OSCILLATEUR LINÉAIRE

OSCILLATEUR LINÉAIRE
1) Définition .
Un oscillateur linéaire est un point matériel astreint à se déplacer sur une droite fixe dans (R) galiléen et soumis à
une force attractive vers un point fixe O, d'intensité proportionnelle à la distance entre O et le point matériel.

f
f = −k 
OM, k  0, f = −k x.
x'
x
d
OM
O
M



à t = 0 : OM = x 0 i ;
= v0 i .
dt
L'oscillateur n'est pas amorti si 
f est la seule force appliquée.
Il est amorti s'il est soumis à une force de frottement f ', par exemple un frottement fluide 
f ' = −h 
v , h  0 est
le coefficient de frottement: f ' =−h ẋ .

dL
O
 
 

Moment cinétique en O : 
LO = 
OM∧m v = 0 ;
=M
O f  M O  f ' = 0 .
dt
Énergie : on peut considérer la force 
f comme une force intérieure au système (O,M) dérivant alors d'une
dE
1 2
énergie potentielle E p telle que 
f =
grad Ep ; f = −k x = − p ⇒ E p = k x constante.
dx
2
1 2
En choisissant E p = 0 quand x = 0 : E p = k x .
2
1
Entre les abscisses x1 et x 2 , l 'énergie potentielle varie de ∆ E p =  x 22 −x12  = −W  f .
2
1
1 2
2
Energie mécanique totale : E = E cE p ; E = m ẋ  k x .
2
2
t
t
2

 dt = −∫ h v dt  0.
∆ E = W f ' = −∫ h v⋅v
2
2
t1
t1
L'énergie totale diminue constamment, sauf si l'oscillateur n'est pas amorti (h = 0).
2) Oscillateur non amorti : régime libre .
2

f = m
a ⇒ −k x = m ẍ ou ẍω0 x = 0 d 'où x = A cosω0 tϕ et ẋ =−A ω0 sin ω0 tϕ .

v 20
v
x 0 = Acos ϕ
2
⇒ A = x 0  2 ; tan ϕ = − 0 .
ω0
ω0 x 0
v 0 = −A ω0 sin ϕ
1
1
1
1
1
1
E = k x 2  m ẋ 2 = k A2 cos2 ω0 tϕ m A 2 ω20 sin 2 ω0 t ϕ = k A 2 = m A 2 ω02 .
2
2
2
2
2
2
]
3) Oscillateur amorti: régime libre .
ω
k h
k
h

f f ' = m a ; ẍ = − − ẋ ; on pose :
= ω20 et
= 2λ = 0 .
m m
m
m
Q
ω
2
0
2
D 'où ẍ2 λ ẋω0 x = 0 ou ẍ ẋω0 x = 0.
Q
2
2
2
2
Equation caractéristique : r 2 λ rω0 = 0 ; ∆ ' = λ −ω0 .
a . ∆ '  0, λ  ω0 : amortissement élevé , régime apériodique .
Les deux racines sont réelles négatives: r 1 = −λω ; r 2 −λ−ω avec ω =  ∆ ' =  λ 2−ω02 .
x = A eω t B e−ω t e−λ t avec x 0 = x 0 = AB et ẋ 0 = v 0 = −λωA −λω B = −λ x 0 ω A−B.
A B = x 0
v λ x 0
A −B = 0
ω
x=e
−λ t

x0
]
⇒ A=

v λ x 0
1
x0 0
2
ω

; B=


v λ x 0
1
x0− 0
.
2
ω
 

v 0 λ x0
eω t e −ω t v0 λ x 0 eω t −e−ω t
−λ t

=e
x 0 ch ω t
sh ω t .
2
2
ω
ω
b . ∆ ' = 0, λ = ω0 : régime critique .
Une racine double réelle négative: r =−λ = −ω0 ; x = A tBe− λ t .
x 0 = B ; v0 = A−λ B ; A = v 0 λ x 0 ; x = [ v 0 λ x 0 tx 0 ] e−λ t .
1
c .∆ '  0, λ  ω 0 : amortissement faible , régime pseudo−périodique.
Les deux racines sont complexes conjuguées: r 1 =−λ j ω ; r 2 −λ− j ω avec ω =  ω0 −λ .
2
x = Ae jω t Be − jω t e−λ t avec A =

j ωt

−j ωt
v 0 λ x 0 e −e
2j
ω
2π
2π
Pseudo−période : T =
=
=
ω
 ω20−λ 2
x = e −λ t x 0
e
− jω t
e
2j
jω t

