soit f une fonction

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Chapitre 1 : Dérivation
I. Rappels et compléments
II. Interprétations
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Définition : soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un point de I.
On dit que f est dérivable en a lorsque le taux d’accroissement de f en a admet une limite l en a,
c’est-à-dire lorsque
(
)
(
)
x
x
lim
x
a
f f a
l
a
→
−
=
−
ou écrit autrement
(
)
(
)
h 0
h
lim
h
f a f a
l
→
+ −
=
.
Dans ce cas l est appelé le nombre dérivé de f en a et on le note f ’( a ) .
Remarques :
. soit C la courbe représentative de f , A et M les points de C
d’abscisse a et x = a + h . Le taux d’accroissement de f entre a et a + h
est égal au coefficient directeur de la corde (AM).
. lorsque f est dérivable en a, nous pouvons encore écrire
(
)
(
)
x
x
f f a
a
−
−= f ’(a) + E ( x – a ) avec
x
lim
a
→
E ( x – a ) = 0 , ou encore
( 1 ) f (x) – f (a) = f ’(a). ( x – a ) + ( x – a ). E ( x – a ) ;
x
lim
a
→
E ( x – a ) = 0
( 2 ) f (a + h) – f (a) = h. f ’(a) + h.E ( h) ; avec
h 0
lim
→
E ( h ) = 0
. les physiciens expriment une variation à l’aide du symbole ∆ ,
( en posant h = x – a )
ils notent ainsi ∆x = x – a et ∆y = f (x) – f (a) .
Avec ces notations l’égalité ( 1 ) s’écrit ∆y = f’ (a) .∆x + ∆x E ( ∆x ) où E tend vers 0 avec ∆x .
Nous exprimerons symboliquement cette égalité par : dy = f ’ (a) .dx ou f ’ (a) =
( )
d
dx
y
a
; c’est la notation différentielle
Interprétation graphique ; tangente : lorsque f est dérivable en a , la courbe représentative de f admet
au point A( a , f ( a ) ) une tangente de coefficient directeur f ’(a) .
Cette tangente a pour équation ( on la déduit facilement de ( 1 ) ) : y – f (a) = f ’(a). ( x – a )
cette tangente a donc pour vecteur directeur
( )
1
u'
f a
Interprétation numérique ; approximation affine : lorsque f est dérivable en a , la fonction f admet une
bonne approximation affine, lorsque x est voisin de a : f (x)
≃
f (a) + f ’(a). ( x – a )
pour h voisin de 0 , f (a + h )
≃
f (a) + h. f ’(a) , l’erreur commise est : h. E(h)

III. Variations d’une fonction et extremum
Lorsqu’une fonction f est dérivable en tout point d’un intervalle I , nous pouvons définir la fonction dérivée
f ’ : x ֏ f ’(x) sur I . Avec la notation différentielle, f ’ se note encore
d
dx
f
.
Interprétation cinématique ; vitesse : si t ֏ f (t) est la loi horaire d’un mouvement,
f ’( t
o
) est alors la vitesse instantanée à l’instant t
o
.
Théorème (admis en 1
ière
) : soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :
Si la dérivée f ’ est nulle sur I, alors f est constante sur I ;
Si f ’ est strictement positive sur I, sauf peut-être en des points isolés où elle s’annule,
alors f est strictement croissante sur I ;
Si f ’ est strictement négative sur I, sauf peut-être en des points isolés où elle s’annule,
alors f est strictement décroissante sur I .
Remarque : ainsi, l’étude des variations d’une fonction dérivable se ramène à la recherche des intervalles sur lesquels la dérivée
f ’ garde un signe constant .
Ex :
Corollaire : soit f dérivable sur un intervalle ouvert I , et x
o
un réel de I.
Si f admet un extremum local en x
o
, alors f ’(x
o
) = 0 ;
Si en x
o
la dérivée f ’ s’annule en changeant de signe, alors f admet un extremum local en x
o
.
Remarques :
. les extremums locaux d’une fonction sont à chercher parmi les zéros de la dérivée , mais si f ’(x
o
) = 0 , x
o
n’est pas forcément
un extremum local ( f (x) = x
3
)
. pratiquement, les extremums locaux sont aisément repérables sur le tableau de variations ; ils correspondent aux changements de
sens des flèches.

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IV. Dérivée d’une fonction composée
Théorème : soit U une fonction dérivable sur un intervalle I et V une fonction dérivable en U(x)
pour tout x appartenant à I, alors la fonction composée
V U
est dérivable sur I , et pour tout x de I :
(
)
'(x)
V U = V’ ( U(x) ) ×
××
× U ’(x)
Principe de démonstration : soit x
0
∈ I,U est dérivable en x
0
donc U (x
0
+ h )
≃
U(x
0
) + h. U ’(x
0
) + h. E(h) avec
h 0
lim
→
E ( h ) = 0
On peut alors écrire V ( U (x
0
+ h ) ) = V ( U(x
0
) + k ) avec k = h. U ’(x
0
) + h. E(h)
Puisque V est dérivable en U (x
0
) on peut écrire :
V ( U(x
0
) + k ) = V ( U(x
0
) ) + k. V’ ( U(x
0
) ) + k. φ(k) avec
k 0
lim
→
φ( k ) = 0
Or lorsque h tend vers 0 , h. U ’(x
0
) + h. E(h) = k tend vers 0
V ( U(x
0
) + k ) = V ( U(x
0
) ) + k. V’ ( U(x
0
) ) + [ un terme tendant vers 0 quant h tend vers 0 ]
Donc V ( U (x
0
+ h ) ) = V ( U(x
0
) ) + h. U ’(x
0
) . V’ ( U(x
0
) ) + [ un terme tendant vers 0 quant h tend vers 0 ]
(
)
(
)
0 0
h 0
(x + h) (x )
lim
h
V U V U
→
−
= V’ ( U(x
0
) ) × U ’(x
0
)
Remarques : . avec la notation différentielle on peut écrire :
(
)
( ) ( ) ( )
0 0 0
d d v d u
x (x ) x
dx du dx
v u u= ×
(
)
= ×
d
d v d u
dx du dx
v u
. ce résultat prolonge celui établi en première lorsque U(x) = a x + b,
si g (x) = V( ax + b ) est dérivable sur I : g’ (x) = a . V ’( ax + b )
Ex :
Corollaire : soit U une fonction dérivable en xo :
 La fonction f : x ֏ [ u (x) ] n , ( n ∈ Z ) est dérivable en xo ( sous la condition u (xo) ≠ 0 pour n < 0 )
f ’( x
o
) = n. [ u(x
o
) ]
n–1
× u ’( x
o
)
 Si u ( xo ) > 0 , la fonction g : x ֏
(x)
u est dérivable en xo
g ’( x
o
) =
2
0
o
'(x )
(x )
u
u
Ex :

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V. Tableaux récapitulatifs