Rappels de trigonométrie

Rappels de trigonom´etrie
1. La fonction cosinus :
La fonction cosinus est d´efinie sur Rpar f(x) = cos x.
La fonction cosinus est paire et p´eriodique de p´eriode 2πsur R.
En particulier, on a (cos(−x) = cos x
cos (x+ 2π) = cos x,∀x∈R
Elle est d´erivable donc continue sur Ret sa fonction d´eriv´ee est f′(x) = −sin x.
On en d´eduit le tableau de variation de la fonction cosinus :
x
−sin x
cos x
0π
−
1
−1
0 0
1
2
−1
−2
#”
i
#”
j
Oπ
2π3π
22π5π 2
−π
2
−π−3π
2
y= cos x
2. La fonction sinus :
La fonction sinus est d´efinie sur Rpar f(x) = sin x.
La fonction sinus est impaire et p´eriodique de p´eriode 2πsur R.
En particulier, on a (sin(−x) = −sin x
sin (x+ 2π) = sin x,∀x∈R
Elle est d´erivable donc continue sur Ret sa fonction d´eriv´ee est f′(x) = cos x.
Rappels de trigonom´etrie 1/6

On en d´eduit le tableau de variation de la fonction sinus :
x
cos x
sin x
0π
0
0
π
2
+−
0
1
1
2
−1
−2
#”
i
#”
j
Oπ
2π3π
22π5π 2
−π
2
−π−3π
2
y= sin x
3. Propri´et´es alg´ebriques :
cos2x+ sin2x= 1,∀x∈R
(cos(−x) = cos x
sin(−x) = −sin x,∀x∈R
(cos(π+x) = −cos x
sin(π+x) = −sin x,∀x∈R
(cos(π−x) = −cos x
sin(π−x) = sin x,∀x∈R
cos π
2−x= sin x
sin π
2−x= cos x
,∀x∈R
cos π
2+x=−sin x
sin π
2+x= cos x
,∀x∈R
Formules d’addition :
Pour tous r´eels aet b,
(cos(a+b) = cos a×cos b−sin a×sin b
sin(a+b) = sin a×cos b+ sin b×cos a(cos(a−b) = cos a×cos b+ sin a×sin b sin(a−b) = sin a×cos b−sin b×cos a
Rappels de trigonom´etrie 2/6

Formules de duplication :
Pour tout r´eel a,
(cos(2a) = cos2a−sin2a
sin(2a) = 2 cos asin a
cos2a=1 + cos(2a)
2
sin2a=1−cos(2a)
2
4. La fonction tangente :
On appelle fonction «tangente », la fonction d´efinie par tan x=sin x
cos x.
Dans la suite, on notera f(x) = tan x.
a. f(x) existe si cos x6= 0.
cos x= 0
⇐⇒ cos x= cos π
2
⇐⇒ x=π
2+ 2kπ ou x=−π 2+ 2kπ,k∈Z
⇐⇒ x=π
2+kπ,k∈Z
On en d´eduit, D
f=R\nπ
2+kπ;k∈Zo
b. i.
•D
fest centr´e en 0.
•Soit x∈D
f.
f(−x) = tan(−x) = sin(−x)
cos(−x)=−sin x cos x=−tan x=−f(x)
C’est-`a-dire f(−x) = −f(x).
Ainsi, fest une fonction impaire sur D
f.
ii. Soit x∈D
f.
f(x+π) = tan(x+π) = sin(x+π)
cos(x+π)=−sin x −cos x=sin x cos x= tan x=f(x)
C’est-`a-dire f(x+π) = f(x).
Ainsi, fest une fonction π−p´eriodique sur D
f.
Rappels de trigonom´etrie 3/6

iii.
∗On ´etudie fsur h0 ; π
2h.
∗D’une part, fest une fonction impaire sur D
f, on compl`ete l’´etude de fsur i−π
2; 0hpar
sym´etrie par rapport `a l’origine du rep`ere.
∗D’autre part, fest une fonction π−p´eriodique sur D
f, donc on compl`ete la repr´esentation
graphique sur D
fpar translations successives de vecteurs π
#”
iet −π
#”
i.
c. lim
x→π
2
x< π
2
f(x) :
•lim
x→π
2
x< π
2
(sin x) = 1
•lim
x→π
2
x< π
2
(cos x) = 0+(Il suffit de faire le cercle trigonom´etrique pour s’en convaincre)
D’o`u, lim
x→π
2
x< π
2
(tan x) = +∞
•On d´eduit de cette limite que la droite d’´equation x=π
2est asymptote vertivale `a la courbe
repr´esentative de la fonction tangente.
d. fest d´erivable sur h0 ; π
2hcomme quotient de deux fonctions d´erivables et cos x6= 0 sur h0 ; π 2h.
Soit x∈h0 ; π
2h.
f′(x) = cos x×cos x−sin x×(−sin x)
cos2x
=cos2x+ sin2x
cos2x
=cos2x
cos2x+sin2x cos2x
= 1 + sin x
cos x2
f′(x) = 1 + tan2x
Rappels de trigonom´etrie 4/6

e. Tr`es clairement, f′(x)>0∀x∈h0 ; π
2h.fest donc strictement croissante sur h0 ; π 2h.
Tableau de variation de f:x
f′(x)
f(x)
0π
2
+
0
+∞
f(0) = tan 0 = 0
f.
0 1 2 3 4−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
−9
−10
#”
i
#”
j
O
Cf
π
#”
i
Rappels de trigonom´etrie 5/6