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SP7 Oscillateurs amortis
Devoir maison no19
Exercice 1 Amortisseur de voitureExercice 1
On schématise un amortisseur automobile par un
point matériel M de masse mreposant sur une roue de
centre R par l’intermédiaire d’un ressort de raideur k
et d’un amortisseur de coefficient de frottements flu-
ides λ.
L’axe RM reste en toutes circonstances selon un
axe de vecteur unitaire −→ ezvertical orienté vers le haut.
Le véhicule roule avec une vitesse horizontale −→ vcon-
stante sur une route horizontale. La roue est en per-
manence collée au sol.
La force de frottement fluide peut se mettre sous
la forme −→ f=−λ(˙ z−˙ zR)−→ ez.
0
−→
ez
−→
ex
z´
eq
R
(k,l0)λ
M(m)
R
(k,l0)λ
M(m)−→
v
zR0
z(t)
(1) Dans cette question on suppose la route horizontale, telle que zR(t) = 0. On note z´
eq la distance RM à l’équilibre.
En faisant un bilan des forces à l’équilibre, exprimer la distance z´
eq en fonction de m, l’accélération de pesanteur g,ket l0.
(2) La voiture arrive sur un trottoir à t=0. L’altitude du point R passe alors soudainement (ce n’est qu’une approximation grossière)
à la valeur zR0 et reste constante à cette valeur. On suppose que le point M était à l’altitude constante z´
eq juste avant que la roue
n’arrive sur le trottoir.
(a) Montrer que la position z(t)de la masse mpar rapport à z´
eq vérifie l’équation différentielle suivante
¨
z+ω0
Q˙
z+ω2
0z=ω2 0zR0 +z´
eq
où l’on précisera les expressions de ω0et Qen fonction des données.
(b) Quels types de mouvements sont possibles en fonction de la valeur du facteur de qualité Q?
(c) On se place pour la suite dans le cas où Q=1
2. À quelle expression du coefficient de frottement λcela correspond-il (en
fonction de ket m)?
(d) Sachant que les fonctions z(t)et ˙ z(t)sont continues, quelles sont les valeurs initiales (à t=0) de z(t)et ˙ z(t)? Tracer alors
l’allure de z(t)
(e) Si le véhicule est extrêmement surchargé, la masse du véhicule passe à ms>m. Quel type de mouvement obtiendrait-on?
Est-ce souhaitable?
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