Corrigé du bac S blanc Lycée Français de Valence 4 avril 2013

[Corrigé du bac S blanc Lycée Français de Valence \
4 avril 2013
EXERCICE 1 5 points
Commun à tous les candidats
VRAI ou FAUX ?
Pour chacun des énoncés suivants, indiquer si la proposition correspondante est vraie ou fausse et proposer une
justification de la réponse choisie.
1. Énoncé 1 :
VRAI : exemple an=
π
4−1 2n. On a alors lim
n→+∞un=lim n→+∞sin(an)=sin ³π
4´=p2 2.
2. Énoncé 2 :
FAUX : on a z1=e2iπ
3qui a pour argument 2iπ
3et z20 =e2i×20π
3=e40iπ 3. Or
40π
3=36π+4π 3=12π+4π 3, donc z20 a pour argument 4π 36= 2π 3. Donc les points O, M1et M20 ne sont pas
alignés.
3. Énoncé 3 :
VRAI : lim
x→0f(x)=lim x→0xcos 1
x=0 car −x≤xcos 1 x≤x
Comme lim
x→0−x=lim x→0x=0 par le théorème des gendarmes, on obtient lim x→0f(x)=0=f(0)
4. Énoncé 4 :
VRAI : fest continue sauf en 2, positive ou nulle sur R et
Z+∞
−∞
f(x)dx=Z+∞
2
2
x2dx=lim
y→+∞Zy
2
2
x2dx=lim
y→+∞·−2
x¸y
2=lim
y→+∞−2
y+1=1
ainsi fest bien une densité.
5. Énoncé 5 :
FAUX : si la courbe 3 est la représentation graphique de f, la courbe 1 est celle de Fpuisque c’est la seule qui
contient l’origine (F(0) =0).
Or on voit sur la courbe 1 que F′³π
4´=0, mais f³π 4´6= 0. Donc la courbe 1 n’est pas la représentation gra-
phique de la primitive F.
EXERCICE 2 6 points
Commun à tous les candidats
Partie A
1. a. fest une somme de fonctions dérivables sur [0 ; +∞[ et sur cet intervalle :
f′(x)=5×1
x+3−1=5−x−3 x+3=2−x x+3.
Or x>0⇒x+3>3>0.
•2−x>0⇐⇒ x<2.
•2−x<0⇐⇒ x>2.
•2−x=0⇐⇒ x=2.
b. - La fonction fest croissante sur [0 ; 2[.
- La fonction fest décroissante sur ]2 ; +∞[.
-f(2) =5 ln(4) −2≈4,93 est le maximum de la fonction fsur [0 ; +∞[.
On a le tableau de variations suivant :
x02+∞
f(x)
5 ln(4) −2
5ln3 −∞
α
0

c. Comme x>0, on peut factoriser :
f(x)=5 ln xµ1+3
x¶−x=5 ln x+5lnµ1+3 x¶=5 ln x−x+5lnµ1+3 x¶=xµ5ln x x−1¶+5lnµ1+3 x¶.
d. On sait que lim
x→+∞
ln x
x=0 et que lim
x→+∞
1
x=0, donc que lim
x→+∞lnµ1+3
x¶=ln1 =0, donc finalement :
lim
x→+∞ f(x)=lim x→+∞−x=−∞.
D’autre part f(0) =5ln3.
e. Voir le tableau plus haut.
2. a. Sur l’intervalle ]2 ; +∞[, fest strictement décroissante de f(2) >0 à −∞. Il existe donc un réel unique
α>2, tel que
f(α)=0⇐⇒ 5ln(α+3) −α=0.
b. f(14) =5 ln17 −14 ≈0, 17 >0 et f(15) =5 ln18 −15 ≈−0,55 <0, donc 14 <α<15.
La calculatrice livre :
f(14,2) =5 ln(17,2) −14,2 ≈0,02 >0 et
f(14,3) =5 ln(17,3) −14,3 ≈−0,05 <0, donc
14,2 <α<14,3.
c. Le tableau de variations montre donc que :
-f(x)>0 sur [0 ; α[ ;
-f(x)<0 sur [α;+∞[ ;
-f(α)=0.
Partie B
1. a.
b. La suite semble être croissante.
