Chap 2 – Probabilités conditionnelles - Mathématiques 2015-2016

Chap 2 – Probabilités
conditionnelles
Terminale ES
Chap 2 - Probabilités conditionnelles
I. Notion de probabilité conditionnelle (TES.120, TES.121)................................................................5
1) Conditionnement par un événement...................................................................................................5
2) Probabilité de « A intersection B ».....................................................................................................5
II. Représentation par un tableau ou par un arbre pondéré (TES.122, TES.123, TES.124)............6
1) Représentation par un tableau à double entrée...................................................................................6
2) Représentation par un arbre................................................................................................................7
III. Formule des probabilités totales (TES.125)....................................................................................9
1) Partition d'un univers..........................................................................................................................9
2) Formule des probabilités totales.........................................................................................................9
3) Cas particulier : Partition de l'univers en 2 événements....................................................................9
A. Gniady – 2015-2016
Chap 2 – Probabilités conditionnelles 1 / 10
A. Gniady – 2015-2016
Chap 2 – Probabilités conditionnelles 2 / 10
Vérifier les acquis p 170
Activités : conditionnement : 1 p 171 ; partition et proba totale : 2 p 171
TES.12
Chap2 – Probabilités conditionnelles
Exercices
TES.120
Calculer une probabilité conditionnelle pA(B).
22 p 178, 32-33 p 180, 30 p 179
Feuille 4, 6
TES.121
Calculer la probabilité d'une intersection p(A inter B).
25 p 178
AP 13-14 p 176
TES.122
Calculer des probabilités conditionnelles à l'aide d'un
tableau.
3 p 173
Feuille 28
TES.123
Construire et utiliser un arbre pondéré en lien avec une
situation donnée.
23 p 178
Feuille 36, 37, 39
AP 10-11 p 176
TES.124
Exploiter la lecture d’un arbre pondéré pour déterminer
des probabilités.
26 p 179
Feuille 43(avec binom)
AP 16-17 p 176
TES.125
Calculer la probabilité d’un événement à l'aide de la
formule des probabilités totales.
6-7-8 p 175, 34 p 180, 38 p 180, 43 à 46 p 181
Feuille 41
Exercices bilan :
Bac : 50 p 183
55 p 185 (loi binom fin), 57 p 186, 62 p 187, 64 p 188(esper)
Feuille 51 (loi binom fin), 56
Avec les suites : 53 p 185, 67 p 189, Feuille 59
AP : Feuille 44
Algo :
56 p 186 (loi binom)
Feuille 34, 29
TP :
51 p 184 (excel)
A. Gniady – 2015-2016
Chap 2 – Probabilités conditionnelles 3 / 10
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Chap 2 – Probabilités conditionnelles 4 / 10
I. Notion de probabilité conditionnelle (TES.120, TES.121)
1) Conditionnement par un événement
Définition :
On considère une expérience aléatoire, munie d'une loi de probabilité P sur son univers Ω.
Soit A et B deux événements de l'univers Ω tels que P ( A)≠0 .
On appelle « probabilité conditionnelle de B sachant A », le nombre noté P A ( B) défini par :
P ( A∩B)
P A ( B)=
.
P ( A)
Concrètement, P A ( B) est la probabilité que l'événement B se réalise sachant que l'événement A est déjà
réalisé.
Remarques :
- Le nombre P A ( B) est une probabilité, appelée probabilité conditionnelle.
Il a donc toutes les propriétés d'une probabilité, à savoir : 0≤P A ( B)≤1 et
P A ( B̄)=1−P A ( B) .
- De la même manière, si l'événement B est tel que P (B)≠ 0 , on peut définir la probabilité de A sachant
P( A∩ B)
B par P B ( A)=
.
P (B)
Exemple 1 : Dans un groupe de jeunes, 40% sont des filles et 45% font du ski. Parmi les filles, il y a 30% de
skieuses. Parmi les garçons, il y a 55% de skieurs. Traduire les données chiffrées par des probabilités.
Notons F l'événement « la personne est une fille » et S : « la personne fait du ski ».
D'après l'énoncé, on peut écrire :
P ( F )=0,4
P (S )=0,45
P F (S )=0,3
et P F̄ (S )=0,55
2) Probabilité de « A intersection B »
Propriété :
Soit A et B deux événements d'un même univers Ω tels que P ( A)≠0 . On a alors
P ( A∩B)=P ( A)×P A ( B) .
Preuve : Immédiate d'après la définition.
Remarque : Si A et B sont deux événements d'un même univers Ω tels que P ( B)≠0 .
Alors, on a aussi P ( A∩B)=P ( B )×P B ( A) .
On reprend l'exemple 1 ci-dessus : On rencontre au hasard un jeune de ce groupe qui fait du ski. Quelle est la
probabilité que ce soit une fille ?
On cherche à calculer P S ( F ) .
