Chapitre 1.2 – Identités trigonométriques

Chapitre 1.2 – Identités trigonométriques
Le théorème de Pythagore
Le théorème de Pythagore démontre que dans un triangle rectangle ABC quelconque, le
carré de l’hypoténuse (côté opposé à l’angle droit, C) est égal à la somme des carrés des
deux autres côtés (A et B) :
A2 + B 2 = C 2
où
A : Longueur du côté « A » du triangle rectangle.
B : Longueur du côté « B » du triangle rectangle.
C : Longueur du côté « C » (hypoténuse) du triangle rectangle.
C
A
Triangle ABC
B
1
Preuve :
À l’aide de 4 triangles rectangles ABC identiques quelconque, construisons un carré dont
chaque côté possède une largeur de A+B :
B
A
A
C
B
C
Carré côté A+B
C
B
C
A
A
L’aire du triangle ABC est
égale à :
Airetriangle ABC =
AB
2
B
L’aire du carré de côté A+B
est égale à :
Airecarré A + B = ( A + B )
L’aire du carré de côté C
est égale à :
Airecarré C = C 2
2
= A 2 + 2 AB + B 2
L’aire du carré de côté C peut être également calculée de la façon suivante :
Airecarré C = Airecarré
1
A+B
− 4 Airetriangle
ABC
⇒
 AB 
Airecarré C = A 2 + 2 AB + B 2 − 4

 2 
⇒
Airecarré C = A 2 + B 2
⇒
C 2 = A2 + B 2 ■
(
)
Cette preuve est une référence du site : http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Pythagore
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
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Le théorème de Pythagore dans le cercle trigonométrique
Puisque le cercle trigonométrique possède un rayon de « 1 » unité, tous les points situés
sur le cercle peuvent former un triangle rectangle dont l’hypoténuse vaut « 1 » unité.
Avec la fonction cosinus qui mesure la base du triangle (axe x) et la fonction sinus qui
mesure la hauteur du triangle (axe y), nous pouvons affirmer avec le théorème de
Pythagore que :
y
cos 2 (θ ) + sin 2 (θ ) = 1
P (θ ) = (cos(θ ), sin (θ ))
θ
1
sin (θ )
où
θ
P (0 ) = (0,0 )
: Arc de cercle trigonométrique.
cos(θ ) : Base du triangle (axe x).
cos(θ )
x
θ
θ
sin (θ ) : Hauteur du triangle (axe y).
0
Autres fonctions trigonométriques
Voici d’autres fonctions trigonométriques associées à des opérations entre les fonctions
sinus et cosinus :
Fonction
Tangente :
tan (θ ) =
sin (θ )
cos(θ )
et
tan (θ ) = 1 / tan (θ ) = cot (θ )
Cotangente :
cot (θ ) =
cos(θ )
sin (θ )
et
cot (θ ) = 1 / cot (θ ) = tan (θ )
Sécante :
sec(θ ) =
1
cos(θ )
et
sec(θ ) = 1 / sec(θ ) = cos(θ )
Cosécante :
csc(θ ) =
1
sin (θ )
et
csc(θ ) = 1 / csc(θ ) = sin (θ )
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
−1
−1
−1
−1
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Identités trigonométriques
Il est parfois agréable de transformer une fonction trigonométrique sous une autre forme
afin de mieux l’analyser. Voici quelques identités trigonométriques très pratiques :
Inversion de l’arc :
Pythagore :
sin 2 (θ ) + cos 2 (θ ) = 1
cos(− θ ) = cos(θ )
tan 2 (θ ) + 1 = sec 2 (θ )
sin (− θ ) = − sin (θ )
1 + cot 2 (θ ) = csc 2 (θ )
tan (− θ ) = − tan (θ )
Ajout d’une phase π / 2:
cos(θ + π / 2) = − sin (θ )
sin (θ + π / 2) = cos(θ )
tan (θ + π / 2) = − cot (θ )
Ajout d’une phase π :
sin (π − θ ) = sin (θ )
sin (π + θ ) = − sin (θ )
cos(π − θ ) = − cos(θ )
cos(π + θ ) = − cos(θ )
Multiplication d’arc par 2 :
cos(2θ ) = cos 2 (θ ) − sin 2 (θ )
sin (2θ ) = 2 sin (θ ) ⋅ cos(θ )
Expression au carré :
1 − cos(2θ )
2
1 + cos(2θ )
cos 2 (θ ) =
2
sin 2 (θ ) =
Addition de deux arcs :
cos(θ ± φ ) = cos(θ ) ⋅ cos(φ ) m sin (θ ) ⋅ sin (φ )
sin (θ ± φ ) = sin (θ ) ⋅ cos(φ ) ± cos(θ ) ⋅ sin (φ )
tan (θ ± φ ) =
tan (θ ) ± tan (φ )
1 m tan (θ ) tan (φ )
Produit de sinus et cosinus :
1
[sin (θ − φ ) + sin (θ + φ )]
2
1
sin (θ ) ⋅ sin (φ ) = [cos(θ − φ ) − cos(θ + φ )]
2
1
cos(θ ) ⋅ cos(φ ) = [cos(θ − φ ) + cos(θ + φ )]
2
sin (θ ) ⋅ cos(φ ) =
Factorisation de sinus et cosinus :
Formule de l’arc moitié :
 A+ B  A− B
cos( A) + cos(B ) = 2 cos
 cos

 2   2 
Soit : t = tan ( A / 2 )
 A+ B  A− B
cos( A) − cos(B ) = −2 sin 
 sin 

 2   2 
 A+ B  A− B
sin ( A) + sin (B ) = 2 sin 
 cos

 2   2 
2t
1+ t2
2t
tan ( A) =
1− t2
sin ( A) =
cos( A) =
1− t2
1+ t2
 A+ B  A− B
sin ( A) − sin (B ) = 2 cos
 sin 

 2   2 
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
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Loi des sinus
Équation :
Preuve :
A
sin (θ A )
=
B
C
=
sin (θ B ) sin (θ C )
En construction …
Théorème d’Al-Kashi ou Loi des cosinus
Équation :
A 2 = B 2 + C 2 − 2 BC cos(θ )
Preuve :
En construction …
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
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