Mathématiques BTS industriels

BTS
Mathématiques
BTS INDUSTRIELS Groupements B, C et D
A. Benzidia
E. Daniel
S. Groetz
L. Legry
J.-L. Olivier
D. Pavkovic
E. Sebert-Cuvillier
NOUVEAMUE
PROGRAM
D E L AG R AV E
tra
ex
it
it
BTS
tra
Mathématiques
BTS INDUSTRIELS Groupements B, C et D
Sous la direction de Ludovic Legry, IA-IPR de mathématiques, académie d’Amiens
ex
Abdelaziz Benzidia, professeur au lycée Henri Loritz, Nancy
Estelle Daniel, professeur au lycée Louis Thuillier, Amiens
Sylvain Groetz, professeur au lycée Jean Calvin, Noyon
Jean-Louis Olivier, professeur au lycée Marie Curie, Nogent-sur-Oise
Dragan Pavkovic, professeur au lycée Édouard Branly, Amiens
Emmanuelle Sebert-Cuvillier, professeur au lycée Pierre d’Ailly, Compiègne
D E L AG R AV E
it
tra
ex
Édition : Anne-Sophie Dreyfus
Maquette et couverture : Ici et Ailleurs
Mise en pages : Laser Graphie et Patrick Desgrez
Photos de couverture : Fotolia.com
Toute représentation, traduction, adaptation ou reproduction, même partielle, par tous procédés, en tous pays, faite sans
autorisation préalable est illicite et exposerait le contrevenant à des poursuites judiciaires. Réf. : loi du 11 mars 1957,
alinéas 2 et 3 de l’article 41.
Une représentation ou reproduction sans autorisation de l’éditeur ou du Centre Français d’Exploitation du droit de Copie
(20, rue des Grands-Augustins, 75006 Paris) constituerait une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du
Code pénal.
ISBN 978-2-206-10053-1
© Delagrave, 2014
Éditions Delagrave – 5, allée de la 2e DB – 75015 Paris
www.editions-delagrave.fr
Avant-propos
it
À la suite de la réécriture des programmes de mathématiques au niveau des classes de
seconde, première et terminale du lycée, une évolution voit naturellement le jour en
Sections de Techniciens Supérieurs.
Cet ouvrage veut prendre en compte ces nouvelles orientations et propose une application concrète du nouveau programme des BTS industriels, pour les groupements
B, C et D.
➔ Nous avons ainsi toujours souhaité développer la part faite à l’intégration des
tra
TICE dans le cadre de l’enseignement des mathématiques. Il s’agit notamment d’user
de ces technologies afin de développer le goût et la motivation pour la discipline.
Cela doit se faire avec le souci de proposer des activités qui le justifient de façon pertinente.
➔ De même, pour des élèves ayant fait le choix pour leur orientation de spécialités
bien identifiées, nous souhaitons leur communiquer des exercices en relation avec
leurs préoccupations professionnelles. Les mathématiques seront alors l’occasion de
justifier par exemple l’usage de telle ou telle méthodologie dans telle ou telle situation professionnelle. C’est le sens même de l’activité mathématique qui pourra ainsi
être présenté.
➔ Afin de gérer l’hétérogénéité, nous avons fait le choix d’exercices de niveaux
variés et vous les trouverez ainsi bien identifiés dans cet ouvrage. Cette organisation
devrait vous permettre de travailler de façon progressive.
➔ Des situations typées Brevet de Technicien Supérieur permettront quant à elles
de présenter les attendus des examens de fin d’études en mathématiques.
ex
➔ Nous avons ajouté enfin à partir de la page 247 tous les corrigés des exercices
des parties « Pour s’entraîner », ainsi que les corrigés indiqués pour ceux des parties « Pour maîtriser ». Ceci doit permettre un entraînement de façon autonome au
rythme souhaité.
Une équipe d’auteurs enseignants en classes de lycées et dans le supérieur s’est ainsi
acquittée d’un travail qui, je le souhaite, pourra correspondre aux préoccupations qui
sont les vôtres. Leur but est qu’il vous guide efficacement pour l’obtention de votre
diplôme.
Je leur adresse ici tous mes remerciements pour cette réalisation conséquente et pertinente.
Ludovic Legry
Sommaire
ANALYSE
TP2.
it
Chapitre 1 – Fonctions
d’une variable réelle ..................................................... 7
Activités............................................................................................. 8
1.
Pour faire connaissance avec la fonction ln
2. Pour comprendre la résolution d’une équation
L’essentiel ..................................................................................... 10
Exercices résolus ..................................................................... 14
Travaux pratiques ..................................................................... 18
TP1.
Chapitre 4 – Approximation locale
et globale d’une fonction. Courbes
paramétrées ......................................................................... 57
Activités.......................................................................................... 58
1.
Pour faire connaissance
2. Pour comprendre paramètre, variations conjointes et
tra
f(x) = constante
Pour faire connaissance
avec les fonctions sinus et cosinus
4.
Pour comprendre la notion de limite
3.
Comment déterminer la convergence d’une
série de Riemann ?
Exercices et problèmes ........................................................ 53
Comment rechercher une valeur approchée
d’une solution de l’équation f(x) = k par
dichotomie ?
TP2.
Comment étudier une fonction rationnelle
et ses asymptotes avec Xcas ?
3.
tracé de courbe paramétrée
Exemples d’approximation globale
de la fonction exponentielle
L’essentiel ..................................................................................... 60
Exercices résolus ..................................................................... 61
Travaux pratiques ..................................................................... 63
TP.
Comment mettre en œuvre la méthode
d’Euler pour obtenir une approximation de la
fonction exponentielle sur l’intervalle [– 5 ; 5] ?
Exercices et problèmes ........................................................ 20
Exercices et problèmes ........................................................ 64
Chapitre 2 – Calcul intégral .............................. 27
Chapitre 5 – Fonctions d’une variable
réelle et modélisation du signal ..................... 69
Activités.......................................................................................... 28
1.
Pour faire connaissance
2.
Pour calculer aires et valeurs moyennes
3. Pour intégrer par parties
1. Pour faire connaissance
2. Pour comprendre la parité et la périodicité
3.
Pour comprendre les fonctions tangente et
arctangente
ex
L’essentiel ..................................................................................... 31
Exercices résolus ..................................................................... 34
Travaux pratiques ..................................................................... 36
Activités.......................................................................................... 70
TP1.
Comment approcher une intégrale par la
méthode des rectangles et par la méthode des
trapèzes ?
TP2.
Comment approcher une intégrale par la
méthode de Monte-Carlo ?
Exercices et problèmes ........................................................ 38
TP1.
Comment construire la courbe de
l’arctangente par la méthode d’Euler ?
TP2.
Autour de la fonction x ↦ arctan(tanx)
Exercices et problèmes ........................................................ 75
Chapitre 3 – Suites numériques ..................... 43
Chapitre 6 – Séries de Fourier ........................ 79
Activités.......................................................................................... 44
Activité ............................................................................................ 80
1. Pour faire connaissance
2. Pour comprendre la notion de suite géométrique
3.
Intérêts simples et intérêts composés
L’essentiel ..................................................................................... 46
Exercices résolus ..................................................................... 48
Travaux pratiques ..................................................................... 51
TP1.
4
L’essentiel ..................................................................................... 72
Exercices résolus ..................................................................... 73
Travaux pratiques ..................................................................... 74
Comment approcher des nombres avec des
suites et des séries ?
Pour faire connaissance
L’essentiel ..................................................................................... 81
Exercices résolus ..................................................................... 82
Travaux pratiques ..................................................................... 84
TP1. Comment démontrer les formules relatives aux
TP2.
coefficients de Fourier ?
Comment gérer un cas « pathologique » ?
