Rappels de trigonométrie 1. La fonction cosinus : La fonction cosinus est définie sur R par f (x) = cos x. La fonction cosinus est ( paire et périodique de période 2π sur R. cos(−x) = cos x En particulier, on a , ∀x ∈ R cos (x + 2π) = cos x Elle est dérivable donc continue sur R et sa fonction dérivée est f ′ (x) = − sin x. On en déduit le tableau de variation de la fonction cosinus : x 0 − sin x 0 π − 0 1 cos x −1 2 1 y = cos x #” j − 3π 2 −π − π2 O #” i π 2 π 3π 2 2π −1 −2 2. La fonction sinus : La fonction sinus est définie sur R par f (x) = sin x. La fonction sinus est(impaire et périodique de période 2π sur R. sin(−x) = − sin x En particulier, on a , ∀x ∈ R sin (x + 2π) = sin x Elle est dérivable donc continue sur R et sa fonction dérivée est f ′ (x) = cos x. Rappels de trigonométrie 1/6 5π 2 On en déduit le tableau de variation de la fonction sinus : x π 2 0 cos x + π − 0 1 sin x 0 0 2 1 y = sin x #” j − 3π 2 − π2 −π O #” i π 2 π 3π 2 2π 5π 2 −1 −2 3. Propriétés algébriques : ( cos(−x) = cos x sin(−x) = − sin x , ∀x ∈ R ( cos(π + x) = − cos x sin(π + x) = − sin x , ( cos(π − x) = − cos x sin(π − x) = sin x , ∀x ∈ R cos2 x + sin2 x = 1, ∀x ∈ R π cos − x = sin x 2 π sin − x = cos x 2 π cos + x = − sin x 2 π sin + x = cos x 2 ∀x ∈ R Formules d’addition : Pour tous réels a et b, ( cos(a + b) = cos a × cos b − sin a × sin b sin(a + b) = sin a × cos b + sin b × cos a Rappels de trigonométrie ( 2/6 , ∀x ∈ R , ∀x ∈ R cos(a − b) = cos a × cos b + sin a × sin b sin(a − b) = sin a × cos b − sin b × cos a Formules de duplication : Pour tout réel a, ( cos(2a) = cos2 a − sin2 a sin(2a) = 2 cos a sin a cos2 a = 1 + cos(2a) 2 sin2 a = 1 − cos(2a) 2 4. La fonction tangente : On appelle fonction « tangente », la fonction définie par tan x = Dans la suite, on notera f (x) = tan x. sin x . cos x a. f (x) existe si cos x 6= 0. cos x = 0 ⇐⇒ cos x = cos π 2 ⇐⇒ x = π + 2kπ 2 ⇐⇒ x = π + kπ, k ∈ Z 2 On en déduit, b. ou x=− Df = R \ nπ 2 π + 2kπ, 2 k∈Z + kπ; k ∈ Z o i. • Df est centré en 0. • Soit x ∈ Df . f (−x) = tan(−x) = C’est-à-dire − sin x sin(−x) = = − tan x = −f (x) cos(−x) cos x f (−x) = −f (x). Ainsi, f est une fonction impaire sur Df . ii. Soit x ∈ Df . f (x + π) = tan(x + π) = C’est-à-dire sin(x + π) − sin x sin x = = = tan x = f (x) cos(x + π) − cos x cos x f (x + π) = f (x). Ainsi, f est une fonction π−périodique sur Df . Rappels de trigonométrie 3/6 iii. h πh ∗ On étudie f sur 0 ; . 2 i π h ∗ D’une part, f est une fonction impaire sur Df , on complète l’étude de f sur − ; 0 par 2 symétrie par rapport à l’origine du repère. ∗ D’autre part, f est une fonction π−périodique sur Df , donc on complète la représentation #” #” graphique sur Df par translations successives de vecteurs π i et −π i . c. limπ f (x) : x→ 2 x< π 2 • limπ (sin x) = 1 x→ 2 x< π 2 • limπ (cos x) = 0+ (Il suffit de faire le cercle trigonométrique pour s’en convaincre) x→ 2 x< π 2 D’où, lim (tan x) = +∞ x→ π 2 x< π2 π • On déduit de cette limite que la droite d’équation x = est asymptote vertivale à la courbe 2 représentative de la fonction tangente. h h πh πh d. f est dérivable sur 0 ; comme quotient de deux fonctions dérivables et cos x 6= 0 sur 0 ; . 2 2 h πh . Soit x ∈ 0 ; 2 f ′ (x) = = cos x × cos x − sin x × (− sin x) cos2 x cos2 x + sin2 x cos2 x cos2 x sin2 x + cos2 x cos2 x sin x 2 =1+ cos x = f ′ (x) = 1 + tan2 x Rappels de trigonométrie 4/6 h h πh πh e. Très clairement, f ′ (x) > 0 ∀x ∈ 0 ; . f est donc strictement croissante sur 0 ; . 2 2 Tableau de variation de f : x f ′ (x) f (0) = tan 0 = 0 π 2 0 + +∞ f (x) 0 f. 10 9 Cf 8 7 6 5 4 3 2 #” πi 1 #” j −1 O 0 #” i 1 2 −1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9 −10 Rappels de trigonométrie 5/6 3 4 5. Le cercle trigonométrique : x 0 cos x 1 sin x 0 π 6 √ 3 2 1 2 π 4 √ 2 2 √ 2 2 π 3 1 2 √ 3 2 π 2 π 0 −1 1 0 π 2 1 2π 3 π 3 √ 3 2 √ 2 2 3π 4 5π 6 π 4 ⊕ π 6 1 2 π 0 √ √ 3 2 − − 2 2 −π −1 − 5π 6 • − 7π 6 − O 0 1 − 2 3π 4 5π 4 − Rappels de trigonométrie 2π 3 4π 3 √ 2 2 1 2 √ 3 2 1 2 − √ 2 − 2 √ 3 − 2 − − −1 − 6/6 π 2 π 3 π 4 1 π 6 2π