2. a. La fonction ga même sens de variation que la fonction ln, soit croissante ; on peut également calculer
g′(x)=5
x+3>0 comme quotient de deux nombres supérieurs à zéro.
b. On a vu dans la partie que f(α)=0⇐⇒ 5ln(α+3) −α=0⇐⇒ 5ln(α+3) =α⇐⇒ g(α)=α.
c. Initialisation : On a 0 646α: l’encadrement est vrai au rang 0 ;
Hérédité : Supposons qu’il existe p∈Ntel que 0 6up6α
Comme la fonction gest croissante sur [0 ; +∞[ donc en particulier sur [0 ; α], on a donc :
g(0) 6g¡up¢6g(α) c’est-à-dire
5ln3 6up+16α(d’après la question précédente).
On a donc a fortiori : 0 6up+16α.
L’encadrement est vrai au rang p+1.
On a donc démontré par récurrence que pour tout naturel n∈N
06un6α.
d. On a vu que sur l’intervalle [0 ; α[, f(x)>0 sur [0 ; α[, donc pour tout untel que 0 6un6α, ln (un+3)−
un>0⇐⇒ ln(un+3)>un⇐⇒
g(un)>un⇐⇒ un+1>un, ce qui démontre que la suite (un)est croissante.
Cette suite est croissante et majorée par α: elle converge donc vers une limite ℓtelle que ℓ6α.
e. La relation un+1=5ln(un+3)donne par continuité de la fonction dérivable get par limiteen plus l’in-
fini :
ℓ=ln(ℓ+3) ⇐⇒ ln(ℓ+3) −ℓ=0⇐⇒ f(ℓ)=0.
Or on a vu à la question 2. a. de la partie A que αest la seule solution de l’équation f(x)=0 sur [0 ; +∞[.
Conclusion ℓ=α.
On a donc lim
n→+∞un=α.
3. a. Cet algorithme calcule successivement u1,u2, .... On a vu que cette suite converge vers le nombre α
supérieur à 14,2. La condition u−14,2 <0 sera donc réalisée et l’algorithme affichera la première valeur
de la suite supérieure à 14,02.
Lycée Français de Valence 2 sur 6 4 avril 2013

b. Il suffit de taper sur la calculatrice :
u0=4 Entrée
5⋆ln(ANS(1) +3) Entrée
Entrée, etc
On obtient u6≈14,22315 >14,2.
EXERCICE 3 4 points
Commun à tous les candidats
1. Étude des fonctions fet g
a. f(x)=exe−xet g(x)=ex2e−x.
On a lim
x→−∞e−x=+∞, d’où par produit de limites lim x→−∞ f(x)=−∞.
Comme lim
x→−∞x2= +∞, lim x→−∞g(x)= +∞.
b. On sait que lim
x→+∞xe−x=0, donc lim x→+∞ f(x)=0.
De même comme pour tout naturel n, lim
x→+∞xne−x=0, on a lim x→+∞g(x)=0.
c. fproduit de fonctions dérivables sur Rest dérivable et sur cet intervalle f′(x)=e(e−x−xe−x)=ee−x(1−
x).
Comme e−x>0 quel que soit le réel x, le signe de f′(x) est celui de 1 −xqui est positif sur ] −∞ ; 1[ et
négatif sur ]1 ; +∞[.
D’où le tableau de variations de f:
x−∞ 1+∞
f(x)
−∞
1
0
gproduit de fonctions dérivables sur Rest dérivable et sur cet intervalle
g′(x)=e¡2xe−x−x2e−x¢=ee−xx(2 −x).
Comme e−x>0 quel que soit le réel x, le signe de g′(x) est celui du trinôme x(1 −x) qui est négatif sauf
entre les racines 0 et 2.
D’où le tableau de variations de g:
x−∞ 02+∞
g(x)
+∞
0
0
4
e
0
2. Calcul d’intégrales
a. I0=Z1
0
e1−xdx=eZ1
0
e−xdx=e£−e−x¤1
0=e¡−e−1+1¢=e−1.
b. H(x)=xn+1e1−x
H′(x)=(n+1)xne1−x−xn+1e1−x
donc
Z1
0
(n+1)xne1−x−xn+1e1−xdx=n+1Z1
0
xne1−xdx−Z1
0
xn+1e1−xdx.
H(1) −H(0) =(n+1)In−In+1.
1=(n+1)In−In+1.
ainsi
In+1=−1+(n+1)In.
c. La formule précédente donne pour n=0, I1=−1+I0= −1+e−1=e−2.
Pour n=1, I2=−1+2I1=−1+2(e −2) =2e −5.