Exercices et problèmes ........................................................ 85
Sommaire
Chapitre 7 – Équations différentielles .... 89
Activités.......................................................................................... 90
Activités........................................................................................126
1. Pour faire connaissance avec le barycentre
2. Pour comprendre le barycentre de points pondérés
3. Pour comprendre la décomposition d’un vecteur
dans une base de l’espace
L’essentiel ...................................................................................127
Exercices résolus ...................................................................129
Travaux pratiques ...................................................................130
tra
Comment utiliser un logiciel de calcul
formel pour résoudre une équation différentielle
pas à pas ?
TP2.
Comment déterminer une solution
approchée d’une équation différentielle par la
méthode d’Euler ?
Exercices et problèmes ........................................................ 96
Chapitre 8 – Transformation
de Laplace ............................................................................101
Activités........................................................................................102
1. Pour faire connaissance
2.
Autour des fonctions par morceaux
L’essentiel ...................................................................................103
Exercices résolus ...................................................................104
Travaux pratiques ...................................................................106
TP1.
Exercices et problèmes ......................................................119
Chapitre 10 – Calcul vectoriel .......................125
L’essentiel ..................................................................................... 92
Exercices résolus ..................................................................... 93
Travaux pratiques ..................................................................... 94
TP1.
Comment construire la section d’un cube
par un plan ?
it
1. Pour faire connaissance
2. Pour comprendre le premier ordre
3. Pour comprendre le second ordre
4.
Le champ des tangentes
TP2.
assemblage de solides ?
TP2. Comment déterminer le travail d’une force ?
TP3. Comment déterminer le moment d’une force par
rapport à un point ?
Exercices et problèmes ......................................................132
Chapitre 11 – Modélisation
géométrique .......................................................................137
Activités........................................................................................138
1. Pour faire connaissance
2. Pour comprendre le modèle par vecteurs et
contraintes
3. Pour comprendre le modèle par points de contrôle
4.
Pour comprendre l’algorithme de De Casteljau
5. Pour comprendre le modèle de Riesenfeld
L’essentiel ...................................................................................140
Exercices résolus ...................................................................141
Travaux pratiques ...................................................................142
ex
Comment retrouver les théorèmes de
la valeur initiale et de la valeur finale et les
appliquer ?
TP2.
Comment démontrer les propriétés de la
transformée de Laplace ?
TP3.
Comment retrouver les signaux de sortie
à partir d’une équation différentielle du second
ordre ?
Exercices et problèmes ......................................................108
TP1. Comment déterminer le centre d’inertie d’un
TP1.
ALGÈBRE ET GÉOMÉTRIE
Chapitre 9 – Configurations
géométriques ....................................................................113
Activités........................................................................................114
1.
Pour faire connaissance avec les coordonnées
polaires
2. Pour comprendre les coordonnées cartésiennes d’un
point dans l’espace
L’essentiel ...................................................................................115
Exercices résolus ...................................................................117
Travaux pratiques ...................................................................118
TP1.
Comment placer des points dans un repère
de l’espace et représenter un solide avec un logiciel
de géométrie ?
Comment tracer, à l’aide du logiciel Algobox,
des courbes de Bézier associées à un nombre p
quelconque de points de contrôle ?
TP2.
Comment construire de jolies figures ?
Exercices et problèmes ......................................................143
Chapitre 12 – Nombres complexes................147
Activités........................................................................................148
1.
2.
Pour faire connaissance
Géométrie et nombres complexes
L’essentiel ...................................................................................149
Exercices résolus ...................................................................151
Travaux pratiques ...................................................................153
TP1.
Comment déterminer des ensembles
de points à l’aide d’un logiciel de géométrie
dynamique ?
5
Sommaire
TP2.
Comment visualiser l’image d’une droite ou
d’un cercle par une transformation géométrique
d’écriture complexe z ↦ az + b/cz + d à l’aide du
logiciel Xcas ?
Exercices et problèmes ......................................................155
Chapitre 16 – Statistique inférentielle
.....197
Activités........................................................................................198
1.
2.
Pour faire connaissance
Intervalle de confiance et incertitude de
mesures
1. Pour faire connaissance
2.
Systèmes et matrices
TP1.
TP2.
it
Activités........................................................................................160
L’essentiel ...................................................................................200
Exercices résolus ...................................................................203
Travaux pratiques ...................................................................205
Chapitre 13 – Calcul matriciel .......................159
TP1.
Exercices et problèmes ......................................................207
Chapitre 17 – Probabilités 2 ............................213
tra
L’essentiel ...................................................................................162
Exercices résolus ...................................................................164
Travaux pratiques ...................................................................166
Comment évaluer des risques d’erreur ?
Comment construire un test du khi-deux ?
Comment utiliser les matrices pour trouver
la pertinence d’une page web ?
TP2. Comment estimer une population et résoudre un
système avec Xcas ?
Exercices et problèmes ......................................................168
STATISTIQUES ET PROBABILITÉS
Activités........................................................................................214
1.
2.
3.
Pour faire connaissance
Pour comprendre une chaîne de Markov
Pour comprendre une loi de Poisson
L’essentiel ...................................................................................216
Exercices résolus ...................................................................218
Travaux pratiques ...................................................................220
TP1.
Chapitre 14 – Statistique descriptive.....171
Activités........................................................................................172
1.
2.
Chapitre 18 – Fiabilité.............................................227
Activité ..........................................................................................228
Pour faire connaissance avec le taux d’avarie
L’essentiel ...................................................................................229
Exercices résolus ...................................................................231
Travaux pratiques ...................................................................233
ex
Pour faire connaissance
Pour tester la sensibilité des indicateurs aux
valeurs extrêmes
3.
Série statistique à deux variables
L’essentiel ...................................................................................175
Exercices résolus ...................................................................176
Travaux pratiques ...................................................................178
TP1.
Comment comparer la qualité de deux
ajustements, interpoler et extrapoler ?
TP2.
Comment quantifier la qualité de
l’ajustement d’une distribution statistique par la
droite de Henry ?
TP3. Comment interpréter l’existence d’une corrélation
entre deux événements ?
Exercices et problèmes ......................................................180
Comment déterminer les probabilités de
pannes d’une machine outils ?
TP2.
Comment déterminer la pertinence des
liens d’une page web ?
Exercices et problèmes ......................................................221
Chapitre 15 – Probabilités 1 ............................185
Comment modéliser par une loi
exponentielle à l’aide de GeoGebra ?
TP2.
Comment modéliser par une loi de Weibull
à l’aide de GeoGebra ?
Exercices et problèmes ......................................................234
Chapitre 19 – Plans d’expérience ..............237
Activité ..........................................................................................238
Activités........................................................................................186
Pour faire connaissance
1. Pour faire connaissance
2. Pour découvrir la loi binomiale
3.
Pour découvrir loi uniforme et loi normale
L’essentiel ...................................................................................239
Exercice résolu ........................................................................240
Travaux pratiques ...................................................................242
L’essentiel ...................................................................................188
Exercices résolus ...................................................................190
Travaux pratiques ...................................................................192
TP
Comment approximer une loi binomiale par
une loi normale et y apporter une correction ?
Exercices et problèmes ......................................................193
6
TP1.
TP1.
Comment choisir la formulation d’un
matériau ?
TP2. Comment optimiser un courant d’électrolyse ?
Exercices et problèmes ......................................................244
Corrigés des exercices ..........................................247
4
CHAPITRE
tra
it
Approximation locale et
globale d’une fonction
Courbes paramétrées
Objectifs du chapitre
Déterminer, à l’aide d’un logiciel, un développement limité en 0 et à un
ordre donné d’une fonction.
Interpréter graphiquement un développement limité : donner l’équation
réduite de la tangente et préciser sa position par rapport à la courbe
représentative de la fonction.
Tracer une courbe paramétrée.
Découvrir la notion d’approximation globale d’une fonction. Savoir qu’il
existe différentes approximations possibles pour une même fonction.
Pour reprendre contact
Dans chaque cas, indiquer la bonne réponse.
