonction f , définie sur IR par f (x) = e2x – 2ex – 8 .
On appelle C sa courbe représentative dans un repère orthogonal ( O, i , j ) .
1. a. Vérifier que, pour tout nombre réel x , f (x) = ( ex + 2 ) ( ex – 4 ).
2. a. Calculer f '(x) et vérifier que, pour tout nombre réel x : f '(x) = 2 ex ( ex – 1 ).
b. Etudier le signe de f '(x). En déduire le tableau de variations de la fonction f sur IR .
3. Déterminer l' équation de la tangente à la courbe C en A d’abscisse 1.
4. a. Compléter le tableau de valeurs suivant, en portant les arrondis à 10–1 près.
x
3
2
1
0
1
2
2,2
f(x)
b. Tracer C et la tangente .
Unités graphiques : 2 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées.
Exercice 7 : Partie A
Soit une fonction f définie sur IR dont la courbe représentative passe par les points A ( 0 ; 4 ) et B ( – 1,5 ; 1 ).
1) Donner les valeurs de f(0) et f( – 1,5 ).
2) On suppose que , pour tout réel x, la fonction f peut s'écrire f(x) = ( ax + b ) e– x + 1.
Utiliser les résultats de la question précédente pour trouver les valeurs de a et b.
Partie B
On suppose maintenant que f(x) = ( 2x + 3 ) e– x + 1. On va étudier cette fonction sur IR .
1) Montrer que f(x) = 2 x
ex + 3 ex + 1
2) Montrer que la dérivée f ' de f peut s'écrire f ' (x) = ( – 2x – 1 ) e– x .
3) Etudier le signe de f ' sur IR et tracer son tableau de variation.
4) La courbe (C ) admet –elle des tangentes horizontales ? Si oui, préciser en quel(s) point(s).
Les tracer sur le graphique ci–dessous.
5) Déterminer une équation de la tangente (T) à (C ) en A ( 0 ; 4 ). La tracer sur le graphique ci–dessous.
Exercice 8 :
La fonction f est définie sur [ 0 ; +  [ par f(x) = ex + 2
(x + 2)2 .
1) f ' étant la fonction dérivée de f , monter que f '(x) = x ex + 2
( x + 2 )3 .
2) Donner le tableau de variation de f.

CORRECTION
Exercice 6 :
On considère la fonction f , définie sur IR par f (x) = e2x – 2 ex – 8 .
1. ( ex + 2 ) ( ex – 4 ) = ( ex )2 –4 ex +2 ex – 8
= e2x – 2 ex – 8
= f (x)
2. a. f '(x) = 2 e2x – 2 ex = 2 ex ( ex – 1 ).
b. ex > 0 sur IR donc f '(x ) est du signe de ex – 1 . Or ex – 1 > 0 ex > 1 ex > e0 x > 0
3. Equation de la tangente en A d'abscisse 1.:
y = f ' (1 ) ( x – 1 ) + f(1) = 2 e ( e – 1 ) ( x – 1 ) + e² – 2e – 8 = ( 2e )( e – 1 ) x – e² – 8
4. a. Compléter le tableau de valeurs suivant, en portant les arrondis à 10–1 près.
x
3
2
1
0
1
2
2,2
f(x)
–8,1
–8,3
–8,6
– 9
– 6
31,8
55,4
b.
x
– 
0
+ 
f '(x)
–
0
+
f (x)
– 9

Exercice 7 :
2)
3)
4)
5)
1)