P ( S ∩F ) P (S ∩F )
=
Par définition, on a : P S (F )=
.
P(S)
0,45
Il nous faut donc calculer P (S ∩ F ) : D'après la propriété ci-dessus, on a
P (S ∩ F )=P( F )×P F (S )=0,4×0,3=0,12
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Chap 2 – Probabilités conditionnelles 5 / 10
0,12 4
−3
Ainsi : P S (F )=
près.
= ≈0,267 à 10
0,45 15
Conclusion, on croise un skieur au hasard du groupe de jeune, la probabilité que ce soit une fille est de environ
0,267.
Exercice 1 : Dans une population donnée, 84% des personnes possèdent un téléphone portable et 75% des
personnes possèdent un ordinateur. De plus, 60% des personnes de cette population déclarent posséder les deux.
On rencontre au hasard une personne de cette population.
On considère les événements T : « la personne rencontrée possède un téléphone portable » et
O : « la personne rencontrée possède un ordinateur ».
a. Traduire les données de l'énoncé par des probabilités.
b. Calculer la probabilité conditionnelle de O sachant T.
c. Déterminer la probabilité que la personne rencontrée possède un téléphone portable sachant qu'elle a un
ordinateur.
Exercice 2 : Lors d'une enquête menée auprès d'une population, on a constaté que 85% des personnes sont des
femmes et que, parmi ces femmes, 62% travaillent à temps partiel. On choisit une de ces personnes au hasard et
on considère les événements
F : « la personne choisie est une femme » et T : « la personne choisie travaille à temps partiel ».
a. Traduire en termes de probabilités les données numériques de l'énoncé.
b. Calculer la probabilité que la personne choisie soit une femme travaillant à temps partiel.
(Exo corrigé Indice page 151)
II. Représentation par un tableau ou par un arbre pondéré (TES.122, TES.123,
TES.124)
1) Représentation par un tableau à double entrée
Certains tableaux à double entrée peuvent permettre de déterminer des probabilités conditionnelles.
Soit A et B deux événements d'une même expérience aléatoire.
On peut construire un tableau comme ci-dessous :
A
Ā
Total
B
P ( A∩B)
P ( Ā∩B)
P ( B)
B̄
P ( A∩B̄)
P ( Ā∩B̄)
P ( B̄)
Total
P ( A)
P ( Ā)
1
La probabilité de l'événement A∩B se situe à l'intersection de la colonne A et de la ligne B.
P A ( B) est alors le quotient des valeurs de P ( A∩B) et de P ( A)
Exemple : Représenter la situation de l'exemple 1 ci-dessus (paragraphe I) par un tableau à double entrée. Puis
calculer la probabilité que, sachant que la personne rencontrée skie, ce soit un garçon.
F
S
F̄
Total
0,12 calculé
précédemment
0,45
0,4
1
S̄
Total
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Chap 2 – Probabilités conditionnelles 6 / 10
Exercice 3 : La répartition des voitures garées dans un parking est donnée dans le tableau ci-dessous.
Diesel
Essence
Total
Marque
française
0,43
0,12
0,55
Marque
étrangère
0,34
0,11
0,45
Total
0,77
0,23
1
On choisit au hasard une voiture garée dans ce parking. Sachant qu'il est de marque française, quelle est la
probabilité que ce soit un diesel ?
(Corrigé Indice page 151)
2) Représentation par un arbre
Dans le cas d'une expérience aléatoire mettant en jeu des probabilités conditionnelles dans un univers Ω , on peut
modéliser la situation à l'aide d'un arbre pondéré. Pour cela, on peut envisager deux niveaux de branches : un
premier niveau qui indique la probabilité d'un événement A, puis un second niveau qui permet de faire figurer les
probabilités conditionnelles d'un événement B selon que A est réalisé ou non.
1er niveau
Evénement
correspondant au
chemin parcouru
2ème niveau
Probabilité
P A ( B)
B
A∩B
P ( A∩ B)=P ( A)×P A ( B)
P A ( B̄)
B̄
A∩B̄
P ( A∩B̄)=P ( A)×P A ( B̄)
P Ā ( B)
B
Ā∩B
P ( Ā∩B)=P ( Ā)×P Ā ( B)
P Ā ( B̄)
B̄
Ā∩B̄
P ( Ā∩B̄)=P ( Ā)×P Ā ( B̄)
A
P ( A)
P ( Ā)
Ā
Vocabulaire des arbres :
Une branche relie deux événements. Sur chaque branche, on note la probabilité correspondante : la probabilité de la
branche reliant A et B est P A ( B) .
Un chemin est une succession de branches : il représente l'intersection des événements rencontrés sur ce chemin. La
probabilité d'un chemin est donc la probabilité de l'intersection des événements rencontrés sur ce chemin.
Un nœud est le point de départ d'une ou plusieurs branches.