Réponse A
Réponse B
Réponse C
y = x+1
y = x−1
y = ex + 1
ex
Questions
1
La tangente au point d’abscisse 0 à la
courbe représentative de la fonction
exponentielle a pour équation réduite :
2
Soit f la fonction définie pour tout
t de R par f ( t ) = − 2t 2 + 3t et g la
fonction définie pour tout t de R par
g ( t ) = t 2 + 2t :
3
lim x 2 ln ( 1 + x ) =
0
+∞
1
4
lim
ex − 1
=
x →0
x
0
1
+∞
5
f ′ ( −2 ) = − 5 et
g ′ (2) = − 2
x →0
Soit une fonction f définie sur R et #
sa courbe représentative. La droite T
d’équation y = 1 + x est la tangente
à # au point d’abscisse 0. On suppose
que f ( x ) − 1 − x ˘ 0 si x ¯ 0 et que
f ( x ) − 1 − x ¯ 0 si x ˘ 0 . La position
relative de # et T est schématisée par :
f ′ ( − 2 ) = − 14 et
g ′ (2) = 8
f ′ ( − 2 ) = 11 et
g ′ (2) = 6
y
y
y
1
1
1
O
1
x
O
1
x
O
1
x
CHAP 4 Approximation locale et globale d’une fonction. Courbes paramétrées
57
Activités
Activité 1
Pour faire connaissance
Dans cette activité, on souhaite approcher la fonction
exponentielle par une fonction polynomiale Pn de
degré n au voisinage de 0.
it
1 Première approche : approximation par une fonction polynomiale P0 constante (de degré 0). P0 doit
vérifier que P0 ( 0 ) = exp ( 0 ) = 1 puisque la courbe
représentative de P0 et celle de exp doivent coïncider au
point d’abscisse 0. Donc la fonction polynomiale P0 est
définie pour tout x de R par P0 ( x ) = 1 . Tracer simultanément les courbes de exp et P0 sur [– 1 ; 1] à l’aide de
la calculatrice.
5 Cinquième approche : approximation par une fonction polynomiale P4 (de degré 4). Déterminer a , b ,
c, d et e tels que pour tout x de R :
P4 ( x ) = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e .
tra
2 Deuxième approche : approximation par une fonction polynomiale P1 (de degré 1), c’est-à-dire par une
application affine. On parle alors d’approximation
affine.
a. On doit trouver a et b tels que pour tout x de R :
P1 ( x ) = ax + b . On sait déjà que b = P1 ( 0 ) = exp ( 0 )
puisque la courbe représentative de P1 et celle de exp
doivent coïncider au point d’abscisse 0. Expliquer
pourquoi a = P1′( 0 ) = exp′ ( 0 ) . En déduire que la fonction polynomiale P1 est définie pour tout x de R par
P1 ( x ) = x + 1 .
b. Soit f la fonction définie par f ( x ) = exp ( x ) − x − 1 .
Calculer la dérivée de la fonction f . Étudier le signe de
la dérivée. Dresser le tableau de variation de f et obtenir son signe. En déduire la position de la droite d’équation y = x + 1 par rapport à la courbe représentative
de la fonction exponentielle.
c. Vérifier ce dernier résultat en traçant simultanément
les courbes de exp et P1 sur [– 1 ; 1] à l’aide de la calculatrice.
6 Vérifier les résultats avec ceux fournis par Xcas.
ex
On examine la réponse donnée par le logiciel lorsqu’on
lui demande de renvoyer l’expression de la fonction
polynomiale P3 avec la commande taylor. La traduction mathématique de cette réponse est de la forme
x3 x2
+
+ x + 1 + x 3ε ( x ) , où J est une fonction défi6
2
nie au voisinage de 0 qui vérifie lim ε ( x ) = 0 . Lorsque
x →0
x3 x2
l’on écrit exp ( x ) =
+
+ x + 1 + x 3ε ( x ) , on dit que
6
2
l’on écrit le développement limité de la fonction exp au
voisinage de 0 à l’ordre 3. La fonction polynomiale P3
est la partie régulière de ce développement limité. On
l’obtient en convertissant ce développement en polynôme à l’aide de la commande convert(…,polynom).
On a ensuite demandé au logiciel de tracer sur un même
graphique les courbes représentatives des polynômes
de Taylor de degrés 0, 1, 2, 3 et 4 et de la fonction exponentielle. Plus le degré du polynôme augmente et plus la
courbe représentative du polynôme se rapproche de la
courbe de la fonction exponentielle ; meilleure est donc
l’approximation.
Ainsi, on peut obtenir une expression de cette fonction
sous la forme d’un polynôme de degré infini, ce que l’on
appelle une série :
∞
xk
pour tout x ‘ R, exp( x ) = ∑ ,
k =0 k !
où k! = 1 w 2 w 3 w … w (k – 1) w k si k | 0 et 0! = 1.
3 Troisième approche : approximation par une fonc-
tion polynomiale P2 (de degré 2). On doit trouver a, b
et c tels que pour tout x de R : P2 ( x ) = ax 2 + bx + c .
a. P2 est dérivable sur R. Déterminer sa dérivée P2e .
P2e est dérivable sur R. On note P2ee sa dérivée.
Déterminer P2ee.
b. Dans la logique précédente, on a les contraintes
suivantes sur P2 : P2(0) = exp(0), P92(0) = exp9(0) et
P02 (0) = exp0(0).
1
En déduire que a " , b " 1 et c " 1 .
2
c. Tracer simultanément les courbes de exp et P2 sur
[– 1 ; 1] à l’aide de la calculatrice.
4 Quatrième approche : approximation par une fonction polynomiale P3 (de degré 3). En raisonnant de
manière similaire, déterminer a , b , c et d tels que
pour tout x de R : P3 ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d .
58
Activité 2 Pour comprendre paramètre, variations conjointes
et tracé de courbe paramétrée
t
0
0,5
1
x (t )
y(t )
it
1 Le point M( x ( t ) , y ( t )) , où
y
x et y sont deux fonctions défi- 2 t = 0,7
A
nies sur [ 0 ; 1] , décrit la courbe
ci-contre lorsque t varie dans 1 B
l’intervalle [ 0 ; 1]. Lorsque t " 0,
M
C
le point M est en A ( 1 ; 2 ) .
O 0,2
1x
Lorsque t " 0,5 , le point M est
en B ( 0 ; 1) . Lorsque t " 1 , le point M est en C ( 1 ; 0 ) .
Avec le logiciel GeoGebra, il est possible de voir le point
M se déplacer lorsque l’on fait varier le paramètre t à
l’aide du curseur.
a. Préciser les variations de la fonction x sur l’intervalle [ 0 ; 0,5] et sur l’intervalle [ 0,5 ; 1] .
b. Préciser les variations de la fonction y sur l’intervalle [ 0 ; 1] .
c. Compléter le tableau de variations conjointes ciaprès :
2 Le point N( f ( t ) ; g ( t )) , où f et g sont deux fonctions définies sur [ 0 ; 1] , décrit la courbe paramétrée ,
lorsque le paramètre t varie dans l’intervalle [ 0 ; 1] .
f et g sont appelées les fonctions coordonnées. On
suppose que l’on a le tableau de variations conjointes
ci-dessous :
0
0,5
tra
t
Activité 3
f (t )
g (t )
0
1
2
–1
2
1
0
Proposer un tracé possible de la courbe ,.
Exemples d’approximation globale de la
fonction exponentielle
coordonnées (5 ; exp(5)), (2,5 ; exp(2,5)), (0 ; 1), (– 2,5 ;
exp(– 2 ; 5)) et (– 5, exp(– 5)).
d. Reconnaître dans la figure ci-dessous les graphes des
fonctions exp, f, g et h.
ex
1 Interpolation de Lagrange
Cette première méthode consiste à chercher une fonction polynomiale de degré n qui coïncide avec la fonction exp en n + 1 points. On parle alors d’interpolation
polynomiale.
a. On souhaite dans cette question approcher la fonction exponentielle par une fonction affine f (polynomiale
de degré 1) qui coïncide avec la fonction exponentielle
aux points de coordonnées (5 ; exp(5)) et (– 5 ; exp(– 5)).
