Chapitre 1.2 – Identités trigonométriques

Note de cours rédigée par : Simon Vézina Page 1
Chapitre 1.2 – Identités trigonométriques
Le théorème de Pythagore
Le théorème de Pythagore démontre que dans un triangle rectangle ABC quelconque, le
carré de l’hypoténuse (côté opposé à l’angle droit, C) est égal à la somme des carrés des
deux autres côtés (A et B) :
222
CBA =+
où A : Longueur du côté « A » du triangle rectangle.
B : Longueur du côté « B » du triangle rectangle.
C : Longueur du côté « C » (hypoténuse) du triangle rectangle.
Preuve
1
:
À l’aide de 4 triangles rectangles ABC identiques quelconque, construisons un carré dont
chaque côté possède une largeur de A+B :
A
A
A
A
B
B
B
B C
C
C C
Carré côté A+B
L’aire du triangle ABC est
égale à :
2
ABCtriangle
AB
Aire =
L’aire du carré de côté A+B
est égale à :
(
)
22
2
BAcarré
2
B
AB
A
BAAire
+
+
=
+=
+
L’aire du carré de côté C
est égale à :
2
Ccarré
CAire =
L’aire du carré de côté C peut être également calculée de la façon suivante :
ABCtriangleBAcarréCcarré
4AireAireAire −=
+
⇒
( )
−++= 2 42
22
Ccarré
AB
BABAAire
⇒
22
Ccarré
BAAire +=
⇒
222
BAC += ■
1
Cette preuve est une référence du site : http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Pythagore
A
B
C
Triangle ABC

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Le théorème de Pythagore dans le cercle trigonométrique
Puisque le cercle trigonométrique possède un rayon de « 1 » unité, tous les points situés
sur le cercle peuvent former un triangle rectangle dont l’hypoténuse vaut « 1 » unité.
Avec la fonction cosinus qui mesure la base du triangle (axe x ) et la fonction sinus qui
mesure la hauteur du triangle (axe y ), nous pouvons affirmer avec le théorème de
Pythagore que :
(
)
(
)
1sincos
22
=+ θθ
où
θ
: Arc de cercle trigonométrique.
(
)
θ cos : Base du triangle (axe x ).
(
)
θ sin : Hauteur du triangle (axe y ).
x
y
θ
0 θ
θ
(
)
(
)
0,00
=
P
(
)
θ
cos
1
(
)
(
)
(
)
(
)
θ
θ
θ
sin,cos
=
P
(
)
θ
sin
Autres fonctions trigonométriques
Voici d’autres fonctions trigonométriques associées à des opérations entre les fonctions
sinus et cosinus :
Fonction
Tangente : ( )
(
)
( ) θ
θ
θ
cos
sin
tan = et
(
)
(
)
(
)
θθθ cottan/1tan
1
==
−
Cotangente : ( )
(
)
( ) θ
θ
θ
sin
cos
cot = et
(
)
(
)
(
)
θθθ tancot/1cot
1
==
−
Sécante : ( ) ( )
θ
θ
cos
1
sec = et
(
)
(
)
(
)
θθθ cossec/1sec
1
==
−
Cosécante : ( ) ( )
θ
θ
sin
1
csc = et
(
)
(
)
(
)
θθθ sincsc/1csc
1
==
−

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Identités trigonométriques
Il est parfois agréable de transformer une fonction trigonométrique sous une autre forme
afin de mieux l’analyser. Voici quelques identités trigonométriques très pratiques :
Pythagore :
(
)
(
)
1cossin
22
=+ θθ
(
)
(
)
θθ
22
sec1tan =+
(
)
(
)
θθ
22
csccot1 =+
Inversion de l’arc :
(
)
(
)
θθ coscos =−
(
)
(
)
θθ sinsin −=−
(
)
(
)
θθ tantan −=−
Ajout d’une phase π / 2:
(
)
(
)
θπθ sin2/cos −=+
(
)
(
)
θπθ cos2/sin =+
(
)
(
)
θπθ cot2/tan −=+
Expression au carré :
( )
(
)
2
2cos1
sin
2
θ
θ
−
=
( )
(
)
2
2cos1
cos
2
θ
θ
+
=
Ajout d’une phase π :
(
)
(
)
θθπ sinsin =−
(
)
(
)
θθπ sinsin −=+
(
)
(
)
θθπ coscos −=−
(
)
(
)
θθπ coscos −=+
Addition de deux arcs :
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
φθφθφθ sinsincoscoscos ⋅⋅=± m
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
φθφθφθ sincoscossinsin ⋅±⋅=±
( )
(
)
(
)
( ) ( ) φθ
φ
θ
φθ
tantan1
tantan
tan
m
±
=±
Multiplication d’arc par 2 :
(
)
(
)
(
)
θθθ
22
sincos2cos −=
(
)
(
)
(
)
θθθ cossin22sin ⋅=
Produit de sinus et cosinus :
( ) ( ) ( ) ( ) [ ] φθφθφθ ++−=⋅ sinsin
2
1
cossin
( ) ( ) ( ) ( ) [ ] φθφθφθ +−−=⋅ coscos
2
1
sinsin
( ) ( ) ( ) ( ) [ ] φθφθφθ ++−=⋅ coscos
2
1
coscos
Factorisation de sinus et cosinus :
( ) ( )
− +
=+
2
cos
2
cos2coscos
BABA
BA
( ) ( )
− +
−=−
2
sin
2
sin2coscos
BABA
BA
( ) ( )
− +
=+
2
cos
2
sin2sinsin
BABA
BA
( ) ( )
− +
=−
2
sin
2
cos2sinsin
BABA
BA
Formule de l’arc moitié :
Soit :
(
)
2/tan At =
( )
2
1
2
sin
t
t
A
+
= ( )
2
2
1
1
cos
t
t
A
+
−
=
( )
2
1
2
tan
t
t
A
−
=

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Loi des sinus
Équation :
( ) ( ) ( )
CBA
CBA
θθθ sinsinsin
==
Preuve : En construction …
Théorème d’Al-Kashi ou Loi des cosinus
Équation :
(
)
θ cos2
222
BCCBA −+=
Preuve : En construction …