3. Calcul d’une aire plane
Lycée Français de Valence 3 sur 6 4 avril 2013

a. Soit dla fonction définie sur Rpar d(x)=f(x)−g(x)=xe1−x−x2e1−x=xe1−x(1 −x).
Comme e1−x>0 quel que soit le réel x, le signe de f(x) est celui du trinôme x(1 −x), soit négatif sauf
entre les racines du trinôme 0 et 1.
Ceci montre que la courbe Cest au dessus de la courbe C′sur ]0 ; 1[ et au dessous sur ] −∞ ; 0[ et sur
]1 ; +∞[.
b. On vient de voir que sur l’intervalle [0 ; 1] f(x)>g(x), donc l’aire de la partie du plan comprise d’une
part entre les courbes Cet C′, d’autre part entre les droites d’équations respectives x=0 et x=1 est
égale à la différence des intégrales :
A=Z1
0
f(x) dx−Z1
0
g(x) dx=Z1
0
[f(x)−g(x)] dx=I1−I2=e−2−(2e −5) =3−e.
par linéarité de l’intégrale.
EXERCICE 4 5 points
Candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité
Partie A
Notons pla probabilité que le membre choisi au hasard soit une femme.
L’arbre de probabilités correspondant à la situation est :
F
p
T
1
4
T
3
4
F
1−p
T
1
3
F
2
3
a. T=(T ∩F) ∪(T ∩F). C’est une réunion d’événements incompatibles, donc :
p(F) =p(T ∩F)) +p(T ∩F) =pF(T)p(F) +pF(T)p(T).
Par conséquent : p(T) =p×1
4+(1 −p)×1 3=µ1 4−1 3¶p+1 3=− 1 12 p+1 3
On sait que p(T) =0, 3 =3
10 .
On en déduit : −1
12 p+1 3=3 10 ⇐⇒ p 12 =1 3−3 10 =1 30 d’où p=12 30 =2 5.
La probabilité de l’événement F est : p(F) =2
5
b. pT(F)=p(F ∩T)
p(T) =
p
4
3
10 =10p
3×4=5p 6=5 6×2 5=2 6=1 3;pT(F)=1 3
Partie B
a. i. Soit Nla variable aléatoire donnant le nombre de membres adhérant à la section tennis parmi les
membres choisis.
Nous avons répétition d’une expérience aléatoire à deux issues, identique et indépendante. Nsuit
donc la loi binomiale de paramètres n=4 (nombre d’épreuves) et p=3
10 :N,→Bµ4 ; 3 10 ¶.
On sait alors que p(N=k)=¡4
k¢×3
10
k
×µ1−3
10 ¶4−k
=¡4
k¢×3
10
k
×0,74−k.
D’où : p(N=2) =¡4
2¢×3
10
2
×0,72=1323
5000 ≈0,2646 .
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ii. Cette fois, Nsuit la loi binomiale Bµn;3
10 ¶.
pn=p(N>1) =1−p(N=0) =1−¡n
0¢×µ3
10 ¶0
×µ7
10 ¶n
=1−µ7
10 ¶n
:pn=1−µ7
10 ¶n
.
iii. pn>0,99 ⇔0,01 >0,7n⇔ln(0,01) >nln(0,7) (en appliquant la fonction ln qui est croissante)
d’où n>ln(0,01)
ln(0,07) ≈12.9.
Il faut que nsoit supérieur ou égal à 13 pour que pnsoit supérieur à 0,99.
b. i. Le nombre de tirages possibles de deux jetons est ¡100
2¢=4950.
Xpeut prendre les valeurs 35 (deux jetons gagnants), 15 (un seul jeton gagnant) et -5 (deux jetons
perdants).
p(X=2) =¡10
2¢
¡100
2¢=45
4950 =1 110 .
p(X=0) =¡90
2¢
¡100
2¢=4005
4950 =89 110
p(X=1) =1−[p(X=0) +p(X=2)] =1−µ1
110 +89 110 ¶=1−90 110 =20 110 =2 11 .
La loi de probabilité de Xest donc :
xi-5 15 35
p(X=xi)89
110
2
11
1
110
ii. L’espérance est E(X)=Pixip(X=xi)=−5×89
110 +15 ×2 11 +35 1 110 =−110 110 =−1. E(X)=−1.
Cela signifie qu’en moyenne, sur un grand nombre de partie, le joueur perd 1 euro par partie.
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