Montrer que la fonction f qui à x associe :
e5 − e −5
e5 + e −5
x+
répond à la question posée.
10
2
b. On souhaite dans cette question approcher la fonction
exponentielle par une fonction g polynomiale de degré
2 qui coïncide avec la fonction exponentielle aux points
de coordonnées (5 ; exp(5)), (0 ; 1) et (– 5 ; exp(– 5)).
Montrer que la fonction g qui à x associe :
e5 + e −5 − 2 2 e5 − e −5
x +
x + 1 répond à la question
50
10
posée. On posera pour cela g ( x ) = ax 2 + bx + c et on
résoudra un système de trois équations à trois inconnues.
c. Avec le logiciel Xcas, pour obtenir la fonction précédente, on aurait tapé les commandes :
l:=lagrange([–5,0,5],[exp(–5),1,exp(5)]), puis expand
(l) pour simplifier l’expression renvoyée.
À l’aide du logiciel Xcas, obtenir la fonction polynomiale
h de degré 4 de la fonction exponentielle sur [– 5 ; 5] qui
coïncide avec la fonction exponentielle aux points de
2 Développement de Taylor
Comme on l’a vu dans la première activité, on peut
approcher sur [– 5 ; 5] la fonction exponentielle à l’aide
des polynômes de Taylor de degré n (partie régulière du
développement limité de exp en 0 à l’ordre n). En s’inspirant de l’activité 1, obtenir avec le logiciel Xcas la partie
régulière du développement limité de exp en 0 à l’ordre
10 et représenter simultanément sa courbe représentative et celle de la fonction exponentielle sur [– 5 ; 5].
3 Comparaison des deux méthodes
On veut comparer les fonctions polynomiales p de
degré 10 obtenues dans chacune des deux méthodes.
Visualiser les graphes de la fonction qui à chaque x de
l’intervalle [– 5 ; 5] associe le nombre exp ( x ) − p ( x ) .
Commenter les deux graphes obtenus.
Pour cela, on utilisera la commande suivante de Xcas :
plot(exp(x)–p,x=–5..5).
CHAP 4 Approximation locale et globale d’une fonction. Courbes paramétrées
59
L’essentiel
1. Approximation locale d’une fonction
it
Développement limité en 0 d’une fonction
Soit f une fonction et Df son ensemble de définition. Soit n un entier naturel. On dit que f admet un
développement limité à l’ordre n en 0 s’il existe des réels a0 , a1 ,  , an et une fonction J définie sur
Df tels que pour tout x de Df : f ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + … + an x n + x nε ( x ) avec lim ε ( x ) = 0 .
x →0
Le polynôme a0 + a1 x + a2 x 2 + … + an x n s’appelle partie régulière du développement limité à l’ordre
n en 0.
La fonction fn définie par fn ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + … + an x n constitue une approximation locale
polynomiale de degré n de f pour x proche de 0. On note f ( x ) ≈ a0 + a1 x + a2 x 2 + … + an x n .
tra
Propriété
Si f admet un développement limité à l’ordre n ˘ 1 en 0, de partie régulière a0 + a1 x + a2 x 2 + … + an x n ,
alors f est dérivable en 0 et la courbe représentative de f admet une tangente non verticale au point
d’abscisse 0, d’équation réduite y = a0 + a1 x .
2. Courbes paramétrées
Définition
Soit deux fonctions f et g définies sur un même intervalle I. L’ensemble # des points M(t) de coordonnées ( f ( t ) ; g ( t )) , où t appartient à I, est appelé courbe paramétrée. Une représentation paramé⎧x = f (t )
trique de cette courbe est ⎨
, avec t appartenant à I.
⎩ y = g (t )
La variable t est appelée paramètre.
est appelé
I ILe point M(t)
pointde paramètre t. Si on munit le
plan d’un repère orthonormal ( O ; i , j ) , on a OM( t ) = f ( t ) i + g ( t ) j . f et g sont appelées fonctions
coordonnées.
Propriété
Soit M0 ( t0 ) le point de # de paramètre t0 appartenant à I. I
I
I
Si f et g sont dérivables en t0 et si le vecteur v ( t0 ) = f ′ ( t0 ) i + g ′( t0 ) j n’est pas nul, alors la droite
I
passant par le point M0 ( t0 ) et de vecteur directeur v ( t0 ) est la tangente à # au point M0 ( t0 ) .
ex
Variations conjointes
Pour tracer une courbe paramétrée, il est essentiel de décomposer l’intervalle d’étude en intervalles où
chacune des fonctions coordonnées est monotone. Voici les quatre situations de référence.
t
Variations de f
Variations de g
Allure de la courbe #
La flèche indique le sens de parcours de la courbe lorsque t varie en croissant.
3. Approximation globale d’une fonction
• L’objectif est d’approcher sur un intervalle [ a ; b ] une fonction f donnée par une fonction polynomiale de degré n, Pn , afin de visualiser la fonction f (on a pour tout x de [ a ; b ], f ( x ) ≈ Pn ( x ))
ou d’obtenir des calculs approchés, par exemple, lors de calculs d’intégrales
( ∫ f (x) dx ≈∫ P (x) dx) .
b
b
a
a
n
On parle alors d’approximation globale (sur un intervalle) et non plus locale (au voisinage d’un point).
Dans certains cas, la validité de l’approximation croît avec le degré du polynôme. On a ainsi l’espoir
d’approcher la fonction sur un intervalle par un polynôme de degré infini, ce que l’on appelle une série.
• Une même fonction donnée f peut avoir de nombreuses approximations polynomiales possibles.
60
Exercices résolus
A
Déterminer, à l’aide d’un logiciel, un développement limité
en 0 et à un ordre donné d’une fonction
RÉSOLUTION
it
Déterminer à l’aide d’un logiciel le développement limité en 0 à l’ordre 4 de la fonction g définie par :
e x − e− x
g(x) =
pour tout réel x .
2
Méthode
tra
Le développement limité en 0 à l’ordre 4 de la fonction g s’écrit
donc :
x3
x3
g(x) = x +
+ 0 + x 4ε( x ) = x +
+ x 4 ε ( x ) avec lim ε ( x ) = 0 .
x →0
6
6
➜ Lorsque f est dérivable en 0 et que toutes
ses dérivées successives le sont aussi, on utilise la commande taylor( f ( x ) , x = 0, n) du
logiciel Xcas, en spécifiant l’expression f ( x )
et la valeur de n.
➜ On traduit ensuite la réponse du logiciel
sous la forme :
f ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + … + an x n + x n ε ( x )
avec lim ε ( x ) = 0 .
x →0
➜ Attention au décalage dans l’exposant entre
la réponse fournie par Xcas et la traduction
mathématique : x k * order_size ( x ) se traduit par x k − 1 ε ( x ) .
Exploiter un développement limité pour donner l’équation réduite de
la tangente et préciser sa position par rapport à la courbe
1. Déterminer l’équation réduite de la tangente à la courbe représentative de g définie ci-dessus au point
d’abscisse 0.
2. Soit # la courbe représentative de g . Préciser la position de la tangente à # au point d’abscisse 0 par
rapport à #.
ex
B
RÉSOLUTION
1. Comme pour tout réel x,
x3
g(x) = x +
+ x 4 ε ( x ) avec lim ε ( x ) = 0 ,
x →0
6
l’équation réduite de la tangente à la courbe représentative de g au point d’abscisse 0 est y " x .
Méthode
➜ Lorsque le développement limité de la fonction f en 0 à l’ordre
n > 1 est connu, f ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + … + an x n + x n ε ( x )
avec lim ε ( x ) = 0 , alors l’équation réduite de la tangente à la
x →0
courbe représentative de f au point d’abscisse 0 est y = a0 + a1 x .
