Télécharger

SP7
Oscillateurs amortis
Devoir maison no 19
Exercice 1 Amortisseur de voiture
On schématise un amortisseur automobile par un
point matériel M de masse m reposant sur une roue de
centre R par l’intermédiaire d’un ressort de raideur k
et d’un amortisseur de coefficient de frottements fluides λ.
L’axe RM reste en toutes circonstances selon un
−
→
axe de vecteur unitaire ez vertical orienté vers le haut.
→
Le véhicule roule avec une vitesse horizontale −
v constante sur une route horizontale. La roue est en permanence collée au sol.
La force de frottement fluide peut se mettre sous
−
→
−
→
la forme f = −λ (ż − z˙R) ez .
M(m)
z (t)
(k, l0 )
λ
M(m)
z éq
(k, l0 )
z R0
−
→
ez
0
−
→
v
λ
R
−
→
ex
R
(1) Dans cette question on suppose la route horizontale, telle que zR (t) = 0. On note zéq la distance RM à l’équilibre.
En faisant un bilan des forces à l’équilibre, exprimer la distance zéq en fonction de m, l’accélération de pesanteur g, k et l0 .
(2) La voiture arrive sur un trottoir à t = 0. L’altitude du point R passe alors soudainement (ce n’est qu’une approximation grossière)
à la valeur zR0 et reste constante à cette valeur. On suppose que le point M était à l’altitude constante z éq juste avant que la roue
n’arrive sur le trottoir.
(a) Montrer que la position z (t) de la masse m par rapport à zéq vérifie l’équation différentielle suivante
z̈ +
ω0
ż + ω20 z = ω20 zR0 + z éq
Q
où l’on précisera les expressions de ω0 et Q en fonction des données.
(b) Quels types de mouvements sont possibles en fonction de la valeur du facteur de qualité Q?
1
(c) On se place pour la suite dans le cas où Q = . À quelle expression du coefficient de frottement λ cela correspond-il (en
2
fonction de k et m)?
(d) Sachant que les fonctions z (t) et ż (t) sont continues, quelles sont les valeurs initiales (à t = 0) de z (t) et ż (t) ? Tracer alors
l’allure de z (t)
(e) Si le véhicule est extrêmement surchargé, la masse du véhicule passe à ms > m. Quel type de mouvement obtiendrait-on?
Est-ce souhaitable?
1