Décrément logarithmique δ :
d . Exemple : x 0 = 0 et v 0  0 .

 
v λ x 0
1
x 0 0
2
jω
 
1−
r2 t
ẍ = A  r e −r e
2
1
r1 t
2 r2 t
2

v 0 λ x0
sin ω t .
ω
λ
2
ω0
x tT 
2πλ
= e−λ t = e −δ ; δ = λ T =
.
x t 
 ω20−λ 2
1
r1 t

 T0 .
2 2
xm
Régime apériodique :
v
v
r t
r t
A = 0 =−B ; x = 0 e −e  .
2ω
2ω
ẋ = A  r 1 e −r 2 e

v λ x 0
1
x0− 0
.
2
jω
= e−λ t x 0 cosω t
T0

; B=
2
x(t)
v0
2



v(t)
r
1
ln 1 = t m .
r 1 −r 2
r2

; ẋ = 0 ⇒ t =

r
1
; ẍ = 0 ⇒ t =
ln 1
r1 −r 2
r2

r
1
; x
 =0 ⇒ t =
ln 1 = 3t m .
r 1 −r 2
r2
0
2
= 2t m .
t
tm
3
x = A  r e −r e
3
1
r1 t
3
2
r2 t
v0
λe
v0
Régime critique :
A = v 0 ; B = 0 ; x = v 0 t e−λ t .
ẋ = v0 1−λ t e−λ t
ẍ = −λ v 0 2−λ te− λ t
x = λ 2 v0 3−λ t e−λ t
1
.
λ
2
; ẍ = 0 ⇒ t = .
λ
3
; x = 0 ⇒ t = .
λ
; ẋ = 0 ⇒ t =
Régime pseudo−périodique :
v
A = 0 = −B.
2 jω
v
x = A  e −λ  jω  t −e−λ  jω  t  = 0 e−λ t sin ω t.
ω
T
x = 0:
sin ω t = 0
t=n .
2
v 0 −λ t
T
T
x =± e
sin ω t = ±1
t = n .
4
2
ω
v
v = ẋ = 0 e−λ t ω cosω t−λ sin ω t
ω
λ
v = v0 e−λ t cosω t − sin ω t
ω
ω −λ t
λ
v = v0 0 e cosω tϕ avec tan ϕ = .
ω
ω
T
T ϕT
v = 0 : cosωt ϕ = 0 ; t = n −
.
4
2 2π


0
v0
t
1
λ
e2
x
v 0 −λ t
e
ω
0
tm
v
T
v0
v0
0
2
tm
t
ω0 −λ t
e
ω
T
t
4) Oscillateur amorti : régime sinusoïdal forcé .
L'oscillateur est soumis à une force excitatrice 
f ' ' = f 0 cos ω t ⇒ f = f 'f '' = m a .
f
D' où x2 λ xω20 x = 0 cos ω t dont la solution s ' écrit x t  = x 1 tx 2 t .
m
x 1 t est la solution générale de l'équation sans second membre et correspond au régime libre déjà étudié.
−λ t
Pour λ t ≫ 1, e ≈ 0 donc x 1 t ≈ 0.
x 2 t est une solution particulière de l'équation complète de la forme a cosω tϕ.
Pour λ t ≫ 1 et en régime sinusoïdal permanent, la réponse x(t) a même pulsation que la force excitatrice
(oscillations forcées).
Pour déterminer a et ϕ on peut utiliser les grandeurs complexes associées à x et f '':
f '' = f 0 e jω t et x t  = a e jω tϕ = X e jω t ; a = ∣X∣ et ϕ = argX.
f
f
1
L'équation différentielle devient: −ω2 X2 j λ ω Xω20 X = 0 d ' où X = 0 2
.
m
m ω0 −ω22 j λ ω
f
1
a = ∣X∣ = 0
; ϕ = argω20 −ω2 −2jλ ω.
2
2
m  ω0 −ω 2 4 λ 2 ω2
a . Etude de l ' amplitude de la réponse .
f
f
f0
a 0 = 0 2 = 0 ; a ω0  =
= Qa  0 ; a  ∞ = 0.
k
m ω0
2 λ m ω0
a
f0
ω2 −ω20 2 λ2
da
= − 2ω
.
ar
3
m
dω
2
2 2
2 2 2
 ω0−ω  4 λ ω
f
Cette dérivée s'annule pour ω = 0 et pour la pulsation
Q 0
k
[
]
ω0
2
ω
λ= 0
2
ω
λ 0
2
de résonance d ' amplitude ωr telle que ω2r = ω20−2 λ 2 .
λ
ω0
1
ou Q 
.
2