➜ Si f ( x ) = a0 + a1 x + ak x k + x k ε ( x ) , avec k > 2 et ak | 0, alors
la position de la courbe par rapport à la tangente est donnée par
le signe de akxk puisque f ( x ) − a0 − a1 x ≈ ax x k . Attention, dans
le cas où k est impair, si ak . 0, alors la courbe est en-dessous de la
tangente à gauche de 0 et au-dessus à droite de 0, alors que si ak , 0,
alors la courbe est au-dessus de la tangente à gauche de 0 et en-dessous à droite de 0. On parle alors de point d’inflexion.
2. Comme pour tout réel x,
x3
g(x) = x +
+ x 4 ε ( x ) avec lim ε ( x ) = 0 ,
x →0
6
x3
g ( x ) − x ≈ . La tangente traverse la courbe
6
1
au point d’abscisse 0. Comme a3 " . 0 , la courbe est en dessous
6
de sa tangente à gauche de 0 et au-dessus à droite de 0. Le point
d’abscisse 0 est un point d’inflexion.
y
3
#
2
1
–3
–2
–1
O
–1
1
2
3x
–2
–3
CHAP 4 Approximation locale et globale d’une fonction. Courbes paramétrées
61
Exercices résolus
C
Tracer une courbe paramétrée à partir de ses variations conjointes
Soit # la courbe de représentation paramétrique
{
it
Tracer la courbe #.
x = − 2t 2 + 3t
avec t appartenant à [ − 2 ; 2 ].
y = t 2 + 2t
RÉSOLUTION
Soit f la fonction définie pour tout t de R par f ( t ) = − 2t 2 + 3t et g la fonction définie pour tout t de R par g ( t ) = t 2 + 2t .
f et g sont dérivables sur R en tant que fonctions polynomiales
et on a, pour tout t de R : f ′ ( t ) = − 4 t + 3 et g ′ ( t ) = 2t + 2 .
Méthode
➜ Dresser le tableau des variations conjointes
à « cinq étages », en faisant apparaître les
lignes t , f ′ ( t ) , g ′ ( t ) , f ( t ) et g ( t ) .
➜ Placer les points donnés dans le tableau.
➜ Tracer les tangentes en ces points.
➜ Tracer les morceaux de courbe les uns après
les autres, chaque morceau de courbe correspondant à une zone du tableau de variation où
f et g sont toutes les deux monotones.
tra
Variations de f et de g
3
D’une part, − 4 t + 3 . 0 si et seulement si t , . D’autre part,
4
2t 2 . 0 si et seulement si t . 1 .
3⎤
⎡
⎡3 ⎤
f est donc croissante sur ⎢ − 2 ; ⎥ et décroissante sur ⎢ ; 2 ⎥ .
4
⎣
⎦
⎣4 ⎦
g est décroissante sur [ − 2 ; − 1] et croissante sur [ − 1 ; 2 ] .
ex
Points particuliers
3
D’après ce qui précède, ce sont les points de paramètre 2, 1, , 2 .
4
⎛ 3⎞ 9
D’une part : f ( − 2 ) = − 14, f ( − 1) = − 5, f ⎜ ⎟ = = 1,125 et f ( 2 ) = − 2 .
⎝ 4⎠ 8
⎛ 3 ⎞ 33
D’autre part : g ( − 2 ) = 0, g ( − 1) = − 1, g ⎜ ⎟ =
= 2,062 5 et g ( 2 ) = 8 .
⎝ 4 ⎠ 16
On placera donc les points A ( − 14 ; 0 ) , B ( − 5 ; − 1) , C ( 1,125 ; 2,062 5) et D ( − 2 ; 8 ) .
Vecteur directeur de la tangente à la courbe en ces points
I
I
I
I
I
Un vecteur directeur de la tangente à # au point A est donc : v ( − 2 ) = f ′ ( − 2 )Ii + g ′ ( − 2 )Ij = 11
i − 2j .
I
I
Un vecteur directeur de la tangente à # au point B est donc : v ( − 1) = f ′ ( − 1) i + g ′ ( − 1) j = 7 i .
La tangente est horizontale. Un vecteur directeur de la tangente à # au point C est donc :
I
I⎛ 3⎞
⎛ 3⎞ I
⎛ 3⎞ I
v ⎜ ⎟ = f ′ ⎜ ⎟ i + g ′ ⎜ ⎟ j = 3,5 j .
⎝ 4⎠
⎝ 4⎠
⎝ 4⎠
La tangente est
verticale.
Unvecteur
directeur de la tangente à # au point D est donc :
v ( 2 ) = f ′ ( 2 ) i + g ′ ( 2 ) j = − 5i + 6 j . On tracera ces quatre tangentes.
Tableau de variations conjointes
t
–2
3
4
–1
2
f ′(t )
11
+
7
+
0
–
–5
g ′(t )
–2
–
0
+
3,5
+
6
f (t )
–5
9
8
– 14
g (t )
0
–1
–2
8
33
16
On voit apparaître trois zones où les fonctions f et g sont
toutes les deux monotones. On tracera donc successivement trois morceaux de courbe : de A vers B (en bleu), de
B vers C (en rouge) et de C vers D (en vert), en essayant
d’épouser la forme de la tangente en ces points.
y
8
D
#
7
6
5
4
3
2
A
– 14
62
C
1
– 12
– 10
–8
–6
B–4
–2
O
–1
1 x
Travaux pratiques
TP
Comment mettre en œuvre la méthode d’Euler pour obtenir une
approximation de la fonction exponentielle sur l’intervalle [– 5 ; 5] ?
Avec Xcas, la commande est la suivante : it
La fonction exponentielle est la fonction f définie sur
R qui vérifie f ′ = f et f ( 0 ) = 1 .
Comme f est dérivable sur R, on a pour tout réel a et
pour tout réel h proche de 0 : f ( a + h) ≈ f ( a ) + hf ′ ( a )
(approximation affine). Comme ici f ′ ( a ) = f ( a ) , on
obtient :
f ( a + h) ≈ f ( a ) + hf ( a ) ,
soit f ( a + h) ≈ f ( a )( 1 + h) .
tra
A En utilisant l’approximation affine précédente avec
a " 0 et h " 0,1 , on peut obtenir une valeur approchée
de f ( 0,1) : f ( 0,1) ≈ 1 × ( 1 + 0,1). Donc f ( 0,1) ≈ 1,1. On note fa ( 0,1) cette valeur approchée. À partir de fa ( 0,1) , on peut obtenir une valeur
approchée de f ( 0,2 ) , en prenant a " 0,1 et h " 0,1 :
f ( 0,2 ) = f ( 0,1 + 0,1)
D On décide de comparer la fonction polynomiale
p1 de degré 10 obtenue par la méthode d’Euler avec
les fonctions polynomiales de degré 10 p2 et p3 obtenues respectivement par la méthode d’interpolation de
Lagrange et par le développement de Taylor.
Comparer les graphes des fonctions suivantes sur
[– 5 ; 5].
≈ f ( 0,1) × ( 1 + 0,1)
x ∞ exp(x) – p1(x) (Méthode d’Euler)
ex
≈ fa ( 0,1) × ( 1 + 0,1).
Donc f ( 0,2 ) ≈ 1,12 . On note fa ( 0,2 ) cette valeur
approchée.
1. Calculer de même fa ( 0,3) , fa ( 0,4 ) , fa ( 0,5) et fa ( 1) .
2. Calculer l’erreur commise en prenant fa ( 1) comme
valeur approchée de f ( 1) = e .
3. Placer dans le plan muni d’un repère (unités graphiques 5 cm) les points de coordonnées ( x ; fa ( x )) , x
prenant les valeurs successives 0 ; 0,1 ; 0,2 ; 0,3 ; 0,4 ;
0,5 ; 0,6 ; 0,7 ; 0,8 ; 0,9 et 1.
