Chap 2 – Probabilités conditionnelles - Mathématiques 2015-2016

Chap 2 - Probabilités conditionnelles
I. Notion de probabilité conditionnelle (TES.120, TES.121)................................................................5
1) Conditionnement par un événement...................................................................................................5
2) Probabilité de « A intersection B ».....................................................................................................5
II. Représentation par un tableau ou par un arbre pondéré (TES.122, TES.123, TES.124)............6
1) Représentation par un tableau à double entrée...................................................................................6
2) Représentation par un arbre................................................................................................................7
III. Formule des probabilités totales (TES.125)....................................................................................9
1) Partition d'un univers..........................................................................................................................9
2) Formule des probabilités totales.........................................................................................................9
3) Cas particulier : Partition de l'univers en 2 événements....................................................................9
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Chap 2 – Probabilités
conditionnelles
Terminale ES

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Vérifier les acquis p 170
Activités : conditionnement : 1 p 171 ; partition et proba totale : 2 p 171
TES.12 Chap2 – Probabilités conditionnelles Exercices
TES.120 Calculer une probabilité conditionnelle pA(B). 22 p 178, 32-33 p 180, 30 p 179
Feuille 4, 6
TES.121 Calculer la probabilité d'une intersection p(A inter B). 25 p 178
AP 13-14 p 176
TES.122 Calculer des probabilités conditionnelles à l'aide d'un
tableau.
3 p 173
Feuille 28
TES.123 Construire et utiliser un arbre pondéré en lien avec une
situation donnée.
23 p 178
Feuille 36, 37, 39
AP 10-11 p 176
TES.124 Exploiter la lecture d’un arbre pondéré pour déterminer
des probabilités.
26 p 179
Feuille 43(avec binom)
AP 16-17 p 176
TES.125 Calculer la probabilité d’un événement à l'aide de la
formule des probabilités totales.
6-7-8 p 175, 34 p 180, 38 p 180, 43 à 46 p 181
Feuille 41
Exercices bilan :
Bac : 50 p 183
55 p 185 (loi binom fin), 57 p 186, 62 p 187, 64 p 188(esper)
Feuille 51 (loi binom fin), 56
Avec les suites : 53 p 185, 67 p 189, Feuille 59
AP : Feuille 44
Algo :
56 p 186 (loi binom)
Feuille 34, 29
TP :
51 p 184 (excel)
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I. Notion de probabilité conditionnelle (TES.120, TES.121)
1) Conditionnement par un événement
Définition :
On considère une expérience aléatoire, munie d'une loi de probabilité P sur son univers Ω.
Soit A et B deux événements de l'univers Ω tels que
P(A)≠0
.
On appelle « probabilité conditionnelle de B sachant A », le nombre noté
PA(B)
défini par :
PA(B)=P(A∩B)
P(A)
.
Concrètement,
PA(B)
est la probabilité que l'événement B se réalise sachant que l'événement A est déjà
réalisé.
Remarques :
- Le nombre
PA(B)
est une probabilité, appelée probabilité conditionnelle.
Il a donc toutes les propriétés d'une probabilité, à savoir :
0≤PA(B)≤1
et
PA(¯ B)=1−PA(B)
.
- De la même manière, si l'événement B est tel que
P(B)≠0
, on peut définir la probabilité de A sachant
B par
PB(A)= P(A∩B)
P(B)
.
Exemple 1 : Dans un groupe de jeunes, 40% sont des filles et 45% font du ski. Parmi les filles, il y a 30% de
skieuses. Parmi les garçons, il y a 55% de skieurs. Traduire les données chiffrées par des probabilités.
Notons F l'événement « la personne est une fille » et S : « la personne fait du ski ».
D'après l'énoncé, on peut écrire :
P(F)=0,4
P(S)=0,45
PF(S)=0,3
et
P¯F(S)=0,55
2) Probabilité de « A intersection B »
Propriété :
Soit A et B deux événements d'un même univers
Ω
tels que
P(A)≠0
. On a alors
P(A∩B)=P(A)×PA(B)
.
Preuve : Immédiate d'après la définition.
Remarque : Si A et B sont deux événements d'un même univers
Ω
tels que
P(B)≠0
.
Alors, on a aussi
P(A∩B)=P(B)×PB(A)
.
On reprend l'exemple 1 ci-dessus : On rencontre au hasard un jeune de ce groupe qui fait du ski. Quelle est la
probabilité que ce soit une fille ?
On cherche à calculer
PS(F)
.
Par définition, on a :
PS(F)=P(S∩F)
P(S)=P(S∩F) 0,45
.
Il nous faut donc calculer
P(S∩F)
: D'après la propriété ci-dessus, on a
P(S∩F)=P(F)×PF(S)=0,4×0,3=0,12
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