2
f
a 0ω20
1
Amplitude à la résonance = a r = 0
=
.
m  ω40 −ω4r
 ω04−ω4r
Si λ augmente , ω r et a r diminuent et si λ  0, ω r  ω0
et a r tend ∞ (rupture de la liaison élastique entre les points
M et O).
2
f0
k
2
ωr n 'existe que si ω0  2 λ soit λ 
0
ωr ω 0
Bande passante : elle est définie par les deux pulsations ω1 et ω2 telles que a r = a  2 .
a
1
Ces deux pulsations n'existent que si r  a 0  soit λ  ω0  2−  2 = 0,383ω0 .
2
2
4
2
2
4
4
Dans ce cas, ω1 et ω2 sont solutions de ω −2 ωr ω 2 ω r −ω0 = 0 ⇒
On remarque que ωr est la moyenne quadratique de ω1 et ω2 : ω2r =

Si la résonance est très aigüe, λ ≪ ω0 , ω4r = ω40 1−
2λ
ω20
2 2
 
≈ ω04 1−
[
ω12 = ω2r − ω40 −ω4r
ω22 = ω2r  ω40 −ω4r
1 2
 ω ω22 .
2 1
2

4λ
.
ω20
ω40 −ω4r ≈ 4 λ2 ω20 ; ω12 ≈ ω20 −2 λ 2−2 λ ω0 ≈ ω20 −2 λ ω0 ⇒ ω1 ≈ ω0 −λ et de même ω2 ≈ ω0 λ .
ω
ω
∆ ω = ω2 −ω1 ≈ 2 λ . L'acuité de la résonance est caractérisée par 0 ≈
= Q.
∆ ω 2λ
3
ω
b . Etude de la phase de la réponse .
ϕ = argX = argω20 −ω2 −2 j λ ω.
π
ϕ0 = 0 ; ϕ ω0  =− ; ϕ∞ = −π.
2
2
2
ω ω0
dϕ
= −2 λ 2
.
dω
ω −ω20 2 4 λ2 ω2
 
dϕ
dω
=−
0
2λ
1
=−
;
ω20
Q ω0
 
dϕ
dω
ω0
ϕ
ωo
0
λ faible
λ élevé
π
2
1
2Q
=− =−
.
λ
ω0
ω
-π
Remarques :
• si la courbe a un point d'inflexion, l'abscisse de ce point n'est pas ω0 , ni ωr si elle existe mais ωi telle que
ωi = ω0

2 2
 
λ
2 1− 2 −1.
ω
ωr
π
; si la résonance est aigüe ω r ≈ ω0 et λ ≪ ω0 : tan ϕr  −∞ ; ϕ r  .
2
λ
3π
λ
π
Dans ce cas : ω1 ≈ ω0 −λ ; tan ϕ1 =− 1−
≈ −1 ⇒ ϕ1 ≈ − et de même pour ω2 , ϕ 2 ≈ −
.
4
4
2 ω0
c .Etude de la vitesse .
aω
• s'il y a résonance : tan ϕr = −


v = ẋ =−a ωsin ω tϕ.
amplitude de la vitesse: a ω =
ω  0 : aω  0
ω  ∞ : aω  0
ω = ω0 : a ω =
d a ω f 0
=
m
dω
f0
ω
.
m  ω2 −ω20 2 4 λ2 ω2
λ faible
λ élevé
f0
mω0
f0
f
= 0.
h
2λ m
ω40 −ω4
[ ω −ω  4 λ
f0
h
3
2 2