En déduire une première approximation de la courbe
représentative de la fonction exponentielle sur l’intervalle [0 ; 1].
B En raisonnant par récurrence, on peut montrer que
pour tout entier naturel n , on a pour tout réel a :
f ( a + nh) ≈ f ( a ) × (1 + h)n , pour h suffisamment petit.
x
Soit un réel x. En prenant a " 0 et h " , monn
trer que :
⎛
f (x) ≈ ⎜ 1 +
⎝
x ∞ exp(x) – p2(x) (Interpolation de Lagrange)
n
x⎞
⎟ , pour n suffisamment grand.
n⎠
C À l’aide de la calculatrice, tracer simultanément les
courbes représentatives des fonctions qui à x associent
10
100
1 000
x⎞ ⎛
x ⎞
x ⎞
⎛
⎛
(ce sont des
⎜⎝ 1 + ⎟⎠ , ⎜⎝ 1 +
⎟⎠ , ⎜⎝ 1 +
⎟⎠
10
100
1 000
fonctions polynomiales de degrés respectifs 10, 100 et
1 000) et exp ( x ) sur l’intervalle [– 5 ; 5].
x ∞ exp(x) – p3(x) (Développement de Taylor)
CHAP 4 Approximation locale et globale d’une fonction. Courbes paramétrées
63
Exercices et problèmes
Pour s’entraîner
Approximation locale
Un logiciel de calcul formel (Xcas) donne le développement limité à l’ordre 2 au voisinage de 0 de la fonction f :
1
3x 2
f (x) = – x –
+ x 2 ε ( x ) , avec lim ε ( x ) = 0 .
x →0
2
4
1. En déduire une équation de la tangente T à la courbe
# au point d’abscisse 0.
Représenter cette droite sur le graphique.
it
1 ✶
Soit f la fonction définie sur R par :
f ( x ) = ( 1 − 5x ) e −2 x . On note # sa courbe
I I représentative dans le plan muni d’un repère ( O ; i , j ) .
Cette courbe est représentée sur le graphique ci-dessous.
CORRIGÉS, p. 247
y
2. Justifier à l’aide du développement limité de f en 0
que T est au-dessus de # au voisinage du point d’abscisse 0.
tra
1
3 ✶
Soit f la fonction définie sur [0 ; +h[
par f ( x ) = 0,25x exp ( − 0,125 x 2 ) . On désigne par #
la courbe représentative
de f dans le plan muni d’un
II
repère ( O ; i , j ) .
ej
O
ei
1
2
3
x
1. À l’aide d’un logiciel de calcul formel, donner le développement limité à l’ordre 3 en 0 de f.
1. Un logiciel de calcul formel (Xcas) donne le développement limité, à l’ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction f :
Traduire la réponse du logiciel sous la forme
f ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + … + an x n + x n ε ( x ) ,
avec lim ε ( x ) = 0 .
x →0
3. Déterminer la position relative de # et de T au voisinage du point d’abscisse 0, pour x positif et illustrer la
situation par un schéma.
4 ✶
Soit f la fonction définie sur R par
f ( x ) = e2 x − ( x + 1) e x . On désigne par # la courbe
représentative
de f dans le plan muni d’un repère
II
(O ; i , j ) .
1. À l’aide d’un logiciel de calcul formel, donner le développement limité à l’ordre 2 en 0 de f .
ex
2. En déduire une équation de la tangente T à la courbe
# au point d’abscisse 0.
Représenter cette droite sur le graphique.
2. En déduire une équation de la tangente T à la courbe
représentative de f au point d’abscisse 0.
3. On veut justifier qu’au voisinage du point d’abscisse
0, la courbe # est au-dessus de la droite T. Quelle justification paraît exacte ?
a. 12x² est positif au voisinage de 0.
b. x²J(x) est positif au voisinage de 0.
c. 1 − 7x est positif au voisinage de 0.
2 ✶
Soit f la fonction définie sur R par :
1
f ( x ) = 1 − e x + cos ( x ).
2
On a tracé ci-contre
y
sa courbe repré1
sentative # dans
ej
O ei 1
le plan muni d’un
repère
orthonormal
II
(O ; i , j ) .
64
x
2. En déduire une équation de la tangente T à la courbe
représentative de f au point d’abscisse 0.
3. Déterminer la position relative de # et de T au voisinage du point d’abscisse 0, pour x positif et illustrer la
situation par un schéma.
5 ✶✶
On désigne par Pn la partie régulière du
développement limité à l’ordre n en 0 de la fonction
exponentielle. L’objet de cet exercice est de quantifier
l’erreur commise en remplaçant exp ( x ) par Pn ( x ) sur
l’intervalle [– 1 ; 1], pour n variant entre 0 et 4.
1. Dans cette question, on veut obtenir une majoration
de l’erreur absolue. Pour cela, on a tracé à l’aide du logiciel Xcas les courbes représentatives (page suivante) de
chacune des fonctions qui à x associent la valeur absolue de Pn ( x ) − exp ( x ) , pour n variant entre 0 et 4 (en
noir pour n =0, en jaune pour n =1, en vert pour n =2,
en bleu pour n =3 et en rouge pour n = 4).
Exercices et problèmes
2.
–1
t
0
1
2
f(t)
0
0
2
g(t)
it
Il apparaît à la lecture du graphique que l’erreur maximale est atteinte lorsque x " 1 .
Montrer par le calcul que cette erreur maximale est
inférieure à 1,72 lorsque l’on approche exp par P0 ,
0,72 lorsque l’on approche exp par P1 , 0,22 lorsque l’on
approche exp par P2 , 0,06 lorsque l’on approche exp par
P3 et 0,01 lorsque l’on approche exp par P4 .
0
3.
0
–1
t
0
1
2
2
f(t)
0
2
2
g(t)
tra
0
4.
–1
t
0
1
2
2
f(t)
2. On s’intéresse maintenant à l’erreur relative commise
lorsque l’on remplace exp ( x ) par Pn ( x ) sur l’intervalle
[– 1 ; 1]. On a ajouté en pointillés noirs la courbe cor1
respondant à la fonction qui à x associe
exp ( x ) .
10
0
2
g(t)
0
A.
B.
y
2
y
A
2
1
C.
x
O
–1
D.
ex
Pour chaque valeur de n comprise entre 0 et 4, déterminer l’intervalle sur lequel l’erreur relative est inférieure
à 10 %, c’est-à-dire l’ensemble des valeurs de x pour
P ( x ) − exp ( x )
1
lesquelles : n
¯
.
exp ( x )
10
C
2
1
y
2
A
O
1
C
2
x
1
C
2
x
y
2
1
–1
A
1
O
–1
0
A
1
C
2
1
x
O
–1
7 ✶ Une courbe plane # est définie par la représenta-
Courbes paramétrées
6 ✶ Associer à chaque tableau de variation, la courbe
qui lui correspond (voir ci-après).
1.
t
–1
0
1
2
f(t)
0
0
2
2
g(t)
0
⎧x = f (t )
tion paramétrique ⎨
avec t appartenant à
⎩ y = g (t )
[0 ; 4]. Les variations de f et de g sont données dans
le tableau de variation ci-dessous :
t
0
f (t )
2
g (t )
2
1
4
3
1
0
CHAP 4 Approximation locale et globale d’une fonction. Courbes paramétrées
65
Exercices et problèmes
Dans chaque cas, proposer un tracé possible pour la
courbe #, de sorte qu’elle vérifie les conditions suivantes :
1. f ′ ( 0 ) ≠ 0 ; g ′ ( 0 ) = 0 ; f ′ ( 4 ) ≠ 0 ; g ′ ( 4 ) ≠ 0.