Règles sur les arbres :
Lorsqu'une situation est représentés par un arbre pondéré, les règles suivantes s'appliquent :
Règle n°1 (règle des nœuds) : La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud est égale à 1.
Règle n°2 (principe multiplicatif) : La probabilité d'un événement correspondant à un chemin est le produit des
probabilités inscrites sur chaque branche de ce chemin.
Règle n°3 : La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins conduisant à cet événement.
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Chap 2 – Probabilités conditionnelles 7 / 10
Exemple : Représenter la situation de l'exemple 1 par un arbre.
S
0,3
0,4
F
0,7
S̄
S
0,6
F̄
0,55
0,45
S̄
Exercice 4 : On considère deux événements A et B liés à une expérience aléatoire modélisée par l'arbre cidessous :
B
0,7
A
0,8
B̄
B
0,5
Ā
B̄
a. Donner la signification des nombres 0,8 ; 0,7 et 0,5.
b. Compléter cet arbre avec les probabilités manquantes.
c. Déterminer la probabilité de l'événement A∩B .
(corrigé Indice page 153)
Exercice 5 : Tous les élèves de terminale d'un lycée ont passé un test de certification en anglais.
80% ont réussi le test. Parmi ceux qui ont réussi le test, 95% ont suivi des cours pour préparer ce test. Parmi
ceux qui ont échoué au test, 2% ont suivi les cours de préparation.
a. Traduire les données numériques de l'énoncé par des probabilités.
b. Représenter la situation par un arbre pondéré.
c. On choisit un élève de terminale au hasard. Calculer la probabilité que ce soit un élève ayant réussi le test
sans suivre les cours de préparation.
(exemple pris dans hyperbole page 172)
Exercice 6 : On dispose des informations suivantes sur une société :
- Elle comporte 40% de cadres.
- 20% des cadres sont des femmes.
- Parmi les employés qui ne sont pas cadres, 60% sont des femmes.
On prend au hasard la fiche d'un employé de cette entreprise et on considère les événements suivants :
C : « l'employé est une cadre » et F : « l'employé est une femme ».
a. Représenter la situation par un arbre pondéré.
b. Calculer la probabilité pour que l'employé interrogé soit une femme cadre.
(exo corrigé hyperbole page 173)
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Chap 2 – Probabilités conditionnelles 8 / 10
III. Formule des probabilités totales (TES.125)
1) Partition d'un univers
On considère B1 , B2 , …. , Bn n événements d'un même univers Ω .
On dit que les événements B1 , B2 , …. , Bn constituent une partition de l'univers Ω lorsque les événements
Bi (avec 1≤i≤ n ) sont deux à deux disjoints et que leur réunion est l'univers Ω .
× ×
× ×
× ×
× ... ×
×
× ×
× Bn
×
×
×
×
×
×
×
×
×
B
×
×
...
3
B1
×
Ω
×
×
× B2
×
2) Formule des probabilités totales
Si les n événements B1 , B2 , …. , Bn d'un même univers
tout événement A on a :
Ω constituent une partition de Ω , alors pour
P ( A)= P ( A∩ B 1)+ P ( A∩ B2 )+ ....+ P( A∩ B n)
× ×
× ×
× ×
× ... ×
×
× ×
× Bn
×
×
×
×
×
×
×
×
×
B3
×
×
...
B1
×
Ω
×
×
× B2
A
×
Cette formule s'écrit aussi : P ( A)= P B ( A)× P( B 1)+ P B ( A)× P ( B2 )+ ....+ P B ( A)× P (B n ) (Formule des probabilités
totales).
1
2
n
3) Cas particulier : Partition de l'univers en 2 événements
Si B est un événement d'un univers Ω , alors B et B̄ forment une partition de Ω .
Pour tout événement A, on a donc :
P ( A)=P ( A∩B)+P ( A∩B̄)
ou encore :
P ( A)=P B ( A)×P ( B )+P B̄ ( A)×P ( B̄ )
×
×
×
×
B
×
Ω
×
×
×
×
A. Gniady – 2015-2016
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
B̄
×
A
Chap 2 – Probabilités conditionnelles 9 / 10
Exercice 7 : On teste l'efficacité d'un médicament sur un échantillon d'individus ayant un taux de glycémie
anormalement élevé.
Dans cette expérimentation, 50% des individus prennent le médicament, les autres reçoivent un placebo.
On étudie la baisse du taux de glycémie après l'expérimentation.
On constate une baisse significative de ce taux chez 80% des individus ayant pris le médicament.
On ne constate aucune baisse significative pour 90% des individus ayant pris le placebo.
On tire au hasard la fiche de l'une des personnes de cet échantillon.
a. Représenter la situation par un arbre de probabilité.
b. Calculer la probabilité que le taux de glycémie de la personne choisie ait baissé significativement.
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Chap 2 – Probabilités conditionnelles 10 / 10