d a ω
;
dω

f0
f0
=
.
2 =
k
m ω0
0
0
ω0
ω
ω ]
L'amplitude de la vitesse est toujours maximale pour ω = ω0 et on remarque que la dérivée à l'origine est
indépendante de λ toutes les courbes ont même tangente à l'origine.
Bande passante pour la vitesse :
2
1 f0
aω=
⇒ 2  2 λ ω =  ω2 −ω20  4 λ 2 ω2 .
2 2 λ m
2
2
ω0
ω1 = −λ  λ ω0
D' où ω 2−ω20 2 λ ω  ω2−ω02−2 λ ω  = 0 ⇒
;
∆
ω
=
ω
−ω
=
2
λ
;
= Q.
2
1
2
2
∆ω
ω2 =λ  λ ω0
2
2 2
0
2

[
ω0 est la moyenne géométrique de ω1 et ω2 : ω0 =  ω1 ω2 .
5) Notion d ' impédance mécanique .
f0
jω
.
2
m ω0 −ω2 2j λ ω
On remarque l'analogie avec l'impédance électrique d'un circuit RLC série avec les correspondances R ↔ h ,
1
L ↔ m , C ↔ , que l'on peut retrouver à partir des équations différentielles régissant les deux systèmes:
k
R
1
e
h
k
f ''
q̈ q̇
q=
et ẍ ẋ  x =
.
L
LC
L
m
m
m
On a aussi les correspondances q ↔ x , i ↔ v , e ↔ f ''.
Cette analogie permet de remplacer l'étude d'un oscillateur mécanique par celle d'un circuit électrique dont les
grandeurs sont plus faciles à mesurer ou modifier.
A la vitesse v = ẋ est associé le complexe v = ẋ = j ω x d ' où V = j ω X =
4
6) Étude de l ' énergie .
a . Oscillateur libre non amorti.
1
1 2 1
2
2
2
m ẋ  k x = k A avec k = m ω0 .
2
2
2
T
T 1
1
1
2
2
 c = ∫ Ec dt = ∫ mA ω0 sin 2 ω0 tϕdt = 1 mA 2 ω20 = 1 E.
Energie cinétique moyenne: E
T 0
T 02
4
2
T
T
 p = 1 ∫ Ep dt = 1 ∫ 1 kA 2 cos2 ω0 tϕdt = 1 kA2 = 1 E.
Energie potentielle moyenne: E
T 0
T 02
4
2
L'énergie mécanique totale est constante: E =
En moyenne, il y a équipartition de l'énergie totale entre les deux formes d'énergie.
1
Pour une molécule diatomique vibrant le long de son axe, on doit attribuer k B T à chaque forme
2
2 degrés de liberté, soit k B T pour l 'énergie de vibration k B = constante de Boltzmann .
b . Oscillateur libre amorti .
L ' énergie initiale E0 disparaît puisque x  0 et v  0 quand t  ∞ .
∞
∆ E = −E = Wf ' = −∫ hv 2 dt  0.
0
0
Cette énergie est dissipée sous forme de chaleur reçue par le milieu extérieur.
c .Oscillateur forcé en régime permanent .
1
1 2
2
2
m ẋ  k x avec k = m ω0 , x = a cosω tϕ et ẋ =−a ω sin ω tϕ.
2
2
T
1
L'énergie totale est périodique, de période , de valeur moyenne E = ma2 ω2ω02 .
2
4

Toute l'énergie fournie par la force excitatrice f '' au cours d'une période T sert à compenser l'énergie perdue
T
T
par frottement : ∫ 
f ''⋅
v dt∫ 
f '⋅
v dt = 0.
E=
0
T
0
T
2
2
2
−∫0 f 0 cosω t a ω sin  ω tϕdt−∫0 ha ω sin ω tϕdt = 0.
T
−f 0 ∫0
T
1
[ sin ϕsin 2 ω tϕ] dt = ha ω∫0 sin 2 ω tϕdt ⇒ sin ϕ = − h a ω .
2
f0
5