2. f ′ ( 0 ) = − 1 ; g ′ ( 0 ) = − 1 ; f ′ ( 4 ) ≠ 0 ; g ′ ( 4 ) = 0 .
it
3. f ′ ( 0 ) ≠ 0 ; g ′ ( 0 ) ≠ 0 ; f ′ ( 4 ) = 0 ; g ′ ( 4 ) ≠ 0.
2. Déterminer des vecteurs directeurs des tangentes à #
5
aux points M( t ) de paramètres 2, et 3.
2
II
3. Le plan est muni d’un repère orthonormal ( O ; i , j )
où l’unité graphique est 8 cm. Construire les tangentes
⎛ 5⎞
à la courbe # aux points M( 2 ) , M ⎜ ⎟ et M( 3) .
⎝ 2⎠
4. Tracer la courbe #.
10 ✶✶ Soit # la courbe plane définie par la représentation
⎧ x ( t ) = f ( t ) = 30t 2 − 25t 3
avec t
⎨
2
⎩ y ( t ) = g ( t ) = 12t − 12t + 3
appartenant à [ 0 ; 1] . On note M( t ) le point de # de
coordonnées ( x ( t ) ; y ( t )).
paramétrique
1. Montrer que le tableau de variations conjointes des
fonctions f et g sur [0 ; 1] est le suivant :
tra
8 ✶ On peut obtenir une équation cartésienne de la
courbe plane définie par la représentation paramétrique
⎧x (t ) = 1 − t
avec t appartenant à R, par élimination
⎨
⎩ y ( t ) = 5 + 4t
du paramètre t. On reconnaît alors la droite d’équation
cartésienne y = 9 − 4 x , que l’on sait facilement tracer.
De même, on reconnaît dans la courbe plane définie par
⎧⎪ x ( t ) = 1 + t
1 avec t
la représentation paramétrique ⎨
y(t ) =
1 + t2
⎩⎪
appartenant à R, la courbe représentative de la fonction
1
f définie par f ( x ) =
2 .
1 + ( x − 1)
Obtenir une équation cartésienne des courbes planes
définies par les représentations paramétriques suivantes :
1. ⎧ x ( t ) =
⎨
⎩ y(t ) =
2. ⎧ x ( t ) =
⎨
⎩ y(t ) =
1 + t avec t appartenant à R.
3t − 4
1 + t avec t appartenant à R.
1 + t2
2
3. ⎧ x ( t ) = 1 + t avec t appartenant à R.
⎨
⎩ y(t ) = 1 + t
9 ✶✶ Soit # la courbe plane définie par la représentation
0
f2e( t )
0
1. Montrer que le tableau de variations conjointes des
fonctions f et g sur [2 ; 3] est le suivant :
t
2
f2e( t )
2
5
2
+
0
–
–2
3
2
f2(t)
1
g 2e( t )
3
0
1
–
–1
1
g2(t)
7
8
1
2
66
0,5
+
11,25
0,8
+
0
1
–
– 15
6,4
f2(t)
g 2e( t )
0
– 12
–
0
3
g2(t)
+
5
12
3
0
2. Déterminer des vecteurs directeurs des tangentes à #
1
aux points M( t ) de paramètres 0, et 1.
2
II
3. Le plan est muni d’un repère orthonormal ( O ; i , j )
où l’unité graphique est 2 cm. Placer les points M( 0 ) ,
⎛ 1⎞
M ⎜ ⎟ et M( 1) . Construire les tangentes à la
⎝ 2⎠
⎛ 1⎞
courbe # aux points M( 0 ) , M ⎜ ⎟ et M( 1) .
⎝ 2⎠
4. Tracer la courbe #.
ex
⎧ x ( t ) = f ( t ) = − 2t 2 + 10t − 11
paramétrique : ⎪⎨
avec t
1
y t = g ( t ) = − t 2 + 2t − 1
⎪⎩ ( )
2
appartenant à [ 2 ; 3] . On note M( t ) le point de # de
coordonnées ( x ( t ) ; y ( t )).
t
11 ✶✶✶ Soit # la courbe plane définie par la représenta-
⎧ x ( t ) = f ( t ) = 5t 2
tion paramétrique ⎨
avec t
2
⎩ y ( t ) = g ( t ) = − 8t + 8t + 3
appartenant à [ 0 ; 1] . On note M( t ) le point de # coordonnées ( x ( t ) ; y ( t )).
1. Étudier les variations des fonctions f et g sur [1 ; 2]
et rassembler les résultats dans un tableau unique.
2. Préciser des vecteurs directeurs des tangentes à #
1
aux points M( t ) de paramètres 0, et 1.
2
II
3. Le plan est muni d’un repère orthonormal ( O ; i , j )
où l’unité graphique est 2 cm. Placer les points M( 0 ) ,
⎛ 1⎞
M ⎜ ⎟ et M( 1) . Construire les tangentes à la courbe #
⎝ 2⎠
⎛ 1⎞
aux points M( 0 ) , M ⎜ ⎟ et M( 1).
⎝ 2⎠
4. Tracer la courbe # .
Exercices et problèmes
12 ✶✶✶ Soit # la courbe plane définie par la représenta-
⎧ x ( t ) = f ( t ) = t − 2t + 1
⎪
tion paramétrique ⎨
avec t
1 2
⎪⎩ y ( t ) = g ( t ) = − 2 t + 2t − 1
2
de coordonnées ( x ( t ) ; y ( t )).
Soit f et g les fonctions définies par
1
f ( x ) = cos x pour tout réel x et g ( x ) =
pour
1− x
tout x appartenant à ]− ∞ ; 1[ .
1. Visualiser à l’aide d’un logiciel les polynômes de
Taylor de degrés 5, 15, 25 et 35 associés à la fonction f .
La validité de l’approximation, qui croît avec le degré de
ces polynômes, semble-t-elle pouvoir recouvrir R ?
it
appartenant à [ 1 ; 2 ] . On note M( t ) le point de #
14 ✶✶
1. Étudier les variations des fonctions f et g sur [1 ; 2]
et rassembler les résultats dans un tableau unique.
15 ✶✶
Appliquer la méthode de Lagrange pour
approximer sur [– 5 ; 5] la fonction f définie par
1
f (x) =
pour tout réel x , avec 5 points d’inter1 + x2
polation, puis 6, 7, 8, 9, 10 et 11.
Visualiser sur une même figure le graphe de chacun
des sept polynômes obtenus ainsi que le graphe de la
fonction f . On constate que dès que le degré devient
plus grand que 6, des oscillations, appelées oscillations
de Runge, apparaissent et sont d’amplitude croissante
avec le degré.
tra
2. Préciser des vecteurs directeurs des tangentes à #
aux points M( t ) de paramètres 1 et 2.
II
3. Le plan est muni d’un repère orthonormal ( O ; i , j )
où l’unité graphique est 8 cm. Construire les tangentes
à la courbe # aux points M( 1) et M( 2 ) .
2. Visualiser à l’aide d’un logiciel les polynômes de
Taylor de degrés 5, 15, 25 et 35 associés à la fonction
g. La validité de l’approximation semble-t-elle pouvoir
recouvrir ]− ∞ ; 1[ ou se restreint-elle à un intervalle à
préciser ?
4. Tracer la courbe #.
Approximation globale
13 ✶✶
Soit la fonction f définie sur [ 0 ; +∞[
par f ( x ) = ln ( 1 + x ) .
1. À l’aide d’un logiciel, déterminer les approximations polynomiales de degré 3 obtenues sur l’intervalle
[0 ; 1,5] par la méthode d’interpolation de Lagrange et
par le développement de Taylor de la fonction f .
2. Visualiser l’erreur commise en remplaçant f par
chacun de ces deux polynômes sur [0 ; 1,5]. Donner la
valeur de l’erreur maximale dans chacun des cas.
ex
3. On se demande si l’erreur d’approximation sur [0 ; 1,5]
diminue lorsqu’on augmente le degré des approximations polynomiales dans chacune des deux méthodes.
Reprendre la question précédente avec les approximations polynomiales de degrés 6 et 12.
i Le phénomène de Runge décrit la situation suivante : la
différence entre une fonction et son polynôme d’interpolation peut être grande, même si le nombre de points tend
vers l’infini ; si l’on augmente le nombre de points connus,
l’interpolation devrait être plus précise. Dans cet exercice, on
remarque que ce n’est pas le cas. Plus on prend de points, plus
la courbe oscille entre ces points. L’interpolation de Lagrange
n’est donc pas toujours une méthode très efficace. D’autres
outils, comme l’interpolation par splines cubiques, donnent
de meilleurs résultats : on approche la courbe par morceaux
par des polynômes de degré faible pour éviter les oscillations.
Pour maîtriser
16 ✶✶
CORRIGÉS, p. 247
Soit la fonction f définie sur
R \ {1} par :
1
f (x) =
. On note # sa courbe représentative.
1− x
1. Dans cette question, on veut montrer que f admet un
développement limité à tout ordre en 0.
a. Soit x appartenant à R \ {1} . Quelle est la nature
de la suite u définie pour tout entier naturel n par un " x n ?
b. Montrer que pour tout entier naturel n :
x n+ 1
1
1 + x + x2 + … + xn =
−
.
1− x 1− x
c. En déduire que pour tout entier naturel n , il existe
une fonction J définie sur R \ {1} , que l’on précisera,
telle que :
1
= 1 + x + x 2 + … + x n + x nε ( x ) ,
1− x
avec lim ε ( x ) = 0 .
x →0
d. Préciser le développement limité à l’ordre 1 et à l’ordre
2 en 0 de f .
2. Déterminer l’équation réduite de la tangente à # en
0. Préciser la position de cette tangente par rapport à la
courbe #.
CHAP 4 Approximation locale et globale d’une fonction. Courbes paramétrées
67
Exercices et problèmes
17 ✶✶
Valeur approchée d’une intégrale
x2
3
Soit f la fonction définie sur R par f ( x ) = 2 − e .
L’objectif de cet exercice est d’obtenir une valeur approchée de l’intégrale
∫
0,5
−0,5
f (x)dx .
3. Un logiciel de calcul formel donne :
∫
0,5
f ( x ) d x ≈ 0,971 5.
2. Étudier conjointement les variations des fonctions f
et g sur [ 0 ; 1].
it
1. À l’aide d’un logiciel de calcul formel, obtenir le développement limité à l’ordre 2 en 0 de f .
0,5
x2
d x . On donnera la valeur exacte
2. Calculer ∫ 1 −
−0,5
3
et la valeur approchée arrondie à 104 du résultat.
1. Pour tout t appartenant à [ 0 ; 1] , comparer d’une
part g ( t ) et f ( 1 − t ) , d’autre part f ( t ) et g ( 1 − t ).
Quelle transformation du plan transforme M( t ) en
M( 1 − t ) ? Que peut-on en déduire pour # ?
3. Montrer que # admet une tangente en chacun de ses
points et donner une équation de la tangente à # en
chacun de ses points M( t ) . On distinguera le cas de la
tangente à # en M( 0 ) des autres cas. Préciser en particulier l’équation de la tangente à # en M( 1).
⎧ x ( t ) = 3t − t 3
tion paramétrique ⎨
avec t ‘ R .
2
⎩ y(t ) = t
4. Lorsque t ∈ ]0 ; 1[ , on note A ( t ) le point d’intersection de la tangente en M( t ) à # avec l’axe des abscisses
et on note B ( t ) le point d’intersection de la tangente en
M( t ) à # avec l’axe des ordonnées. Exprimer les coordonnées de A ( t ) et de B ( t ) en fonction de t .
5. Vérifier que OA ( t ) · i + OB ( t ) · j = 1 .
6. Exprimer la norme du vecteur A ( t ) B ( t ) en fonction
de t .
19 ✶✶✶
7. Tracer #.
−0,5
tra
Évaluer l’erreur d’approximation commise en rempla0,5
0,5
x2
d x . On précisera
çant ∫ f ( x ) d x par ∫ 1 −
−0,5
−0,5
3
l’erreur absolue et l’erreur relative.
18 ✶✶✶ Tracer la courbe plane définie par la représenta-
Le plan est rapporté à un repère
II
orthonormé ( O ; i , j ) . Soit # la courbe plane définie
CORRIGÉS, p. 247
par la représentation paramétrique
⎧f ( t ) = t 2
⎨
2
⎪⎩ g ( t ) = ( 1 − t )
3
3
−3
−3 n
∫ f (x)dx −∫
ex
avec t ‘ [ 0 ; 1].
On note M( t ) le point de coordonnées ( f ( t ) ; g ( t )) .
20 ✶✶
On considère la fonction f définie sur R
par f ( x ) = exp ( x 2 − x ) et on note Pn le polynôme de
Taylor en 0 de degré n associé à f . À l’aide d’un logiciel,
déterminer la plus petite valeur de l’entier n telle que :
P (x)dx , 1 .
Pour se préparer au BTS
21 ✶✶✶ D’après BAC Asie 1998
II
Le plan est rapporté à un repère orthonormé ( O ; i , j ) .
1. Soit # la courbe dont une représentation paramétrique
1 2
⎧
⎪ x = f ( t ) = 2 ( t + 2)
avec t appartenant à R.
est ⎨
1
⎪ y = g ( t ) = ( t 3 + 2t )
2
⎩
a. Pour tout t appartenant à R, comparer d’une part
f ( t ) et f ( − t ) , d’autre part g ( t ) et g ( − t ). En déduire
que # est symétrique par rapport à l’axe des abscisses.
b. Étudier conjointement les variations des fonctions f
et g sur [ 0 ; +∞[ .
c. Préciser la tangente au point de paramètre t " 0 .
d. Tracer la courbe #.
2. Soit 3 la courbe d’équation cartésienne y 2 " 4 x .
68
a. Vérifier qu’une équation paramétrique de 3 est :
⎧x (t ) = t2
avec t appartenant à R.
⎨
⎩ y ( t ) = 2t
On souhaite tracer 3. Pour cela, tracer la parabole d’équa1
tion y " x 2 puis faire la symétrie de cette courbe
4
par rapport à la première bissectrice d’équation y " x .
b. On note Dt la tangente à 3 au point Mt de coordonnées ( x ( t ) ; y ( t )) . On note dt la perpendiculaire à Dt au
point Mt. Montrer qu’une équation cartésienne de dt est
y = − tx + t 3 + 2t .
c. Pour t | 0 , dt coupe l’axe des abscisses en un point
At et l’axe des ordonnées en un point Bt. On appelle It le
milieu du segment [AtBt]. Exprimer en fonction de t les
coordonnées du point It. Quel est l’ensemble des points
It lorsque t décrit R* ?
tra
ex
it
BTS
Mathématiques
NOUVEAMUE
PROGRAM
BTS INDUSTRIELS Groupements B, C et D
Cet ouvrage, conforme au programme de mathématiques publié en 2013, s’adresse
aux étudiants de 1re et de 2e années des BTS industriels des groupements B, C et D.
Il traite tous les modules concernés et a été conçu pour être un outil de travail
simple et efficace.
Les chapitres sont présentés selon la structure suivante :
◗ La page d’ouverture fixe les objectifs d’apprentissage et propose un QCM
sur les prérequis du lycée.
◗ Les notions sont introduites à travers des activités de découverte, avec un usage
régulier des TICE.
◗ L’essentiel présente de façon synthétique les principales notions à retenir.
◗ Les exercices résolus facilitent l’acquisition des méthodes de résolution
de problèmes mathématiques.
◗ Les travaux pratiques proposent un réinvestissement des notions abordées.
◗ De très nombreux exercices, variés et gradués, permettent un entraînement
progressif vers l’examen.
ISBN : 978-2-206-10053-1
D E L AG R AV E
www.editions-delagrave.fr